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1、第五章第五章 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理“概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值”。前面已经提到,。前面已经提到,当随机试验的次数无限增大时,频率总在其当随机试验的次数无限增大时,频率总在其概率附近摆动,逼近某一定值。大数定理就概率附近摆动,逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布,它有着非常广泛的应论中的一个重要分布,它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明,原本不是正态分布用。中心极限定理阐明,原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布,在一定条件下的一般随机变量总和的分布,在一定条件下可以渐近服从正
2、态分布。这两类定理是概率可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论,在概率统计中具有重要统计中的基本理论,在概率统计中具有重要地位。地位。1 大数定理大数定理 定理(契比雪夫定理(契比雪夫(Chebyshev)不等式)不等式):设随机变量X具有数学期望E(X)=,方差D(X)=2,则对于任意正数,有1.1 契比雪夫契比雪夫(Chebyshev)不等式不等式证明证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有(2)设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk,则有 例例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下界.解解解解
3、 1.2 大数定律大数定律 定义定义:设Xk是随机变量序列,数学期望E(Xk)(k=1,2,.)存在,若对于任意 0,有则称随机变量序列Xn服从大数定律服从大数定律.定理(契比雪夫定理(契比雪夫(Chebyshev)大数定律)大数定律):设Xk是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk)k=1,2,.若存在常数C,使得D(Xk)C(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有证明证明 推论推论(契比雪夫大数定律的特殊情况契比雪夫大数定律的特殊情况):设Xk是两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有注
4、注:解解 所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.伯努里伯努里大数定律大数定律:设进行设进行n次独立重复试验,每次独立重复试验,每次试验中事件次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p,记,记fn为为n次试验中次试验中事件事件A发生的频率,则发生的频率,则证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则由切由切比雪夫大数定律比雪夫大数定律2 中心极限定理中心极限定理 在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布:“若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可
5、以认为近似地服从正态分布.”例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所产生的误差X1;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X3;显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即Xi.一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列:我们关心的是当n时,随机变量和Xi的极限分布是什么?由于直接研究Xi的极限分布不方便,故先将其标准化为:再
6、来研究随机变量序列Yn的极限分布.定义:定义:设Xk为相互独立的随机变量序列,有有限的数学期望E(Xk)=k和方差D(Xk)=k2,令若对于一切实数x,有则称随机变量序列Xk服从中心极限定理中心极限定理.定理定理(林德贝尔格林德贝尔格-勒维勒维(Lindeberg-Levy)定理定理):设Xk为相互独立的随机变量序列,服从同一分布,且具有数学期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2,则随机变量的分布函数Fn(x),对于任意x,满足解解 设设Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则X1,X100独立同分布独立同分布.由由中心极限定理中心极限定理 定理定理(De Moivre
7、-Laplace中心极限定理中心极限定理):设随机变量Yn服从二项分布Yn B(n,p),(op105的近似值.解解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极限定理知近似服从标准正态分布N(0,1),于是 例例:在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险,每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%,死亡时其家属可向保险公司领得1000元,问:(1)保险公司亏本的概率有多大?(2)其他条件不变,为使保险公司一年的利润不少于60000元,赔偿金至多可设为多少?解解 设设X表示一年内死亡的人数,则表示一年内死亡的人数,则XB(n,p),其中其中n=10000,p=0.6%,设设Y表示保险公司一年的利润,表示保险公司一年的利润,Y=10000 12-1000X于是于是由中心极限定理由中心极限定理 (1)PY0=P10000 12-1000X0=1 PX 120 1 (7.75)=0;(2)设赔偿金为设赔偿金为a元,则令元,则令由中心极限定理由中心极限定理,上式等价于上式等价于
限制150内