第二章 非线性方程(组)的迭代解法(11).ppt
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1、 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.第二章 非线性方程非线性方程(组组)求根方法求根方法 若 n=1,称为非线性方程求根非线性方程求根问题;n1,称为非线性方程组求解问题。理论问题:理论问题:(1)解的存在性存在性。即有解还是无解,有多少解。(2)解的性态性态。即孤立解的区域,解的重数,光滑性。关于解的存在性及其性态,不是数值分析所讨论的问题。我们总认为:我们的任务是用数值方法求满足一定精度要求的近似解!通常求其精确解是困难的12/31/20221 Numerical Analysis J.
2、G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.二分法内容内容:一般迭代法 牛顿迭代法 迭代法的加速 非线性方程组的牛顿迭代法*12/31/20222 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.1、二分法二分法设 在区间 上连续且有 ,则 在区间 内有解,不妨设解唯一不妨设解唯一!算法构造原理算法构造原理:有根区间12/31/20223 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North Chin
3、a Elec.P.U.x1aabx2b什么时候停止?或或x*算法停止的条件算法停止的条件x12/31/20224 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.综合上述,得到如下算法,综合上述,得到如下算法,(1)(2)(3)否则否则(4)否则否则,转(2);例例1可得共计算21次!注:注:其中 为精度控制参数!12/31/20225 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.二分法只能求有根区间中的奇数重的
4、实根;关于二分法的讨论关于二分法的讨论(1)二分法线性收敛;(2)二分法可用来细化有根区间,这是它的一大优点!(3)故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值迭代初值!返回主目录12/31/20226 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.2、一般迭代法、一般迭代法(1)(2)(3)(一一)构造方法构造方法(1)12/31/20227 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.例例212/31/20228
5、Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.1.50001.5000-0.8750 -0.8750 6.7324 6.7324-69.7200-69.72001.0275e+81.0275e+8不收敛不收敛 1.50001.5000 1.2870 1.2870 1.4025 1.4025 1.3455 1.3455 1.3752 1.3752 1.3601 1.3601 1.3678 1.3678 1.3639 1.3639 1.3659 1.3659 1.3649 1.3649 1.3654 1.3
6、654 1.3651 1.3651 1.3653 1.3653 1.3652 1.3652 1.36521.3652 1.5000 1.5000 0.8165 0.8165 2.9969 2.9969 0-2.9412i 0-2.9412i不收敛不收敛 1.5000 1.34841.3484 1.3674 1.3674 1.3650 1.3650 1.3653 1.3653 1.36521.3652 1.3652 1.3652方法1方法2方法3方法4*收敛与否,以及收敛快慢,取决于迭代函数迭代函数15次6次*精度控制的表达式?12/31/20229 Numerical Analysis J.G
7、.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.(二二)大范围收敛定理大范围收敛定理(1)(2)则(1)(2)(3)下面看证明过程,即 是自映射;12/31/202210 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.(1)由条件(1)可得解的存在性;由条件(2)可证解的唯一性!(2)由条件(1)可知(3)得证;进而可证!12/31/202211 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North Ch
8、ina Elec.P.U.(三三)局部收敛定理局部收敛定理设在包含x*某个开区间内连续,若由迭代(1)产生的序列 ,使得则证明证明:略略!注:注:当定理条件成立时,只要x0充分充分接近x*,就能保证迭代序列xn收敛于x*!且有与前一定理完全相同的不等式成立!12/31/202212 Numerical Analysis J.G.Liu School of Math.&Phys.North China Elec.P.U.分析例分析例2 2四种迭代格式的收敛性,四种迭代格式的收敛性,一般迭代法只有理论上的意义,因为构造保证收敛保证收敛的迭代函数比较困难。注注:方法1的收敛性分析方法2的收敛性分析方
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