第三节__泰勒公式.ppt

《第三节__泰勒公式.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三节__泰勒公式.ppt（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023/1/11第三节第三节泰勒泰勒(Taylor)公式公式 第三章第三章 2023/1/12泰勒泰勒(1685 1731)英国数学家英国数学家,他早期是牛顿学派最他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一优秀的代表人物之一,重要著作有重要著作有:正的和反的增量方法正的和反的增量方法(1715)线性透视论线性透视论(1719)他在他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人他是有限差分理论的奠基人.2023/1/13引例：引例：目录 上页 下页 返回 2023/1/14证明证明因为因为 目录 上页 下页 返回 由柯西积分由柯西积分中值定理中值定理

2、2023/1/15 目录 上页 下页 返回 于是：于是：即：即：2023/1/16三、泰勒公式的应用举例三、泰勒公式的应用举例 应用应用理论分析理论分析近似计算近似计算一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 2023/1/17当当|x|很小时很小时,计算计算e0.1时时,通常借助通常借助ex 1+x,都是用一次函数表示函数都是用一次函数表示函数 f(x)的例子的例子.一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立 目录 上页 下页 返回 计算计算 时时,通常借助通常借助 缺陷缺陷:(1)精度不高精度不高,误差仅为误差仅为o(x)(2)(2)误差不

3、明确，即没有误差估计式误差不明确，即没有误差估计式.从几何上看从几何上看,缺陷缺陷(1)是由于我们在是由于我们在x=0附近附近用直线代替曲线用直线代替曲线,精度当然不高精度当然不高.数学思想：以直代曲2023/1/18y=ex1y=1+x看图看图.1x0y 目录 上页 下页 返回 设想：设想：能否改用二次曲线能否改用二次曲线,三次曲线三次曲线,代替代替?精精度度是否能提高是否能提高,即：曲线的吻合程度是否会更好些呢即：曲线的吻合程度是否会更好些呢?2023/1/1942246420246多项式逼近多项式逼近 目录 上页 下页 返回 2023/1/110 数学思想：以简代繁 目录 上页 下页 返

4、回 对于复杂函数对于复杂函数f(x)需要解决的问题是：需要解决的问题是：1.f(x)能否用能否用关关于于xx0的的n次多项式替代？次多项式替代？使使Pn(x)能在能在x0的附近近似表示的附近近似表示 f(x).2.如果如果f(x)能用关于能用关于xx0的的n次多项式替代，次多项式替代，多项式多项式Pn(x)系数是多少？系数是多少？3.误差误差 f(x)Pn(x)是否能估计大小？如是否能估计大小？如何估计何估计2023/1/1111、若、若 是是n次多项式次多项式则则 目录 上页 下页 返回 2023/1/1122.若 不是多项式多项式函数函数令令则则 目录 上页 下页 返回 2023/1/11

5、3由引例结论于是得由引例结论于是得 目录 上页 下页 返回 2023/1/114公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.泰勒中值定理泰勒中值定理:阶的导数阶的导数,时时,有有其中其中则当则当 目录 上页 下页 返回 2023/1/115 目录 上页 下页 返回 余项估计余项估计2023/1/116公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项.在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为泰勒公式可写为注意到注意到 目录 上页 下页 返回 2023/1/1

6、17特例特例:(1)当当 n=0 时时,泰勒公式变为泰勒公式变为(2)当当 n=1 时时,泰勒公式变为泰勒公式变为拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理可见可见 目录 上页 下页 返回 微分定义微分定义2023/1/118麦克劳林麦克劳林(1698 1746)英国数学家英国数学家,著作有著作有:流数论流数论(1742)有机几何学有机几何学(1720)代数论代数论(1742)在著作流数论中给出了以他的名字命名的在著作流数论中给出了以他的名字命名的麦克劳林公式和麦克劳林级数麦克劳林公式和麦克劳林级数.2023/1/119称为称为麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin）公式）公式.则有则有在泰勒公式中若取

7、在泰勒公式中若取则有误差估计式则有误差估计式若在公式成立的区间上若在公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式 目录 上页 下页 返回 2023/1/120二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中其中 目录 上页 下页 返回 2023/1/121其中其中 目录 上页 下页 返回 2023/1/122类似可得类似可得其中其中 目录 上页 下页 返回 2023/1/123其中其中 目录 上页 下页 返回 2023/1/124已知已知其中其中类似可得类似可得 目录 上页 下页 返回 2023/1/125三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用在近似计算中的

8、应用 误差误差M 为为在包含在包含 0,x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1)已知已知 x 和误差限和误差限,要求确定项数要求确定项数 n;2)已知项数已知项数 n 和和 x,计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3)已知项数已知项数 n 和误差限和误差限,确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.目录 上页 下页 返回 2023/1/126已知已知例例1.计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值,使误差不超使误差不超过过解解:令令 x=1,得得由于由于欲使欲使由计算可知当由计算可知当 n=9 时上式成立时上式成立,因此因此的麦克劳林公式为的麦克劳

9、林公式为 目录 上页 下页 返回 2023/1/1272.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例2.求求解解:由于由于用洛必塔法则用洛必塔法则不方便不方便!用泰勒公式将分子展到用泰勒公式将分子展到项项,目录 上页 下页 返回 2023/1/1283.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4.证明证明证证:目录 上页 下页 返回 2023/1/129两边同乘两边同乘 n!=整数整数+假设假设 e 为有理数为有理数(p,q 为正整数为正整数),则当则当 时时,等式左边为整数等式左边为整数;矛盾矛盾!例例4：证明：证明 e 为无理数为无理数.证证:时时,当当故故 e 为无理数为无理数.等

10、式右边不可能为整数等式右边不可能为整数.目录 上页 下页 返回 4.利用泰勒公式理论分析利用泰勒公式理论分析2023/1/13030 解因为分母是4阶无穷小,常用函数的泰勒展开求例 型未定式练习 求未定式极限故只要将函数展开到4阶无穷小的项即可.2023/1/131内容小结内容小结1.泰勒公式泰勒公式余项余项当当时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式.目录 上页 下页 返回 2023/1/1322.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式(P140 P142)3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1)近似计算近似计算(3)其他应用其他应用求极限求极限,证明不等式证明不等式 等等.(2)利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数,目录 上页 下页 返回