第六章统计推断.ppt

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1、第六章 统计推断n【内容提要】n本章介绍推断统计的内容。第一、二节介绍推断统计的几个基本概念和数学定理。第三节介绍抽样误差。第四节介绍全及指标的推断：点估计和区间估计。第五节介绍样本量的确定。第六节介绍假设检验。最后一节介绍EXCEL在区间估计与假设检验中的使用。第一节 统计推断中几个基本概念一、全及总体和抽样总体n（一）全及总体n（二）抽样总体二、全及指标和抽样指标n （一）全及指标n 根据全及总体各个单位的标志值或标志特征计算的、反映总体某种属性的综合指标，称为全及指标。n总体平均数 总体成数为P=Q=n此外，全及指标还有总体方差和总体标准差，它们都是测量总体标志值分散程度的指标。（二）抽

2、样指标 n由抽样总体各个标志值或标志特征计算的综合指标称为抽样指标。和全及指标相对应还有抽样平均数n抽样成数p、样本标准差S和样本方差S2等等。和p用小写英文字母表示，以示区别。n抽样成数为n样本的方差和样本标准差分别为n 三、重置抽样与不重置抽样n（一）重置抽样n重置抽样，又称有放回的抽样，是指从全及总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本，每次抽中的单位经登录其有关标志表现后又放回总体中重新参加下一次的抽选。n（二）不重置抽样n不重置抽样，又称无放回的抽样，是指从全及总体N个单位中随机抽取一个容量为n的样本，每次抽中的单位登录其有关标志表现后不再放回总体中参加下一次的抽选。四、抽样框与样本

3、数n（一）抽样框n抽样框，又称抽样结构，是指对可以选择作为样本的总体单位列出名册或排序编号，以确定总体的抽样范围和结构。n（二）样本数n样本数，又称样本的可能数目，是指从总体N个单位中随机抽选n个单位构成样本，通常有多种抽选方法，每一种抽选方法实际上是n个总体单位的一种排列组合，一种排列组合便构成一个可能的样本，n个总体单位的排列组合总数，称为样本的可能数目。第二节 大数定律与中心极限定理一、大数定律n大数定律是指在随机试验中，每次出现的结果不同，但是大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值。其原因是，在大量的观察试验中，个别的、偶然的因素影响而产生的差异将会相互抵消，从而使

4、现象的必然规律性显示出来。二、中心极限定理n大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。第三节 抽样误差一、抽样误差的概念 n 当总体指标未知时，往往要安排一次抽样调查，然后用抽样调查所获得的抽样指标的观察值作为总体指标的估计值。这种处理方法是存在一定误差的，我们把抽样指标与所要估计的总体指标之间的差值称为抽样误差。抽样误差的大小能够说明抽样指标估计总体指标是否可行，抽样效果是否理想等调查性问题。常见的抽样误差有：抽样平均数与总体平均数之差 ），抽样成数与总体成数之差(p-P)。二、影

5、响抽样误差的因素n（一）抽样单位数的多少。n（二）总体各单位标志值的差异程度。n（三）抽样方法。n（四）抽样的组织形式。三、抽样平均误差n一个总体可能抽取很多个样本，因此样本指标（样本平均数、样本成数等）就有不同的数值，它们与总体指标（总体平均数、总体成数等）的离差（即抽样误差）也就不同。抽样平均误差就是反映抽样误差一般水平的指标，通常用样本平均数（或样本成数）的标准差来表示。（一）样本平均数的平均误差n以x表示样本平均数的平均误差，表示总体的标准差。根据定义：1当抽样方式为重复抽样时，样本标志值x1，x2，xn是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。所以得：2当抽样方式为不重复抽样时，样

6、本标志值x1，x2，xn不是相互独立的，根据数理统计知识可知：当总体单位数N很大时，这个公式可近似表示为：例6.1：有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。则抽样平均误差为多少？解：根据题意可得：总体标准差若改用不重复抽样方法，则抽样平均误差为：（二）抽样成数的平均误差n根据样本平均误差和总体标准差的关系，可以得到样本成数的平均误差的计算公式。n（1）在重复抽样下n n（2）在不重复抽样下n n当总体单位数N很大时，可近似地写成：n n当总体成数未知时，可以用样本成数来代替。例6.2：某企业生

7、产的产品，按正常生产经验，合格率为90%，现从5000件产品中抽取50件进行检验，求合格率的抽样平均误差。解：根据题意，在重复抽样条件下，合格率的抽样平均误差为：在不重复抽样条件下，合格率的抽样平均误差为：四、抽样极限误差n抽样极限误差，是指在一定的把握程度下保证样本指标与总体指标之间的抽样误差不超过某一给定的最大可能范围，记作。作为样本的随机变量抽样指标值是围绕以未知的唯一确定的全及指标真值为中心上下波动，它与全及指标值可能会产生正或负离差，这些离差均是抽样指标的随机变量，因而难以避免，只能将其控制在预先要求的误差范围内。未知的全及指标的取值可能的范围：例6.3：例如要估计北京北站整车到达货

8、物的平均运送时间。从交付的全部整车货票共26 193批中，用不重复抽样抽取2 718批货票。若允许的抽样极限误差 =0.215（天），经计算知所抽取的每批货物平均运送时间为 5.64（天）那么北京北站整车到达货物的平均运送时间区间估计为（5.640.125，5.64+0.125），即在5.515到5.765天之间。例6.4：资料同上，若要估计北京北站整车到达货物的逾期运到率（报告期内超过规定货物运到期限运到的货物批数/货物的到达总批数），从随机抽取的2718批货票中，计算得抽样逾期到率为6.43%，所确定的抽样极限误差为=0.642%，由此可得北京北站总体的逾期运到率的区间估计是（6.43%-

9、0.642%,6.43%+0.642%）。五、抽样估计的概率度、精度和可靠程度（一）抽样估计的概率度n抽样极限误差是单个样本值与总体指标值之间的绝对离差，而抽样平均误差是所有可能样本值与总体指标值之间的平均离差，用抽样极限误差与抽样平均误差相比，从而使由单一样本值得到的抽样极限误差标准化，这样可称为抽样标准极限误差，但通常称其为概率度（t）或相对误差范围。（二）抽样估计的精度n为了比较不同现象总体的抽样误差程度，必须消除总体规模大小悬殊的影响，通常还需计算抽样误差系数，抽样误差系数记作，反映了抽样误差的相对程度。其计算公式为：n则抽样估计精度（A）公式为：（三）抽样估计的可靠程度n置信区间的测

10、定总是在一定的概率保证程度下进行的，因为既然抽样误差是一个随机变量，就不能指望抽样指标落在置信区间内成为必然事件，只能视为一个可能事件，这样就必定要用一定的概率来给予保证。抽样误差的可能范围是估计的准确性问题，而保证抽样指标落在抽样误差的可能范围之内则是估计的可靠性问题。所以抽样估计可靠程度又称置信度。表6.1 常用概率面积、概率度对应表概率面积F（t）概率度t概率面积F（t）概率度t0.68270.79950.86640.900.95001.001.281.501.641.960.95450.990.99730.999940.9999992.002.583.004.005.00第四节 全及指

11、标推断n全及指标的推断是指对总体平均数和总体成数P推断估计的问题。总体指标的推断有点估计和区间估计两种方法。一、点估计n点估计也称定值估计，它是以抽样得到的样本指标作为总体指标的估计量，并以样本指标的实际值直接作为总体未知参数的估计值的一种推断方法。点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等。二、区间估计显著性水平通常用表示，是一个临界概率值，估计总体参数落在某一区间内，可能犯错误的概率为显著性水平，用表示，1-为置信度或置信水平，表明区间估计的可靠性。（一）区间估计的思想n区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体参数的一个值域，即根据样本指标和抽样平均误差推断总体指标的可

12、能范围。它包括两部分内容：一是这一可能范围的大小；二是总体指标落在这个可能范围内的概率。（二）当2已知时，求的置信区间n例6.7：某种零件的长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取9件，测得它们的平均长度为21.4毫米，已知总体标准差为0.15毫米，试建立该种零件平均长度的置信区间，假定给定置信水平为0.95。n解：因为 所以对于给定的置信水平0.95，有n。n当0.05时，U/21.96，于是有n即总体均值的置信区间为21.302，21.498。（三）当2未知时，求的置信区间定理 设x1，x2，xn，（n2）是来自总体N（，2）的一个样本，则 以1置信水平保证的置信区间 例6.9：某研究机构进

13、行了一项调查来估计吸烟者一月花在抽烟上的平均支出，假定吸烟者买烟的月支出近似服从正态分布。该机构随机抽取了容量为26的样本进行调查，得到样本平均数为80元，样本标准差为20元，试以95%的把握估计全部吸烟者月均烟钱支出的置信区间。解：已知80，S20，n26，10.95由于不知道总体方差，所以用样本方差代替。因为根据0.05，查阅t分布表得，t0.05/2（25）2.06。802.06(3.92)30就可以认为是大样本了。例6.11设某金融机构共有8042张应收账款单，根据过去记录，所有应收账款的标准差为3033.4元。现随机抽查了250张应收款单，得平均应收款为3319元，求98%置信水平的

14、平均应收款。解：已知3319元，n25030，10.98，3033.4因为近似服从标准正态分布，U/2U0.02/22.33，则总体均值的置信区间为 根据调查结果，我们有98%的把握认为全部账单的平均金额至少为2871.99元，至多为3766元。第五节 样本容量的确定n在参数区间估计的讨论中，估计值和总体的参数之间存在着一定的差异，这种差异是由样本的随机性产生的。在样本容量不变的情况下，若要增加估计的可靠度，置信区间就会扩大，估计的精度就降低了。若要在不降低可靠性的前提下，增加估计的精确度，就只有扩大样本容量。当然，增大样本容量要受到人力、物力和时间等条件的限制。一、影响样本容量的因素n （一

15、）总体的变异程度(总体方差)n （二）允许误差的大小n （三）概率保证度1的大小n （四）抽样方法不同二、样本容量的确定 (一)估计总体均值的样本容量在重复抽样条件下样本容量的计算公式：得到不重复抽样条件下的样本容量公式为n=例6.14：某食品厂要检验本月生产的10 000袋某产品的重量，根据以往的资料，这种产品每袋重量的标准差为25克。如果要求在95.45%的置信度下，平均每袋重量的误差不超过5克，应抽查多少袋产品?解在重复抽样的条件下n=在不重复抽样条件下n=99（袋）(二)估计总体成数时的样本容量解上面的方程可得重复抽样条件下样本容量的公式为同理可得不重复抽样条件下的样本容量公式为 例6

16、.15：为了检查某企业生产的10 000个显像管的合格率，需要确定样本的容量。根据以往经验合格率为90%、91.7%。如果要求估计的允许误差不超过0.0275，置信水平为95.45%。求应该取多少只显像管?解 重复抽样条件下，样本容量不重复抽样条件样本容量第六节 假设检验n假设检验是抽样推断的一个重要内容。所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定应接受式拒绝原假设。一、假设检验一般问题(一)假设检验的基本思想n先通过一个例子来说明假设检验的基本思想。n例6.16：某企业生产一种零件，过去的大

17、量资料表明，零件的平均长度为4厘米，标准差为0.1厘米。改革工艺后，抽查了100个零件，测得样本平均长度为3.94厘米。现问：工艺改革前后零件的长度是否发生了显著的变化？n这是关于工艺改革前后零件的平均长度（总体平均数）是否等于4的假设检验问题。(二)假设检验的步骤1、提出原假设和备择假设n对每个假设检验问题，一般可同时提出两个相反的假设：原假设和备择假设。原假设又称零假设，是正待检验的假设，记为H0；备择假设是拒绝原假设后可供选择的假设，记为H1。原假设和备择假设是相互对立的，检验结果二者必取其一。接受H0则必须拒绝H1；反之，拒绝H0则必须接受H1。n常常是采取“不轻易拒绝原假设”的原则，

18、即把没有充分理由不能轻易否定的命题作为原假设，而相应地把没有足够把握就不能轻易肯定的命题作为备择假设。n一般地，假设有三种形式：n（1）H0：0；H1：0。这种形式的假设检验称为双侧检验。如例6.14中可提出假设：H0：4厘米；H1：4厘米。n（2）H0：0；H1：0（或H0：0；H1：0（或H0：0；H1：0）。这种形式的假设检验称为右侧检验。n左侧检验和右侧检验统称为单侧检验。采用哪种假设，要根据所研究的实际问题而定。如果对所研究问题只需判断有无显著差异或要求同时注意总体参数偏大或偏小的情况，则采用双侧检验。如果所关心的是总体参数是否比某个值偏大（或偏小），则宜采用单侧检验。2、选择适当的

19、统计量，并确定其分布形式n在参数的假设检验中，如同在参数估计中一样，要借助于样本统计量进行统计推断。用于假设检验问题的统计量称为检验统计量。在具体问题里，选择什么统计量作为检验统计量，需要考虑的因素与参数估计相同。例如，用于进行检验的样本是大样本还是小样本，总体方差已知还是未知。3、选择显著性水平，确定临界值n显著性水平表示H0为真时拒绝H1的概率。假设检验是围绕对水平假设内容的审定而展开的。如果原假设正确我们接受了（同时也就拒绝了替换假设），或原假设错误我们拒绝了（同时也就接受了替换假设），这表明我们做出了正确的决定。但是，由于假设检验是根据样本提供的信息进行推断的，也就有犯错误的可能。有这

20、样一种情况，原假设正确，而我们却把它当成错误的加以拒绝。犯这种错误的概率用表示，统计上把称为假设检验中的显著性水平，也就是决策中所面临的风险。4、做出结论n根据样本资料计算出检验统计量的具体值，并用以与临界值比较，做出接受或拒绝原假设H0的结论。如果检验统计量的值落在拒绝区域内，说明样本所描述的情况与原假设有显著性差异，应拒绝原假设；反之，则接受原假设。(三)假设检验的小概率原理n假设检验的基本思想是应用小概率的原理。所谓小概率原理，是指发生概率很小的随机事件在一次实验中是几乎不可能发生的。根据这一原理，可以做出是否接受原假设的决定。二、总体均值、比例的假设检验设总体XN（，2），总体方差2

21、为已知，（x1,x2,xn）为总体的一个样本，样本平均数为现在的问题是对总体均值进行假设检验。H0:0（或0 、0）。根据抽样分布定理，样本平均数服从N（，2/n），所以，如果H0成立时，检验统计量U及其分布为：（一）总体方差已知时对正态总体均值的假设检验利用服从正态分布的统计量U进行的假设检验称为U检验法。根据已知的总体方差、样本容量n和样本平均数计算出检验统计量U的值。对于给定的检验水平，查正态分布表可得临界值，将所计算的U值与临界值比较，便可做出检验结论。例6.17：根据过去大量资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正态分布N（1020，1002）。现从最近生产的一批产品中随机抽取16件，测

22、得样本平均寿命为1080小时。试在0.05的显著性水平下判断这批产品的使用寿命是否有显著提高？解：根据题意，提出假设：H0:1020；H1:1020，检验统计量由0.05，查表得临界值U0.051.645由于U2.4U1.645，所以应拒绝H0而接受H1，即这批产品的使用寿命确有显著提高。（二）总体方差未知时对正态总体均值的假设检验n设总体XN（，2），但总体方差2 未知，此时对总体均值的检验不能用上述U检验法，因为此时的检验统计量U中包含了未知参数。为了得到一个不含未知参数的检验统计量，很自然会用总体方差的无偏估计量样本方差S2 来代替2，于是得到T统计量。利用服从t分布的统计量去检验总体均

23、值的方法称为T检验法。例6.18：从长期的资料可知，某厂生产的某种电子原件服从均值为200小时，标准差未知的正态分布。通过改变部分生产工艺后，抽得10件做样本得数据（小时）：202，209，213，198，206，210，195，208，200，207解：根据题意，检验目的是考察电子原件的平均值数据是否有所提高。因此，可建立如下假设：=204.8，S=5.789检验统计量 T由=0.05，查表得临界值由于所以拒绝H0接受H1，即可以接受“在新工艺下，这种电子元件的平均值有所提高的假设”。（三）总体比例的假设检验（三）总体比例的假设检验n由比例的抽样分布定理可知，样本比例服从二项分布，因此可由二

24、项分布来确定对总体比例进行假设检验的临界值，但其计算往往十分繁琐。大样本情况下，二项分布近似服从正态分布。因此，对总体比例的检验通常是在大样本条件下进行的，根据正态分布来近似确定临界值，即采用检验.n首先提出待检验的假设：n检验统量为例6.19：调查人员在调查某企业的主要生产线时，被告知性能良好生产稳定，产品合格率可达99%。随机抽查了200件产品，其中195件产品合格，判断厂方的宣称是否可信？（10%）。解：依题意，可建立如下假设：样本比例由于样本容量相当大，所以可近似采用U检验法。给定=0.1，查正态分布表得由于应接受原假设，即认为厂方的宣称是可信的。本章小结：n1、抽样调查是按照随机原则从总体中抽取部分单位进行调查，用调查所得指标数值对总体相应指标数值做出具有一定可靠性估计和判断的一种调查方法。n2、抽样误差实际上是抽样调查本身所固有的随机误差，而我们能够计算并加以控制的是抽样平均误差。总体标志变异程度、样本容量、抽样方法和抽样方式都会影响抽样平均误差。n3、抽样调查的目的是为了进行抽样估计，而抽样估计的方法主要有两种：点估计和区间估计。n4、假设检验就是事先对总体参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定应接受式拒绝原假设。