高中全程复习方略配套课件：7.9利用空间向量求空间角与距离.ppt

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1、第九节第九节 利用空间向量求空间角与距离利用空间向量求空间角与距离三年三年2323考考 高考指数高考指数:1.1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题夹角的计算问题.2.2.了解向量方法在研究几何问题中的应用了解向量方法在研究几何问题中的应用.1.1.利用直线的方向向量和平面的法向量求空间角与距离是高考利用直线的方向向量和平面的法向量求空间角与距离是高考的热点，尤其是用向量法求平面与平面的夹角和点到平面的距的热点，尤其是用向量法求平面与平面的夹角和点到平面的距离；离；2.2.本节的重点是利用向量法求空间角，难点是

2、正确地进行计算本节的重点是利用向量法求空间角，难点是正确地进行计算3.3.高考对本节的考查多以解答题的形式出现，综合考查空间想高考对本节的考查多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力及数形结合思想象能力、运算能力及数形结合思想.1.1.夹角的计算夹角的计算(1)(1)直线间的夹角直线间的夹角两直线的夹角两直线的夹角当两条直线当两条直线l1 1与与l2 2共面时，我们把两条直线交角中共面时，我们把两条直线交角中,范围在范围在_内的角叫作两直线的夹角内的角叫作两直线的夹角.0,0,异面直线的夹角异面直线的夹角当直线当直线l1 1与与l2 2是异面直线时，在直线是异面直线时，在直线l1

3、1上任取一点上任取一点A A作作ABABl2 2，我，我们把们把_的夹角叫作异面直线的夹角叫作异面直线l1 1与与l2 2的夹角的夹角.设设s1 1，s2 2分别是两异面直线分别是两异面直线l1 1，l2 2的方向向量，则的方向向量，则直线直线l1 1和直线和直线ABABl1 1与与l2 2的夹角的夹角范围范围求法求法关系关系(2)(2)直线与平面的夹角直线与平面的夹角平面外一条直线与它平面外一条直线与它_的夹角叫作该直线与此的夹角叫作该直线与此平面的夹角平面的夹角.设直线设直线l的方向向量为的方向向量为s，平面，平面的法向量为的法向量为n，直线，直线l与平面与平面的的夹角为夹角为,则则sin

4、sin=coscoss，n=_.=_.在该平面内的投影在该平面内的投影(3)(3)平面间的夹角平面间的夹角如图所示，平面如图所示，平面1 1与与2 2相交相交于直线于直线l，点，点R R为直线为直线l上任意上任意一点，过点一点，过点R R，在平面，在平面1 1上上作直线作直线l1 1l,在平面在平面2 2上作上作直线直线l2 2l，则，则l1 1l2 2=R.=R.我们把我们把_叫作平面叫作平面1 1与与2 2的夹角的夹角.直线直线l1 1和和l2 2的夹角的夹角已知平面已知平面1 1和和2 2的法向量分别为的法向量分别为n1 1和和n2 2，当当00n1 1，n2 2 时，平面时，平面1 1

5、与与2 2的夹角等于的夹角等于_;_;当当 n1 1，n2 2时，平面时，平面1 1与与2 2的夹角等于的夹角等于_._.n1 1，n2 2-n1 1，n2 2【即时应用即时应用】(1)(1)思考：直线与平面的夹角、平面的法向量与直线的方向向量思考：直线与平面的夹角、平面的法向量与直线的方向向量的夹角具有怎样的关系？的夹角具有怎样的关系？提示：提示：当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是锐角时，其当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是锐角时，其余角为线面角；当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是钝余角为线面角；当直线的方向向量与平面的法向量的夹角是钝角时，其补角的余角是线面角角时，其补角的余角

6、是线面角.(2)(2)长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1=2=2，AD=1AD=1，E E为为CCCC1 1的中点，的中点，则异面直线则异面直线BCBC1 1与与AEAE夹角的余弦值为夹角的余弦值为_._.【解析解析】建立坐标系如图，则建立坐标系如图，则A(1A(1，0 0，0)0)，E(0E(0，2 2，1)1)，B(1B(1，2 2，0)0)，C C1 1(0(0，2 2，2)2)，=.=.所以异面直线所以异面直线BCBC1 1与与AEAE夹角的余弦值为夹角的余弦值为 .答案：答案：2.2.距离的计算距离的计算(

7、1)(1)点到直线的距离点到直线的距离空间一点空间一点A A到直线到直线l的距离的算法框图为：的距离的算法框图为：在直线在直线l上上任取一点任取一点P P确定直线确定直线l的的方向向量方向向量计算向量计算向量计算计算 在向量在向量 上的投影上的投影计算点计算点A A到直线到直线l的距离的距离d=d=(2)(2)平行直线间的距离平行直线间的距离求平行直线间的距离通常转化为求求平行直线间的距离通常转化为求_._.(3)(3)点到平面的距离点到平面的距离空间一点空间一点A A到平面到平面的距离的算法框图为：的距离的算法框图为：点到直线的距离点到直线的距离在平面在平面上上任取一点任取一点P P找到平面

8、找到平面的法向量的法向量计算向量计算向量计算计算 在向量在向量 上的投影上的投影计算点计算点A A到平面到平面的距离的距离d=d=【即时应用即时应用】(1)(1)思考：如何求线面距离与面面距离？思考：如何求线面距离与面面距离？提示：提示：求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离.(2)(2)思考：如何推导点到平面的距离公式？思考：如何推导点到平面的距离公式？提示：提示：如图如图,点点A A到平面到平面的距离就是向的距离就是向量量 在平面在平面 的法向量的法向量n上投影的绝上投影的绝对值对值,即即d=|d=|sinABOsinABO=|coscos ,

9、n=利用该公式求点到平面的距离简便易行利用该公式求点到平面的距离简便易行.(3)(3)已知在长方体已知在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，底面是边长为中，底面是边长为2 2的正方形，的正方形，高为高为4 4，则点，则点A A1 1到截面到截面ABAB1 1D D1 1的距离是的距离是_._.【解析解析】如图，建立坐标系，则如图，建立坐标系，则A A1 1(2,0,(2,0,4)4)，A(2,0,0)A(2,0,0)，B B1 1(2,2,4)(2,2,4)，D D1 1(0,0,4)(0,0,4)，4),4),设平面设平面ABAB1 1D D1 1的一

10、个法向量为的一个法向量为n(x(x，y y，z)z)，由由得得令令z=1z=1，则，则n(2,(2,2,1)2,1)，设点设点A A1 1到平面到平面ABAB1 1D D1 1的距离为的距离为d d，则则答案：答案：用空间向量求空间角用空间向量求空间角【方法点睛方法点睛】1.1.两异面直线夹角的求法两异面直线夹角的求法利用空间向量求异面直线的夹角可利用直线的方向向量转化成利用空间向量求异面直线的夹角可利用直线的方向向量转化成向量的夹角向量的夹角.2.2.利用向量求直线与平面夹角的方法利用向量求直线与平面夹角的方法(1)(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量分别求出斜线和它所在平面

11、内的射影直线的方向向量,转化转化为求两个方向向量的夹角为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角););(2)(2)通过平面的法向量来求通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面的夹角取其余角就是斜线和平面的夹角.3.3.求平面与平面夹角的常用方法求平面与平面夹角的常用方法(1)(1)分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小夹角得到平面与平面夹角的大小.(2)(2)分别在两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向

12、量分别在两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角则这两个向量的夹角(或其补角或其补角)的大小就是平面与平面夹角的的大小就是平面与平面夹角的大小大小.【提醒提醒】求直线与平面和平面与平面夹角的两种方法各有利弊，求直线与平面和平面与平面夹角的两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题要善于结合题目的特点选择适当的方法解题.【例例1 1】(1)(2012(1)(2012 合肥模拟合肥模拟)已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，则直线，则直线BCBC1 1与平面与平面A A1 1BDBD夹角的余弦值是夹角的余弦值

13、是()()(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)(2)(2012(2)(2012天津模拟天津模拟)如图，在五面如图，在五面体体ABCDEFABCDEF中，中，FAFA平面平面ABCD,ABCD,ADBCFE ADBCFE，ABADABAD，M M为为ECEC的中点，的中点，AF=AB=BC=FE=AF=AB=BC=FE=求异面直线求异面直线BFBF与与DEDE夹角的大小；夹角的大小；证明：平面证明：平面AMDAMD平面平面CDECDE；求平面求平面ABCDABCD与平面与平面CDECDE夹角的余弦值夹角的余弦值.【解题指南解题指南】(1)(1)建立空间直角坐标系，用向量法求解；建立空

14、间直角坐标系，用向量法求解；(2)(2)通过求向量通过求向量 的夹角来求异面直线所成的角；的夹角来求异面直线所成的角；证证 进而得进而得CEAMCEAM，CEADCEAD，可得结论成立；，可得结论成立；利用两平面法向量的夹角求两平面夹角的大小利用两平面法向量的夹角求两平面夹角的大小.【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.建立空间直建立空间直角坐标系如图所示角坐标系如图所示.设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,直线直线BCBC1 1与平与平面面A A1 1BDBD所成的角为所成的角为,则则D(0,0,0),AD(0,0,0),A1 1(1,0,1),(1,0,1),B(1,1,0),C

15、B(1,1,0),C1 1(0(0，1 1，1)1)，设设n=(=(x,y,zx,y,z)是平面是平面A A1 1BDBD的一个法向量的一个法向量,则则 ,令令z=1,z=1,则则x=-1,y=1.x=-1,y=1.n=(-1,1,1)=(-1,1,1)，sinsin=0,0,(2)(2)如图所示，建立空间直角坐标系，如图所示，建立空间直角坐标系，点点A A为坐标原点为坐标原点.设设AB=1,AB=1,依题意得依题意得B(1,0,0),C(1,1,0)B(1,0,0),C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1)D(0,2,0),E(0,1,1)，F(0,0,1)F(0,0,1)，M(

16、,1,).M(,1,).于是于是所以异面直线所以异面直线BFBF与与DEDE所成角为所成角为6060.D DE EC CB BA AF FM My yz zx x由由可得可得所以所以CEAM,CEAD.CEAM,CEAD.又又AMAD=AAMAD=A，故，故CECE平面平面AMD.AMD.又又CECE 平面平面CDE,CDE,所以平面所以平面AMDAMD平面平面CDE.CDE.令平面令平面CDECDE的法向量为的法向量为u=(=(x,y,zx,y,z),),则则 于是于是令令x=1,x=1,可得可得u=(1,1,1)=(1,1,1)又由题设知平面又由题设知平面ABCDABCD的一个法向量为的一

17、个法向量为v=(0,0,1).=(0,0,1).则则coscosu,v=故所求平面故所求平面ABCDABCD与平面与平面CDECDE夹角的余弦值为夹角的余弦值为 .【反思反思感悟感悟】1.1.异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意异面直线的夹角与向量的夹角不同，应注意思考它们的联系和区别；思考它们的联系和区别；2.2.直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系系.用空间向量求空间距离用空间向量求空间距离【方法点睛方法点睛】求

18、平面求平面外一点外一点P P到平面到平面的距离的步骤的距离的步骤(1)(1)求平面求平面的法向量的法向量n；(2)(2)在平面在平面内取一点内取一点A,A,确定向量确定向量 的坐标；的坐标；(3)(3)代入公式代入公式 求解求解.【例例2 2】(1)(1)在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，点中，点E E为为BBBB1 1的的中点，则点中点，则点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离是的距离是_._.(2)(2012(2)(2012衡水模拟衡水模拟)已知四棱锥已知四棱锥P-ABCDP-ABCD中中PAPA平面平面

19、ABCDABCD，且，且PA=4PQ=4PA=4PQ=4，CDA=BAD=90CDA=BAD=90，AB=2AB=2，CD=1CD=1，AD=AD=，M M，N N分分别是别是PDPD，PBPB的中点的中点.求证：求证：MQMQ平面平面PCBPCB；求截面求截面MCNMCN与底面与底面ABCDABCD夹角的大小；夹角的大小；求点求点A A到平面到平面MCNMCN的距离的距离.【解题指南解题指南】(1)(1)建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式建立空间直角坐标系，利用点到面的距离公式求解求解.(2)(2)以以A A为原点建立空间直角坐标系，用向量法求解：为原点建立空间直角坐标系，用向量法求解

20、：求出平面求出平面PCBPCB的一个法向量的一个法向量n0 0,只需证明只需证明 即可；即可；先求出截面先求出截面MCNMCN的一个法向量的一个法向量n,只需利用夹角公式求得两个平只需利用夹角公式求得两个平面的法向量的夹角面的法向量的夹角n,便可得出答案；便可得出答案；利用点到平面的距离公式解题利用点到平面的距离公式解题.【规范解答规范解答】(1)(1)以以A A为原点建立空间为原点建立空间直角坐标系如图所示直角坐标系如图所示.则则A A1 1(0,0,1)(0,0,1)，E(1,0E(1,0，)，D(0,1,0)D(0,1,0)，C C1 1(1,1,1).(1,1,1).设平面设平面A A

21、1 1EDED的法向量为的法向量为n1 1=(=(x,y,zx,y,z)，由由 ，得，得令令z=2z=2，则，则n1 1=(1,2,2).=(1,2,2).又又点点C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距离的距离答案：答案：1 1(2)(2)以以A A为原点，以为原点，以ADAD，ABAB，APAP所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴建立空轴建立空间直角坐标系如图所示间直角坐标系如图所示,由由AB=2AB=2，CD=1CD=1，AD=AD=，PA=4PQ=4PA=4PQ=4，M M，N N分别是分别是PDPD，PBPB的中点，可得的中点，可得A(0A(0，0 0，0)0)

22、，B(0B(0，2 2，0)0)，C(C(，1 1，0)0)，D(D(，0 0，0)0)，P(0P(0，0 0，4)4)，Q(0Q(0，0 0，3)3)，M(M(，0 0，2)2)，N(0N(0，1 1，2)2)，设平面设平面PCBPCB的一个法向量为的一个法向量为n0 0=(=(x,y,zx,y,z),),则有则有令令z=1,z=1,则则x=,y=2x=,y=2 n0 0=(=(，2 2，1),1),又又MQMQ 平面平面PCBPCB，MQMQ平面平面PCB.PCB.设平面设平面MCNMCN的一个法向量为的一个法向量为n=(=(x,y,zx,y,z)，又又则有：则有：令令z=1,z=1,则则

23、x=x=,y=1,y=1 n=(=(，1 1，1)1)，又又 =(0=(0，0 0，4)4)为平面为平面ABCDABCD的法向量，的法向量，coscosn,=截面截面MCNMCN与底面与底面ABCDABCD夹角的大小为夹角的大小为 所求的距离所求的距离d=d=【反思反思感悟感悟】空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、点到面的距离等点到面的距离等.其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借助于几何体的体积求解助

24、于几何体的体积求解.用空间向量解决探索性问题用空间向量解决探索性问题【方法点睛方法点睛】探索性问题的类型及解题策略探索性问题的类型及解题策略探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种：探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种：(1)(1)存在判断型存在判断型存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假设设.(2)(2)位置判断型位置判断型与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略为：将空间中的与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略

25、为：将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决.与角有关的探索性问题的解题策略为：将空间角转化为与向与角有关的探索性问题的解题策略为：将空间角转化为与向量有关的问题后应用公式量有关的问题后应用公式coscos=(=(其中其中n1 1,n2 2是两平面是两平面的法向量或两直线的方向向量的法向量或两直线的方向向量)即可解决即可解决.【例例3 3】(2011(2011浙江高考浙江高考)如图，在三棱锥如图，在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，AB=ACAB=AC，D D为为BCBC的中点，的中点，POPO平面平面ABCABC，垂足，垂足O O落在线段落在线段

26、ADAD上，已知上，已知BC=8BC=8，PO=4PO=4，AO=3AO=3，OD=2.OD=2.(1)(1)证明：证明：APBCAPBC；(2)(2)在线段在线段APAP上是否存在点上是否存在点M M，使得二面角，使得二面角A-MC-BA-MC-B为直二面角？为直二面角？若存在，求出若存在，求出AMAM的长；若不存在，请说明理由的长；若不存在，请说明理由【解题指南解题指南】建立坐标系，建立坐标系，(1)(1)利用利用 来证明；来证明；(2)(2)假假设存在满足条件的点，求出两个半平面的法向量，判断两法向设存在满足条件的点，求出两个半平面的法向量，判断两法向量是否能垂直即可量是否能垂直即可.若

27、垂直，则假设成立；若不垂直，则假设不若垂直，则假设成立；若不垂直，则假设不成立成立.【规范解答规范解答】(1)(1)如图以如图以O O为原点，以射为原点，以射线线ODOD，OPOP分别为分别为y y轴，轴，z z轴的正半轴，建轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则O(0,0,0)O(0,0,0)，A(0,A(0,-3,0),B(4,2,0)-3,0),B(4,2,0)，C(-4,2,0),P(0,0,4).C(-4,2,0),P(0,0,4).即即APBC.APBC.A AB BC CD DO OP Px xy yz z(2)(2)假设存在假设存在M M，设，设 ,其中其中0,

28、1),0,1),则则=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4)=(-4,-2-3,4-4)设平面设平面BMCBMC的法向量的法向量n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1)，平面平面APCAPC的法向量的法向量n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2)由由即即可取可取n1 1=(0,1,=(0,1,)由由 得得 可取可取n2 2=(5,4,-3).=(5,4,-3).由由n1 1n2 2=0,=0,得得解得解得=，故，故AM=3AM=3综上所述，存在点综上所述，存在点M M符合题意，符合题意，AM=3

29、AM=3【反思反思感悟感悟】1.1.开放性问题是近几年高考中出现较多的一种开放性问题是近几年高考中出现较多的一种题型，向量法是解此类问题的常用方法题型，向量法是解此类问题的常用方法.2.2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在有解但不满足题意或无解则不存在.【满分指导满分指导】用空间向量解答立体几何问题的规范解答用空间向量解答立体几何问题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2011)(

30、2011福建高考福建高考)如如图，四棱锥图，四棱锥P-ABCDP-ABCD中，中，PAPA底面底面ABCD.ABCD.四边形四边形ABCDABCD中，中，ABADABAD，AB+AD=4AB+AD=4，CD=CD=，CDA=45CDA=45.(1)(1)求证：平面求证：平面PABPAB平面平面PADPAD；(2)(2)设设AB=AP.AB=AP.若直线若直线PBPB与平面与平面PCDPCD所成的角为所成的角为3030，求线段，求线段ABAB的长；的长；在线段在线段ADAD上是否存在一个点上是否存在一个点G G，使得点，使得点G G到点到点P P，B B，C C，D D的距的距离都相等？说明理由

31、离都相等？说明理由.【解题指南解题指南】(1)(1)证明平面证明平面PABPAB中的直线中的直线ABAB平面平面PADPAD，从而可推，从而可推得平面得平面PABPAB平面平面PADPAD；(2)(2)以以A A为坐标原点，建立空间直角坐标为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后用空间向量法进行求解探究系，然后用空间向量法进行求解探究.【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为PAPA平面平面ABCDABCD，ABAB 平面平面ABCDABCD，所以，所以PAABPAAB，又又ABAD,PAAD=AABAD,PAAD=A，所以所以ABAB平面平面PAD.PAD.又又ABAB 平面平面PABPAB，所

32、以平面所以平面PABPAB平面平面PAD.PAD.3 3分分(2)(2)以以A A为坐标原点，建立空间直角坐标系为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图如图).).在平面在平面ABCDABCD内，内，作作CEABCEAB交交ADAD于点于点E E，则，则CEAD.CEAD.在在RtCDERtCDE中，中，DE=CDDE=CDcos45cos45=1.=1.设设AB=AP=tAB=AP=t，则，则B(t,0,0),P(0,0,t)B(t,0,0),P(0,0,t)，由由AB+ADAB+AD4 4得得AD=4-tAD=4-t，所以，所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-E(0,3

33、-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0).t,0).5 5分分设平面设平面PCDPCD的法向量为的法向量为n=(=(x,y,zx,y,z),),由由 ,得得取取x=tx=t，得平面，得平面PCDPCD的一个法向量的一个法向量n=(t,t,4-t).=(t,t,4-t).6 6分分由题意得由题意得cos60cos60=即即解得解得t=t=或或t=4(t=4(舍去，因为舍去，因为AD=4-t0)AD=4-t0)，所以所以AB=.AB=.8 8分分假设在线段假设在线段ADAD上存在一个点上存在一个点G(G(如图如图)，使得点，使得点G G到点到点P P、B B、C C、D D的距离都相

34、等，的距离都相等，设设G(0,m,0)(G(0,m,0)(其中其中0m4-t)0m4-t)，则，则 9 9分分由由得得1 12 2+(3-t-m)+(3-t-m)2 2=(4-t-m)=(4-t-m)2 2,即即t=3-m.t=3-m.由由 得得(4-m-t)(4-m-t)2 2=m=m2 2+t+t2 2.由由消去消去t t，化简得，化简得m m2 2-3m+4=0.-3m+4=0.由于方程由于方程没有实数根，所以在线段没有实数根，所以在线段ADAD上不存在一个点上不存在一个点G G，使得，使得点点G G到点到点P P，B B，C C，D D的距离都相等的距离都相等.1212分分【阅卷人点拨

35、阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)建立坐标系后，求点的坐标时出现错误；建立坐标系后，求点的坐标时出现错误；(2)(2)解答第解答第(2)(2)问时，不知根据条件将问题转化为方问时，不知根据条件将问题转化为方程的知识来解决，使解题思路受阻而无法解题程的知识来解决，使解题思路受阻而无法解题备备考考建建议议解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以下几解决空间向量在立体几何中的应用问题时，还有以

36、下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)(1)建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整.(2)(2)建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁琐建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁琐.(3)(3)不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题.(4)(4)计算失误导致结果不正确计算失误导致结果不正确.另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法，另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法，有利于快速正确地解题有利于快速正确地解题.1.(20121.(2012西安模

37、拟西安模拟)如图，正方体如图，正方体ABCDABCD-A-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，O O是平面是平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的中心，则的中心，则O O到平面到平面ABCABC1 1D D1 1的距离是的距离是()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)【解析解析】选选B.B.以以D D为原点，为原点，DADA，DCDC，DDDD1 1所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴轴建立空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，则C C1 1(0,1,1),O(,1),D(0,0,0)(0,1,1),O(,1),D(

38、0,0,0)和和A A1 1(1,0,1),(1,0,1),显然显然 =(1,0,1)=(1,0,1)是平面是平面ABCABC1 1D D1 1的一个法向量的一个法向量.又又点点O O到平面到平面ABCABC1 1D D1 1的距离的距离2.(20122.(2012鞍山模拟鞍山模拟)如图，正方体如图，正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2 2，M M，N N分别是分别是C C1 1D D1 1，CCCC1 1的中点，则直线的中点，则直线B B1 1N N与平面与平面BDMBDM夹角的正弦值夹角的正弦值为为_【解析解析】以以D D为坐标原点，分别

39、以为坐标原点，分别以 的方向为的方向为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的正方向建立空间直角坐标系，则轴的正方向建立空间直角坐标系，则B B1 1(2,2,2)(2,2,2)，N(0,2,1)N(0,2,1)，又，又M(0,1,2)M(0,1,2)，D(0,0,0)D(0,0,0)，B(2,2,0)B(2,2,0)，则，则 可得平面可得平面BDMBDM的一个法向量的一个法向量n(2(2，2,1)2,1)，因为，因为 故直线故直线B B1 1N N与平面与平面BDMBDM夹角的正弦值夹角的正弦值是是 .答案：答案：3.3.（20122012咸阳模拟）如图咸阳模拟）如图1 1，在直角梯形，在直角

40、梯形ABCDABCD中中,ADC=90,ADC=90，CDABCDAB，AB=4AB=4，AD=CD=2AD=CD=2，M M为线段为线段ABAB的中点，将的中点，将 ADCADC沿沿ACAC折起，折起，使平面使平面ADCADC平面平面ABCABC，得到几何体，得到几何体D-ABCD-ABC，如图，如图2 2所示所示.（1 1）求证：）求证：BCBC平面平面ACDACD；（2 2）求平面）求平面ACDACD与平面与平面MCDMCD的夹角的余弦值的夹角的余弦值.【解解析析】（1 1）由由题题意意可可得得 从从而而ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2，故故ACBC.ACBC.取取AC

41、AC中点中点O O连结连结ODOD，则，则ODACODAC，又平面，又平面ADCADC平面平面ABCABC，平面平面ADCADC平面平面ABC=ACABC=AC，OD OD 平面平面ACDACD，从而，从而ODOD平面平面ABC.ABC.ODBCODBC，又，又ACBCACBC，ACOD=O.ACOD=O.BCBC平面平面ACD.ACD.（2 2）建立如图所示的空间直角坐标系，则）建立如图所示的空间直角坐标系，则M M（0 0，2 2，0 0），），设设n1 1=(=(x,y,zx,y,z)为平面为平面CDMCDM的一个法向量，的一个法向量，令令x=-1,x=-1,可得可得n1 1=(-1,1,1).=(-1,1,1).又又n2 2=(0,1,0)=(0,1,0)为平面为平面ACDACD的一个法向量，的一个法向量，故平面故平面ACDACD与平面与平面MCDMCD的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为