第4章拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析.ppt

《第4章拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析.ppt（279页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 第第4章章拉普拉斯变换、连续时间系统的拉普拉斯变换、连续时间系统的S域域分析分析主讲：卢亚玲主讲：卢亚玲第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 拉普拉斯变换的发展史（1 1）1919世纪末，英国工程师世纪末，英国工程师赫维赛德赫维赛德（O.Heaviside,O.Heaviside,1850-19251850-1925）发明）发明“运算法运算法”（算子法）解决电工程计（算子法）解决电工程计算中的一些基本问题。算中的一些基本问题。（2 2）后人在法国数学家拉普拉斯（

2、）后人在法国数学家拉普拉斯（P.S.Laplace,P.S.Laplace,1749-18251749-1825）著作中找到可靠数学依据，）著作中找到可靠数学依据，重新给予严密重新给予严密的数学定义，为之取名为拉普拉斯变换的数学定义，为之取名为拉普拉斯变换，简称为拉氏，简称为拉氏变换（变换（LTLT）第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 LT的重要地位的重要地位（1 1）在电路理论研究中，拉普拉斯变换是强有力的工具）在电路理论研究中，拉普拉斯变换是强有力的工具;（2 2）在连续、线性、时不变系统分析中，拉氏变换是不）在连续、线性、时不变系统分析中

3、，拉氏变换是不可缺少的工具可缺少的工具;（3 3）线性时不变系统的时域模型是常系数线性微分方程，）线性时不变系统的时域模型是常系数线性微分方程，拉氏变换能方便求解微分方程的解。拉氏变换能方便求解微分方程的解。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 本章重点本章重点1.拉氏变换定义拉氏变换定义2.拉氏变换的性质拉氏变换的性质3.逆拉氏变换逆拉氏变换4.拉氏变换在电路分析中的应用拉氏变换在电路分析中的应用5.系统函数系统函数6.线性系统稳定性判断线性系统稳定性判断第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 第第

4、4章章连续时间信号和系统的复频域连续时间信号和系统的复频域表示与分析表示与分析4.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质4.3拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换4.4用用LT分析电路、分析电路、S域元件模型、系统函数域元件模型、系统函数4.5LTI连续系统的稳定性连续系统的稳定性第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换4.1.1单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换1.单边拉氏变换定义单边拉氏变换定义因果信号因果信号的傅氏正、的傅氏正、反变换为反变换为第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连

5、续时间信号和系统的复频域表示与分析 傅傅氏氏变变换换对对于于一一些些指指数数函函数数处处理理不不方方便便,主主要要原原因因是是这这类类函函数数不不收收敛敛,例例如如阶阶跃跃函函数数u(t)。为为了了使使函函数数收收敛敛，我我们们在在进进行行变变换换时时让让原原函函数数f(t)乘乘以以e-t，使使得得f(t)e-t是一个收敛速度足够快的函数是一个收敛速度足够快的函数。即有即有 f1(t)=f(t)e-t式式中中,e-t为为收收敛敛（衰衰减减）因因子子，且且f1(t)满满足足绝绝对对可可积积条件。条件。则则 (4.1-1)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表

6、示与分析 令令+j=s，式（式（4.1-1）可表示为）可表示为(4.1-2)F1()的傅氏逆反变换为的傅氏逆反变换为(4.1-3)拉氏变换正变换拉氏变换正变换拉氏变换的逆变换拉氏变换的逆变换第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式式（4.1-3）两两边边同同乘乘et，et不不是是的的函函数数，可可放放入积分号里，入积分号里，由此得到由此得到(4.1-4)已知已知s=+j，ds=d(+j)，为常量，为常量，ds=jd，代入式（代入式（4.1-4）且积分上、）且积分上、下限也做相应改下限也做相应改变，变，式式(4.1-4)可写作可写作(4.1-5)拉

7、氏变换逆变换拉氏变换逆变换定义式定义式第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 因因为为e-t的的作作用用，式式(4.1-2)与与(4.1-5)是是适适合合指指数数阶阶函函数数的的变变换换。又又由由于于式式(4.1-2)中中的的f(t)是是t0时时为为零零的的因因果果信信号号，故故称称“单单边边”变变换换。将将两两式式重重新新表表示示在在一一起，起，单边拉氏变换定义单边拉氏变换定义为为(4.1-6)式中称式中称s=+j为复频率，为复频率，F(s)为象函数，为象函数，f(t)为原函数为原函数。S的物理意义：的物理意义：描述了信号振荡幅度的增长速率或衰减

8、速率；描述了信号振荡幅度的增长速率或衰减速率；：描述振荡的重复频率描述振荡的重复频率第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 象函数与原函数的关系还可以表示为象函数与原函数的关系还可以表示为(4.1-7)s=+j可可以以用用直直角角坐坐标标的的复复平平面面（s平平面面）表表示示，是是实实轴轴，j是虚轴，是虚轴，如图如图4.1-1所示。所示。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 图 4.1-1 复平面 S平面第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 注意：注意：

9、1）拉氏变换的）拉氏变换的基本信号元基本信号元为为est。2）考虑到时刻可能发生冲激，单边拉氏变换下限）考虑到时刻可能发生冲激，单边拉氏变换下限为为。今后，未加标注的今后，未加标注的t=0，均指，均指t=.3）单边拉氏变换）单边拉氏变换收敛区收敛区。虽然单边拉普拉斯变换存。虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽，在条件比傅氏变换宽，不需要信号满足绝对可积，不需要信号满足绝对可积，但对但对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题，问题，这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。第第4章章 连续时间信号和系

10、统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 2.单边拉氏变换收敛区单边拉氏变换收敛区 收收敛敛区区:使使f(t)e-t满满足足绝绝对对可可积积的的取取值值范范围围，或或是是使使f(t)的单边拉氏变换存在的的单边拉氏变换存在的取值范围。取值范围。由由式式(4.1-3)的的推推导导可可见见，因因为为e-t的的作作用用，使使得得f(t)e-t在一定条件下收敛，在一定条件下收敛，即有即有(4.1-8)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式式中中,0叫叫做做收收敛敛坐坐标标，是是实实轴轴上上的的一一个个点点。穿穿过过0并并与与虚虚轴轴j平平

11、行行的的直直线线叫叫做做收收敛敛边边界界。收收敛敛轴轴的的右右边边为为收收敛敛区区，收收敛敛区区不不包包括括收收敛敛轴轴。一一旦旦0确确定定，f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。的拉氏变换的收敛区就确定了。满满足足式式(4.1-8)的的函函数数，称称为为指指数数阶阶函函数数。这这类类函函数数若若发发散散，借借助助指指数数函函数数的的衰衰减减可可以以被被压压下下去去。指指数数阶阶函函数数的的单单边边拉拉氏氏变变换换一一定定存存在在，其其收收敛敛区区由由收收敛敛坐坐标标0确确定定。0的的取取值值与与f(t)有有关关，具具体体数数值值由由式式(4.1-8)计算。计算。(4.1-8)第第4章章 连续时

12、间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 1）若）若f(t)是是随时间衰减的随时间衰减的：00）的）的0=-a，其拉其拉氏变换的收敛区如图氏变换的收敛区如图4.1-2(a)所示；所示；指数阶指数阶f(t)随时间变化的趋势，随时间变化的趋势，收敛区的大致范围为收敛区的大致范围为:4.1-2(a)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 指数阶指数阶f(t)随时间变化的趋势，随时间变化的趋势，收敛区的大致范围为收敛区的大致范围为:2）f(t)的包络线是随时间不变的：的包络线是随时间不变的：0=0，其其拉拉氏氏变变换换的的收收敛敛

13、区区虽虽不不包包含含虚虚轴轴j，但但函函数数的的傅傅氏氏变变换换存存在，在，不过有冲激项。不过有冲激项。例例如如u(t)、sin0tu(t)，其其拉拉氏氏变变换的收敛区如图换的收敛区如图4.1-2(b)所示；所示；4.1-2(b)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 3)f(t)是是随随时时间间增增长长的的，00，收收敛敛区区不不包包含含虚虚轴轴j，函函数数的的 傅傅 氏氏 变变 换换 不不 存存 在在；例例 如如eatu(t)（a0）的的0=a，其其拉拉氏氏变换的收敛区如图变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示。所示。指数阶指数阶f(t)随时间

14、变化的趋势，随时间变化的趋势，收敛区的大致范围为收敛区的大致范围为:4.1-2(c)因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，所以一般可以所以一般可以不标明收敛区。不标明收敛区。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.1.2常用函数的单边拉普拉斯变换常用函数的单边拉普拉斯变换1.F(s)=F()|s=j的函数的函数 当当拉拉氏氏变变换换的的收收敛敛区区包包括括j轴轴，F(s)可可由由F()直直接得到，接得到，仅仅将将j换为换为s，即即 F(s)=F()|s=j (4.1-9)第第4章章 连续时间信号和系统的复频

15、域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 例例4.1-1已知已知f(t)=e-atu(t)(a0)，求，求f(t)的拉氏变换。的拉氏变换。解解 f(t)的收敛域如图的收敛域如图4.1-2(a)所示，所示，包括包括j轴，所以轴，所以第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 2.t的指数函数：的指数函数：eatu(t)（a为任意常数）为任意常数）(4.1-10)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 利用式利用式(4.1-10)，可以推出以下常用信号的拉氏变换。可以推出以下常用信号的拉氏变换。第第4章

16、章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 3.t的正幂函数的正幂函数 即即第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 依此类推，依此类推，(4.1-11)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特别地，特别地，第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4、冲激函数、冲激函数表表4-1列出了常用函数的拉氏变换。列出了常用函数的拉氏变换。第第4章章

17、 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 表4-1 常用函数单边拉氏变换 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 作业（作业（1）P2504-1(1)(8)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 1.线性线性若若f1(t)F1(s)，f2(t)F2(s)，则则 k1f1(t)+k2f2(t)k1F1(s)+k2F2(s)k1,k2为任意常数

18、为任意常数 (4.2-1)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 2.时延（移位、时延（移位、延时）特性延时）特性若若f(t)u(t)F(s)，则则f(t-t0)u(t-t0)(4.2-2)证证令令t-t0=x，t=x+t0，代入上式得代入上式得 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 图图4.2-1 例例4.2-1的波形图的波形图例例4.2-1 以以f1(t)=sint.u(t)为例，画出为例，画出f1(t)；f2(t)=sin(t-t0)u(t)；f3(t)=sint.u(t-t0);f4(t)=s

19、in(t-t0)u(t-t0)的波形并分别求其拉氏变换。的波形并分别求其拉氏变换。解解 f1(t)、f2(t)、f3(t)、f4(t)如图如图4.2-1所示。所示。f1(t-t0)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 可以直接用延时性质的是可以直接用延时性质的是f1(t)、f4(t)：第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 f2(t)、f3(t)经一定的变化后方可用性质。经一定的变化后方可用性质。f2(t)=sin(t-t0).u(t)=(sint.cost0-cost.sint0)u(t)第第4章章

20、 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 例例4.2-2 f(t)如图如图4.2-2所示，所示，求其象函数。求其象函数。解解 已知已知f(t)=f1(t)+f2(t)（利用线性）（利用线性）其中其中f1(t)=e-tu(t)-u(t-1)f2(t)=-f1(t-1)(时延时延)图 4.2-2 例4.2-2的波形图第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 则运用则运用典型信号的拉氏变换典型信号的拉氏变换、时移性质时移性质、线性性质线性性质，可得，可得第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复

21、频域表示与分析 例例4.2-3 求求周周期期函函数数的的单单边边拉拉普普拉拉斯斯变变换换(或或求求如如图图4.2-3所示单边所示单边“周期周期”函数的拉普拉斯变换函数的拉普拉斯变换)。图图4.2-3 例例4.2-3的单边的单边“周期周期”函数函数f1(t)f1(t-T)f1(t-2T)f1(t-3T)f(t)+=+第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 解解 令令f1(t)表表示示f(t)第第一一周周期期,则则f(t)可可表表示示为为 f(t)=f1(t)+f1(t-T)+f1(t-2T)+则则(在收敛区中在收敛区中)第第4章章 连续时间信号和系统

22、的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 令令为为周周期期因因子子，由由以以上上推推导导过过程程中中可可以以得到得到周期函数的单边拉氏变换基本步周期函数的单边拉氏变换基本步 骤骤为为:(4.2-3)(1)求求f(t)第一周期第一周期f1(t)的象函数的象函数F1(s)；(2)周期函数的单边拉氏变换等于函数第一周期的象函周期函数的单边拉氏变换等于函数第一周期的象函数乘以周期因子数乘以周期因子，即即第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 图图4.2-4 例例4.2-4的波形的波形 例例4.2-4 求如图求如图4.2-4(a)所示所示周期的

23、半波整流波形的单边周期的半波整流波形的单边象函数。象函数。解解 （1）求半波整流波形）求半波整流波形第第一周期一周期f1(t)的单边象函数：的单边象函数：f1(t)如图如图4.2-4(b)所示，所示，可由两可由两个波形叠加，个波形叠加，即即(b)f1(t)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 （2）半波整流的单边象函数为）半波整流的单边象函数为第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 3.s域平移域平移若若f(t)F(s),则则 (4.2-4)证明：证明：第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析

24、连续时间信号和系统的复频域表示与分析 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.尺度变换尺度变换若若f(t)F(s),则则 其中其中a0(4.2-5)证证 令令 ，代入上式得代入上式得第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 例例4.2.7已知已知解：解：第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 5.时域卷积定理时域卷积定理若若f1(t)F1(s),f2(t)F2(s)，则则 f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)(4.2-18)第第4章章 连续时间信号和

25、系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 6.复频域卷积定理复频域卷积定理 若若f1(t)F1(s),f2(t)F2(s)，则则(4.2-19)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 7.时域微分时域微分若若f(t)F(s)，则则(4.2-6)式中式中,f(0-)是是f(t)在在t=0-时的值。时的值。可以将式可以将式(4.2-6)推广到推广到高阶导数高阶导数(4.2-7)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特特别别地地，当当f(t)为为有有始始函函数数，即即t0，f(t)=0时时

26、，我们有我们有f(0-)=f(0-)=f(n-1)(0-)=0则式则式(4.2-6)、(4.2-7)可分别化简为可分别化简为(4.2-8a)(4.2-8b)式中式中,s为微分因子。为微分因子。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 例例4.2.8用微分定理求用微分定理求f(t)的拉氏变换。的拉氏变换。0t23f(t)解：解：f(0-)=2第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 8.时域积分时域积分若若f(t)u(t)F(s)，则则(4.2-9)式中式中,f(-1)(t)表示积分运算，表示积分运算，第第4

27、章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特别的，特别的，如果如果f(t)为因果信号，为因果信号，则则，式式(4.2-9)为为(4.2-13)式中式中,1/s为积分因子。为积分因子。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 9.复频域微分复频域微分若若L f(t)=F(s)，则则(4.2-14)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 可以推广至复频域的高阶导数可以推广至复频域的高阶导数利用这一性质可证明利用这一性质可证明t的正幂函数的象函数的正幂函数的象函数第第4章章

28、 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 10.初值定理初值定理设有设有f(t)、f(t)，且且L f(t)、L f（t)存在，存在，则则(4.2-16)初值定理初值定理只适用只适用f(t)在在原点原点处处没有没有冲激的函数。冲激的函数。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 11.终值定理终值定理设有设有f(t)、f(t)，且且L f(t)、L f(t)存在存在,则则f(t)的终值的终值(4.2-17)终值适用的条件是终值适用的条件是sF(s)的的所有极点所有极点在在s平面的平面的左左半面半面(F(s)可有在原点

29、处的单极点可有在原点处的单极点)。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 表4-2 拉氏变换性质（定理）第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 作业（作业（2）P250 4-1(11)-(20)4-24-3P251 4-5第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.3拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 拉普拉斯反（逆）变换是将象函数拉普拉斯反（逆）变换是将象函数F(s)变换为原变换为原函数函数f(t)的运算。的运算。式式(4.1-6)给出为给出为第第4章章 连续时

30、间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 这这个个公公式式的的被被积积函函数数是是一一个个复复变变函函数数，其其积积分分是是沿沿着着收收敛敛区区内内的的直直线线-j+j进进行行。这这个个积积分分可可以以用用复复变变函函数数积积分分计计算算。但但一一般般情情况况下下计计算算函函数数比比计计算算积积分分更更容容易易，因因此此可可以以利利用用复复变变函函数数理理论论中中的的围围线线积积分分和和留留数数定定理理求求反反变变换换。但但当当象象函函数数为为有有理理函函数数时时，更更简简便便的的是是代代数数方方法法，这这种种方方法法称称为为“部部分分分分式式法法”。本本课课程程详详

31、细细讨讨论论拉拉氏氏反反（逆逆）变变换换的的部部分分分分式式法法，简简单阐述拉氏反（逆）变换的留数定理法。单阐述拉氏反（逆）变换的留数定理法。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 F(s)为为s的的有有理理函函数数时时，一一般般形形式式可可表表示示为为(4.3-1)式中式中,ai、bi为实常数，为实常数，n、m为正整数。为正整数。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 部部分分分分式式法法的的实实质质是是利利用用拉拉氏氏变变换换的的线线性性特特性性，先先将将F(s)分分解解为为若若干干如如表表4-1所

32、所示示的的简简单单函函数数之之和和，再再分别对这些简单象函数求原函数。分别对这些简单象函数求原函数。将分母多项式表示为便于分解的形式将分母多项式表示为便于分解的形式 A(s)=(s-p1)(s-p2)(s-pn)(4.3-2)式式中中,p1,p2,pn是是A(s)=0方方程程式式的的根根，也也称称F(s)的的极点极点。同样分子多项式也可以表示为同样分子多项式也可以表示为 B(s)=(s-z1)(s-z2)(s-zm)(4.3-3)式式中中,z1,z2,zm是是B(s)=0方方程程式式的的根根，也也称称F(s)的的零零点点。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频

33、域表示与分析 p1,p2,pn既既可可以以是是各各不不相相同同的的单单极极点点，也也可可能能出出现现有有相相同同的的极极点点即即有有重重极极点点；分分母母多多项项式式的的阶阶次次一一般般高高于于分分子子多多项项式式(mn)，但但也也有有可可能能mn。下下面面分分几种具体情况讨论几种具体情况讨论F(s)分解的不同形式。分解的不同形式。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 1.mn，F(s)均为单极点均为单极点(4.3-4)式中式中,p1,p2,pn为不同数值的单极点为不同数值的单极点F(s)可分解为可分解为(4.3-5)则则F(s)的拉氏反变换为的

34、拉氏反变换为 (4.3-6)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 确定系数确定系数k1,k2,kn我们在式我们在式(4.3-5)两边乘以两边乘以(s-p1)(4.3-7)再令再令s=p1，则式则式(4.3-7)右边除右边除k1外，其余各项均为零，外，其余各项均为零，由此得到第一个系数由此得到第一个系数k1=(s-p1)F(s)|s=p1 (4.3-8)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 同同样样,在在式式(4.3-5)两两边边同同乘乘(s-p2)，然然后后令令s=p2可可得得第二个系数第二个系数第

35、第i个系数个系数ki为为4.3-9第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 例例4.3.1解：解：第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特殊的，当包含特殊的，当包含共轭复数单极点共轭复数单极点：用用比较系数法比较系数法，展开部分分式。，展开部分分式。基本公式：基本公式：第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 例例4.3.2解：解：比较系数：比较系数：第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 第第4章章 连续时间信号

36、和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 2.mn，F(s)均为单极点均为单极点当当mn时时，利利用用长长除除法法将将分分子子多多项项式式的的高高次次项项提提出出，对对余余下下的的mn部部分分处处理理同同上上。对对提提取取的的sr部部分分（0rm-m），利利用用微微分分性性质质可可得得到到对对应应的的原原函函数数：(4.3-11)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 例例4.3-3已知象函数已知象函数 ，求原函数求原函数f(t)。解解 第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 3.m

37、0t0 D第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 则所求逆变换为：则所求逆变换为：第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 求留数公式：求留数公式：第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 例例4.3-5解：解：第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.4用用LT分析电路、分析电路、S域元件模型、系统函数域元件模型、系统函数4.4.1用拉普拉斯变换求解线性微分方程用拉普拉斯变换求解线性微分方程 用用拉拉氏氏变变换换

38、求求解解线线性性微微分分方方程程，可可以以把把对对时时域域求求解解微微分分方方程程的的过过程程，转转变变为为在在复复频频域域中中求求解解代代数数方方程程的的过过程程，再再经经拉拉氏氏反反变变换换得得到到方方程程的的时时域域解解。下下面面以以二二阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程为为例例讨讨论论用用拉拉氏氏变变换换求求解解线线性微分方程的一般方法，性微分方程的一般方法，高阶微分方程求解方法类推。高阶微分方程求解方法类推。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 例例4.4-1 已知线性系统的微分方程为已知线性系统的微分方程为求系统的零输入响应求系

39、统的零输入响应yzi(t)、零状态响应、零状态响应yzs(t)和完全响应和完全响应y(t)。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 f(t)的单边拉氏变换为的单边拉氏变换为 解解根根据据单单边边拉拉氏氏变变换换的的时时域域微微分分性性质质，对对系系统统微微分分方方程程取取单边拉氏单边拉氏变换，得变换，得第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式式1代入代入0-状态和激励，得到全响应的状态和激励，得到全响应的LT变换变换由部分分式展开法由部分分式展开法逆拉氏变换逆拉氏变换求全响应求全响应第第4章章 连续时

40、间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式式1代入代入0-状态和激励：此时状态和激励：此时0-状态为零，得零状态响应的状态为零，得零状态响应的LT变换变换由部分分式展开法由部分分式展开法逆拉氏变换逆拉氏变换求零状态响应求零状态响应第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 式式1代入代入0-状态和激励，此时激励为零，得零输入响应的状态和激励，此时激励为零，得零输入响应的LT变换变换由部分分式展开法由部分分式展开法逆拉氏变换逆拉氏变换求零输入响应求零输入响应第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复

41、频域表示与分析 总结：用总结：用Laplace变换法求解微分方程特点变换法求解微分方程特点()、利利 用用 Laplace变变 换换 的的 微微 分分 性性 质质 对对 方方 程程 进进 行行Laplace变换；变换；()、只用知道、只用知道的条件；的条件；(3)、输入为具有拉氏变换的函数。输入为具有拉氏变换的函数。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 二阶常系数线性微分方程的一般形式为二阶常系数线性微分方程的一般形式为（4.4-1）设设f(t)是是因因果果激激励励，又又已已知知初初始始条条件件y(0-),y(0-)，可可利利用用拉拉氏氏变变换换

42、求求解解式式（4.4-1）。对对式式（4.4-1）等等式式两两边边取取拉氏变换，拉氏变换，利用单边拉氏变换的微分性质，利用单边拉氏变换的微分性质，得到得到 s2Y(s)-sy(0-)-y(0-)+a1sY(s)-y(0-)+a2Y(s)=b0s2F(s)+b1sF(s)+b2F(s)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 整理上式为整理上式为(s2+a1s+a2)Y(s)=(b0s2+b1s+b2)F(s)+sy(0-)+y(0-)+a1y(0-)（4.4-2）第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4

43、.4.2s域的网络模型域的网络模型运算电路法运算电路法根根据据元元件件上上的的电电压压、电电流流关关系系列列写写电电路路系系统统的的微微,积积分分方方程程,然然后后对对方方程程取取拉拉氏氏变变换换的的方方法法,在在分分析析电电路路响响应应时时有有许许多多优优点点,但但是是对对比比较较复复杂杂的的网网络络(多多网网孔孔、节节点点),以以及及对对初初始始条条件件的的处处理理（需需要要标标准准化化或或等等效效）还还有有许许多多不不便便之之处处,我我们们可可以以用用s域域的的网网络络模模型型运运算算电电路路法法，简简化化获获得得网网络络拉拉氏氏变变换换方方程程的的过过程程,并并且且将将初始条件初始条件

44、“自动自动”引入，引入，充分体现拉氏变换优越性充分体现拉氏变换优越性.第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 1.无初始条件时元件的无初始条件时元件的s域模型域模型(4.4-8)R,L,C元件的元件的时域时域电压电流关系为电压电流关系为第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 无初始条件元件的无初始条件元件的s域网络模型域网络模型(4.4-9)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 由上式可见，由上式可见，（1）R、Ls,1/Cs是复频域阻抗，是复频域阻抗，s

45、域的电压电流关系满域的电压电流关系满足复频域（广义）的欧姆定律。足复频域（广义）的欧姆定律。（2）S域的模型将元器件时域的微、域的模型将元器件时域的微、积分运算关系变为积分运算关系变为代数运算关系。代数运算关系。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 （1）、电阻：）、电阻：R+-2.元件的元件的s域模型域模型第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 （2）、电容：）、电容：时域时域S域域等效电压源等效电压源等效电流源等效电流源第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示

46、与分析 （3）、电感：）、电感：时域时域S域域等效电压源等效电压源等效电流源等效电流源第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 3、Laplace变换的电系统分析变换的电系统分析(1)、Laplace变换的电系统等效模型（变换的电系统等效模型（S域模型）；域模型）；(2)、利用、利用KCL、KVL列写电路方程；列写电路方程；(3)、求解、求解S域方程；域方程；(4)、反变换得时域解。、反变换得时域解。S域模型：域模型：数学运算是代数关系，它与电阻性网络的分数学运算是代数关系，它与电阻性网络的分析方法一样析方法一样第第4章章 连续时间信号和系统的复频域

47、表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 图图4.4-5例例4.4-2电路系统电路系统 例例4.4-2电路如图电路如图4.4-5所示，所示，激励为激励为e(t)，响应为响应为i(t)，求求s域域等效模型及响应的等效模型及响应的s域方程。域方程。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 图图4.4-6例例4.4-2电路的电路的s域网络模型域网络模型 解解s域等效模型（运算等效电路）如图域等效模型（运算等效电路）如图4.4-6所示，所示，第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 列出网孔方程列出网孔方程:

48、解出解出其中其中,Z(s)=Ls+R+1/Cs为为s域等效阻抗。域等效阻抗。思考：若电路起始状态为思考：若电路起始状态为0？（书上册（书上册P198例例4-14）第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 例例4.4-3电路如图电路如图4.4-9,已知已知e(t)=10V；vC(0-)=5V，iL(0-)=4A，求求i1(t)。图图4.4-7例例4.4-3电路电路第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 图图4.4-8例例4.4-3电路的电路的s域网络模型域网络模型 解解s域等效模型（运算等效电路）如图域等效

49、模型（运算等效电路）如图4.4-7所示，所示，+第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 列出网孔方程列出网孔方程:解得解得取拉氏反变换取拉氏反变换第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 作业（作业（4）P842-12用用LT方法求解本题方法求解本题P2514-64-74-8(选作二题选作二题)P2524-94-11P2534-13(a)（b）P2544-15第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.5系统函数与复频域分析法系统函数与复频域分析法 4.5.1

50、系统函数系统函数H(s)系统函数在系统函数在零状态零状态下定义为下定义为(4.5-1)系统函数也称转移函数、系统函数也称转移函数、传输函数、传输函数、传递函数。传递函数。第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 由式由式(4.5-1)可得系统零状态响应象函数为可得系统零状态响应象函数为 (4.5-2)所以系统的零状态响应所以系统的零状态响应(4.5-3)第第4章章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析连续时间信号和系统的复频域表示与分析 特特别别的的，激激励励为为(t)时时，系系统统零零状状态态响响应应是是单单位位冲激响应冲激响应 e(t)=(t)E