2.4基本不等式及其运用(1).pdf

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1、2.42.4 基本不等式及其运用（基本不等式及其运用（1 1）上海市淞浦中学朱丽华2018.10.25知识与技能：知识与技能：1.通过几何图形的探究，学生从中抽象出基本不等式：a2b2 2ab,(a,bR)，ab 2 ab(a,bR)当且仅当a=b时等号成立。2.学生用代数方法证明两个基本不等式，从而感悟形数统一以及数学严密的逻辑推理3.通过应用，学生体会和感悟利用基本不等式的三个限制条件：一正二定三等号。4.通过解决最值问题，学生深化对基本不等式的理解过程与方法：过程与方法：1.通过实例探究抽象出基本不等式，培养学生的数学抽象能力。2.通过对基本不等式的代数证明，培养学生严密的逻辑推理能力3

2、.通过应用，自主探索出利用基本不等式的三个限制条件，培养学生分析和概括能力。情感态度与价值观：情感态度与价值观：通过对古代数学家赵爽的认识，学生了解中国数学文化，体会数学来源于生活，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯。教学背景：教学背景：如图是 2002 年在北京召开的 24 届国际数学家大会的会标会标是根据我国古代数学家赵爽画的 弦图设计，体现了数学研究中的继承和发展。问题问题 1 1：比较正方形的面积S1与里面四个全等的直角三角形面积和S2的大小。问题问题 2 2：能否转换成代数形式分析：设RtAHD的两条直角边分别为：AFD D a,DF b，则AD a2b21S

3、1 a2b2，S2ab4 2ab2由图知：S1A AG GF FH HE EC C S2故a2b2 2ab，当直角三角形为等腰直角三角形即a=b时，正方形EFGH变为一点，此时a2b2 2aba2b2 2ab当且仅当a=b时等号成立问题问题 3 3：能否用代数方法给出证明呢？B B证明：a2b22ab (a b)2 0,当且仅当a=b时等号成立2即a,bR,a b2 2ab当且仅当a=b时等号成立2基本不等式 1：a,bR,a b2 2ab当且仅当a=b时等号成立问题问题 4 4：能否利用上述结论推得：a,bR分析：用,ab 2 ab当且仅当a=b时等号成立a代替a，b代替b可得：a,bR,a

4、b 2 ab当且仅当a=b时等号成立基本不等式 2：a,bR,ab 2 ab当且仅当a=b时等号成立2总结：总结：基本不等式 1：a,bR,a基本不等式 2：a,bRb2 2ab当且仅当a=b时等号成立,a bab当且仅当a=b时等号成立2ab称为算术平均数算术平均数，ab称为几何平均数几何平均数2应用一应用一1.已知a 0,b 0，若a b 2，则ab有最_ _值，为_，此时a,b的值2.已知a 0,b 0，若ab=4，则a b有最_值，为_，此时a,b的值问题问题 5 5：探索基本不等式成立的三个限制条件应用二1、已知x 0求代数式x1的最小值，并求出此时的x的值.x解：变式 1：x22替

5、换代数式中的x呢？变式 2：x21替换代数式中的x呢？1求代数式x1的最小值，并求出此时的x的值.x1变式 4：已知x 0求代数式x1有最值，并求出此时的x的值.x变式 3：已知x2.已知x 0，y 0，x 2y并求出此时的x，y的值.3.已知0 归纳总结：归纳总结：1.不等式的左边为正2.和为定值可求得积的最大值，积为定值可求得和的最小值3.当且仅当不能漏一正二定三等号总结总结(学生学生)基本不等式 1：a,bR,a基本不等式 2：a,bR1求x y的最大值，x 3求，x(3 x)的最大值。2b2 2ab当且仅当a=b时等号成立,a bab当且仅当a=b时等号成立21.不等式的左边为正2.和

6、为定值可求得积的最大值，积为定值可求得和的最小值3.当且仅当不能漏一正二定三等号课后练习课后练习221、不等式a b 2ab中等号成立的条件是。2、当x 0时，当且仅当x 时，x为3、若x 0，则x 1有（最大或最小）值，且值x1的取值范围是。x4、若a 0，则a 12 a5、若a2 b21，则ab有最值为，当且仅当a，b _时，取得最值。6、不等式x211中，等号成立的条件是当且仅当。x21x7.若x y 1，求3 3y的最小值，并求出此时的x,y的值。28.若x 0，求x 1的最小值，并求出此时的x的值。2x9.已知0 x 1，求x(1 x)的最大值，并求取最大值时的x的值。10.用一根长

7、为 6 米的栅栏围成一边靠墙的鸡圈，问当长宽为多少时，鸡圈面积最大，最大面积为多少？教学设计思路：首先感谢各位专家来我们学校给与教学上的指导，我是上周接到任务，开一节同课异构的教学研讨课，根据教学的进度正好上到基本不等式这一节。这节课的引入，我采用了第 24届数学家大会的会标，原因是这张图教材上有，另外它是根据我国古代数学家赵爽的弦图而设计的，正好让学生了解一下中国的数学文化，激发同学们的爱国热情。因为学生的基础比较薄弱，让学生从图中直接找出不等关系，从而得到基本不等式 1，对我们学生的要求太高，所以我降低难度，直接给明方向，比较面积的大小关系，并利用几何画板演示，通过基本不等式模型的观察，分析概括等思维活动从而得到基本不等式 1，然后给出代数证明，体现了数学思维的严谨性，达到了形数统一。后面直接用代换得到基本不等式 2.即算术平均数几何平均数，而后应该顺势给出调和平均数和平方平均数与它们的大小关系，因为学生的实际水平，我就没深入。本节课我觉得导出利用基本不等式的三个限制条件是难点，所以我设计了三个辨析题，通过辨析学生自主探索出一正二定三等号，从而能在习题中会判断是否可以用基本不等式，如何用的问题，如构造。因为自我水平不是很高，在设计上也存在了很多的问题，我也是抱着学习的态度，希望得到专家们的批评和指点，谢谢大家。