随机信号分析课件第5章.ppt

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1、 随机过程第一章：随机过程的概念与基本类型第一章：随机过程的概念与基本类型第一章：随机过程的概念与基本类型第一章：随机过程的概念与基本类型*1.1 1.1 概率空间概率空间*1.2 1.2 随机变量随机变量*1.3 1.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布*1.4 1.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.5 1.5 随机过程的定义和统计描述随机过程的定义和统计描述1.6 1.6 随机过程分布律和数字特征随机过程分布律和数字特征1.7 1.7 复随机过程复随机过程1.8 1.8 随机过程基本类型随机过程基本类型*1.1 1.1 概率空间概率空间n预备知识（概率论）预备知识（概率论）简

2、要回顾一下概率论中与本课程有关的基本概念：简要回顾一下概率论中与本课程有关的基本概念：n随机试验随机试验n概率空间概率空间n样本空间样本空间n概率概率随机试验随机试验 试验结果事先不能准确预言，三个特征：试验结果事先不能准确预言，三个特征：（1 1）可以在相同条件下重复进行；）可以在相同条件下重复进行；（2 2）每次试验结果不止一个，可预先知道试验所有可）每次试验结果不止一个，可预先知道试验所有可 能结果；能结果；（3 3）每次试验前不能确定那个结果会出现。）每次试验前不能确定那个结果会出现。概率空间概率空间 概率空间是随机试验和概率的数学模型。概率空间概率空间是随机试验和概率的数学模型。概率

3、空间由三个要素组成：由三个要素组成：（1 1）样本空间；）样本空间；（2 2）定义于样本空间的事件集；）定义于样本空间的事件集；（3 3）定义于事件集上的概率集。）定义于事件集上的概率集。样本空间样本空间 随机试验所有可能结果组成的集合，记为随机试验所有可能结果组成的集合，记为。中的元素中的元素e称为称为样本点，样本点是试验的每一个不可样本点，样本点是试验的每一个不可分解的结果。分解的结果。就是就是样本空间。样本空间。事件事件样本空间的子集样本空间的子集A称为称为事件事件。基本事件和复合事件。必然事件和不可能事件。基本事件和复合事件。必然事件和不可能事件。集合运算集合运算和事件和事件“事件事件

4、A和事件和事件B至少一个发生至少一个发生”构成的事件。构成的事件。积事件积事件“事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生”构成的事件。构成的事件。“事件事件A和事件和事件B同时发生同时发生”构成的事件构成的事件。差事件差事件互不相容关系互不相容关系事件事件A与事件与事件B不可能同时发生。不可能同时发生。互逆关系互逆关系事件事件A与事件与事件B必有一个发生，且仅有一个发生。必有一个发生，且仅有一个发生。古典概率古典概率n随机试验中一切可能结果是有限多个；随机试验中一切可能结果是有限多个；n每个结果出现的可能性是相等的；每个结果出现的可能性是相等的；n则事件则事件A发生的概率可表示为：发生的概

5、率可表示为：例如例如：一批产品共：一批产品共100件，其中次品件，其中次品4件，从这批产品中件，从这批产品中任取任取1件，求取到正品的概率。件，求取到正品的概率。几何概率几何概率n计算无穷个基本事件的情形；计算无穷个基本事件的情形；n样本点具有均匀分布的性质；样本点具有均匀分布的性质；n设用设用 L（）作为区域作为区域大小的量度，而区域大小的量度，而区域中任意中任意可能出现的小区域可能出现的小区域A的量度用的量度用L（A）表示；表示；n则事件则事件A（或某一区域）发生的概率表示为：或某一区域）发生的概率表示为：例如例如：跳伞运动员降落在某一区域的概率。：跳伞运动员降落在某一区域的概率。例题例题

6、1-1 在时间间隔在时间间隔T内的任何瞬间，两个不相关的信号等可内的任何瞬间，两个不相关的信号等可能地进入收音机。如果当且仅当这两个信号进入收音机的能地进入收音机。如果当且仅当这两个信号进入收音机的间隔时间不大于间隔时间不大于t，则收音机受到干扰，试求收音机收到则收音机受到干扰，试求收音机收到干扰的概率。干扰的概率。x-y=tx-y=-tT2-(T-t)2统计概率统计概率n用于计算前两种概率概括不了的随机事件概率；用于计算前两种概率概括不了的随机事件概率；n用事件的频率近似地去表达事件的概率；用事件的频率近似地去表达事件的概率；n若在同样的条件下，将随机试验独立的重复做若在同样的条件下，将随机

7、试验独立的重复做n次，事件次，事件A出现了出现了nA次，则事件次，则事件A的频率是：的频率是：n当试验次数当试验次数n增大时，其中大量的频率聚集在一个常数周围；增大时，其中大量的频率聚集在一个常数周围；n这个常数是客观存在的，反映了事件这个常数是客观存在的，反映了事件A出现可能性的大小，我出现可能性的大小，我们认为这个常数就是事件的概率。们认为这个常数就是事件的概率。公理化定义的概率公理化定义的概率(1933年前苏联科学家柯尔莫哥洛夫)对于一个事件对于一个事件AA样本空间样本空间，赋予一个实数赋予一个实数P P，若满足：若满足：1.1.0P(A)1;(0P(A)1;(非负性非负性)2.2.P(

8、P()=1;()=1;(规范性规范性)3.3.若若A A1 1,A,A2 2,.,.,A Ak k两两互斥，则两两互斥，则:(:(可加性可加性)我们称我们称P P（A A）为事件）为事件A A的一个概率。的一个概率。概率空间概率空间 规定一个随机试验，所有样本点之集合构成规定一个随机试验，所有样本点之集合构成样本空间样本空间，在样本空间中一个样本点或若干个样本点之适当集合在样本空间中一个样本点或若干个样本点之适当集合F称为称为事件域事件域，F中的每一个集合称为中的每一个集合称为事件事件。若。若A F，则，则P(A)就是就是事件事件A的概率的概率，并称这三个实体的结合（，并称这三个实体的结合（，

9、F，P）为一个为一个概率空间概率空间。条件概率条件概率 在事件在事件B已发生这一条件下，事件已发生这一条件下，事件A发生的概率：发生的概率：全概率全概率 若有若有N个互斥事件个互斥事件An（n=1,2,N），），它的并集等于整它的并集等于整个样本空间，则个样本空间，则:其中，事件其中，事件B伴随事件伴随事件An发生。发生。10箱同规格产品，其中箱同规格产品，其中5箱为甲厂生产，箱为甲厂生产，3箱为乙厂生产，箱为乙厂生产，2箱为丙厂生产，而甲厂、乙厂，丙厂生产的次品率分别为箱为丙厂生产，而甲厂、乙厂，丙厂生产的次品率分别为0.1，0.06，0.03，现在任取，现在任取1箱，在从箱子中任取箱，在从

10、箱子中任取1件，问件，问取得正品的概率取得正品的概率?例题例题1-2(后验概率公式或逆概率公式后验概率公式或逆概率公式)设事件设事件A1，A2，An构成一个完备事件组，概率构成一个完备事件组，概率P(Ai)0,i=1,2,n,对于任何一个事件对于任何一个事件B，若，若P(B)0,有有贝叶斯公式贝叶斯公式 事件事件A1，A2，An看作是导致事件看作是导致事件B发生的发生的“因素因素”，P(Ai)是在事件是在事件B已经出现这一信息，得知前已经出现这一信息，得知前Ai出现的概出现的概率，通常称为率，通常称为先验概率。先验概率。公式给出的公式给出的P(AiB)是在经过试验获得事件是在经过试验获得事件B

11、已经发生这已经发生这个信息之后，事件个信息之后，事件Ai发生的概率，称为发生的概率，称为后验概率。后验概率。例题例题1-3 设一个二进制的数字通信系统，主要由设一个二进制的数字通信系统，主要由1和和0两种符号两种符号组成，如下图，且组成，如下图，且P(B1)=0.6，P(B2)=0.4，求条件求条件 概率。概率。10箱同规格产品，其中箱同规格产品，其中5箱为甲厂生产，箱为甲厂生产，3箱为乙厂生产，箱为乙厂生产，2箱为丙厂生产，而甲厂、乙厂，丙厂生产的次品率分别为箱为丙厂生产，而甲厂、乙厂，丙厂生产的次品率分别为0.1，0.06，0.03，现在任取，现在任取1箱，若取得的是箱，若取得的是1件正品

12、，问该件正品，问该箱产品是甲厂生产的概率是多少？箱产品是甲厂生产的概率是多少？例题例题1-2（续）（续）独立事件独立事件 设（设（，F，P）为一概率空间，事件为一概率空间，事件A F，B F且且P(A)0，若，若P(B|A)=P(B)，则称事件则称事件B随机独立于事件随机独立于事件A。例题例题1-4 设每个家庭有设每个家庭有3个孩子，男孩、女孩排列的八种可能性的个孩子，男孩、女孩排列的八种可能性的概率均为概率均为1/8，定义如下事件：，定义如下事件：A既有男孩又有女孩的家庭既有男孩又有女孩的家庭 P(A)=(8-1-1)/8=3/4B最多只有一个女孩的家庭最多只有一个女孩的家庭 P(B)=(1

13、+3)/8=1/2问：问：A，B是否统计独立？是否统计独立？P(AB)=P(1女女)=3/8*1.2 随机变量随机变量定义：定义：设（设（，F，P）是概率空间，对任一个是概率空间，对任一个e ，都有实数，都有实数 X(e)与之对应，与之对应，则称则称X(e)为随机变量，简记为为随机变量，简记为X。引入随机变量后，随机事件就可以表示为随机变量在某一范围引入随机变量后，随机事件就可以表示为随机变量在某一范围内的取值。内的取值。事件事件事件事件随机变量随机变量随机变量随机变量只取有限个数值或可列无穷多个数值只取有限个数值或可列无穷多个数值。从原样本空间到新样本空间的映射是某一个范围，从原样本空间到新

14、样本空间的映射是某一个范围，是一段（或几段）实线（也可能是整个坐标轴），随机是一段（或几段）实线（也可能是整个坐标轴），随机变量可以取值于某一区间中的任一连续数值。变量可以取值于某一区间中的任一连续数值。离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量（一个描述随机变量取值的概率分布情况的统一方法）（一个描述随机变量取值的概率分布情况的统一方法）性质：性质：1.F(x)是非降函数；是非降函数；(单调不减性单调不减性)2.0F(x)1；(有界性有界性)3.Px1Xx2=F(x2)-F(x1)4.F(x+0)=F(x)(右连续右连续)分布函数分布函数 离散型离散型随机变量的所有取值为随机

15、变量的所有取值为 xi(i=1,2)Pi是是X取取xi的概率，称：的概率，称：P(X=xi)=Pi，i=1,2为离散型随机变量为离散型随机变量X分布律。分布律。设设F(x)是是连续型连续型随机变量随机变量X的分布函数，若存在非负的分布函数，若存在非负函数函数 f(x)，有：有：则则f(x)为连续型随机变量为连续型随机变量X概率密度函数。概率密度函数。离散分布律离散分布律概率密度函数概率密度函数离散型随机变量的概率分布用分布列（律）描述离散型随机变量的概率分布用分布列（律）描述:连续型随机变量的概率分布用概率密度描述连续型随机变量的概率分布用概率密度描述:0-10-1分布分布分布分布二项分布二项

16、分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布正态分布正态分布指数分布指数分布指数分布指数分布*1.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在给定某任意的随机变量在给定某任意的随机变量X，以及它的概率分布函数以及它的概率分布函数FX(x)，希望进一步求出给定的随机变量的某些可测函数（如希望进一步求出给定的随机变量的某些可测函数（如Y=g(X)）的概率分布函数。的概率分布函数。g(x)YXY的概率分布函数公式为的概率分布函数公式为:如果上式右端概率的导数对于如果上式右端概率的导数对于y处处存在，那么这个导数就给处处存在，那么这个导数就给出了

17、随机变量出了随机变量Y的概率密度的概率密度:边际分布边际分布 若二维联合分布函数中有一个变元趋于无穷，则其极限函数若二维联合分布函数中有一个变元趋于无穷，则其极限函数便是一维分布函数，对于这种特殊性质，我们称其为边际分布。便是一维分布函数，对于这种特殊性质，我们称其为边际分布。对于任意两个随机变量对于任意两个随机变量X，Y，其联合分布函数为，其联合分布函数为FXY(x,y)，则则分别称分别称F1(x)和和F2(y)为为FXY(x,y)关于关于X和关于和关于Y的边际分布函数。的边际分布函数。离散型随机变量（离散型随机变量（X，Y）边际分布函数计算如下边际分布函数计算如下:连续型随机变量（连续型随

18、机变量（X，Y）边际分布函数计算如下边际分布函数计算如下:相互独立的随机变量相互独立的随机变量设设 X，Y是两个随机变量，若对任意实数是两个随机变量，若对任意实数x，y有有:则称则称 X，Y为相互独立的随机变量。为相互独立的随机变量。若若X，Y为相互独立随机变量，则有为相互独立随机变量，则有:联合密度函数联合密度函数联合密度函数联合密度函数联合密度函数联合密度函数联合密度函数联合密度函数边际密度函数边际密度函数边际密度函数边际密度函数边际密度函数边际密度函数边际密度函数边际密度函数条件分布函数条件分布函数 在给定条件随机变量在给定条件随机变量Y=y下，随机变量下，随机变量X的条件的条件概率密度

19、函数为：概率密度函数为：*1.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n统计平均与数学期望统计平均与数学期望n方差方差n协方差协方差n相关系数相关系数n独立与不相关独立与不相关统计平均与数学期望统计平均与数学期望 设离散随机变量设离散随机变量X，它可能取它可能取4个值个值x1，x2，x3，x4，做做试验试验n次，计算次，计算X的算术平均可得：的算术平均可得：P(X=xk)对于离散型随机变量可以用脉冲函数来表示其概率密度：对于离散型随机变量可以用脉冲函数来表示其概率密度：冲激函数随机变量数学期望定义：随机变量数学期望定义：随机变量函数的数学期望值：随机变量函数的数学期望值：已知随机变量已知随机变

20、量X的数学期望值，求随机变量函数的数学期望值，求随机变量函数Y=g(X)的的数学期望数学期望：K阶原点矩，阶原点矩，k阶中心矩阶中心矩随机变量随机变量X，若，若E|X|k，称，称EXk为为k阶原点矩。阶原点矩。离散随机变量连续随机变量 又若又若EX存在，且存在，且E|X-EX|k，称称为为X的的k阶中心矩。阶中心矩。离散随机变量连续随机变量一阶原点矩一阶原点矩就是随机变量的就是随机变量的数学期望数学期望：数学期望大致的描述了概率分布的中心值。数学期望大致的描述了概率分布的中心值。二阶中心矩二阶中心矩就是随机变量的就是随机变量的方差方差：方差反映随机变量取值偏离中心值的离散程度。方差反映随机变量

21、取值偏离中心值的离散程度。01分布分布泊松分布泊松分布正态分布正态分布数学期望和方差：数学期望和方差：中心化的两个随机变量中心化的两个随机变量X-EX，Y-EY的互相关称为的互相关称为随机变量随机变量X和和Y的协方差的协方差，协方差协方差是描述随机现象中，随机变量是描述随机现象中，随机变量X和和Y线性相关的程度。线性相关的程度。引入一个描述两个随机变量相关程度的系数：引入一个描述两个随机变量相关程度的系数：XYXY称为称为归一化的相关系数。归一化的相关系数。若若XY0，则称随机变量则称随机变量X和和Y不相关。不相关。若两个随机变量若两个随机变量X和和Y的联合矩满足的联合矩满足则称随机变量随机变

22、量X和和Y统计独立统计独立。例题例题1-5 设设Z是一个随机变量，具有均匀概率密度：是一个随机变量，具有均匀概率密度：令令X=sinZ，Y=cosZ，求随机变量求随机变量X和和Y是否相关，是否独立？是否相关，是否独立？统计独立统计独立统计独立统计独立不相关不相关不相关不相关统计独立统计独立统计独立统计独立不相关不相关不相关不相关 总结总结概率论中的基本概念概率论中的基本概念随机试验、样本空间、事件、概率、随机试验、样本空间、事件、概率、概率空间、条件概率、全概率。概率空间、条件概率、全概率。随机变量及分布函数随机变量及分布函数随机变量、分布函数、随机变量函随机变量、分布函数、随机变量函数的分布

23、、数的分布、n维随机变量、边际分布、维随机变量、边际分布、条件分布。条件分布。随机变量的数字特征随机变量的数字特征统计平均、数学期望、方差、协方统计平均、数学期望、方差、协方差、相关系数、相关性和统计独立。差、相关系数、相关性和统计独立。作业作业n复习概率论与数理统计方面的知识。复习概率论与数理统计方面的知识。预备知识结束预备知识结束自然界事物的变化过程分为两大类：自然界事物的变化过程分为两大类：（1 1）具有确定形式的过程，可以用一个时间）具有确定形式的过程，可以用一个时间 t t 的确定函数来的确定函数来 描述。描述。（2 2）另外一种过程没有确定的变化形式，不能用一个时间）另外一种过程没

24、有确定的变化形式，不能用一个时间 t t 的确定函数来描述。的确定函数来描述。例如：液面上的质点的运动。用例如：液面上的质点的运动。用 x(tx(t),),y(ty(t)表示表示 t t 时刻时刻该质点在液面上的坐标。该质点在液面上的坐标。1.5 1.5 随机过程的定义和统计描述随机过程的定义和统计描述 随机变量随机变量 在每次随机试验的结果中，以一定的概率取某个事先未知，在每次随机试验的结果中，以一定的概率取某个事先未知，但为确定的数值。但为确定的数值。在实际应用中，在实际应用中，我们经常要涉及到在随机试验过程中我们经常要涉及到在随机试验过程中随时间随时间 t t 而改变的随机变量而改变的随

25、机变量。此时，这种随机现象是个。此时，这种随机现象是个“过过程程”。随机过程也是有规律的，随机过程也是有规律的，如何描述一个随机过程如何描述一个随机过程？电话交换台接入呼叫次数问题：电话交换台接入呼叫次数问题：某电话交换台在一定时间段内某电话交换台在一定时间段内 0 0，t t 内接到的呼叫次内接到的呼叫次数是与数是与 t t 有关的随机变量，记为有关的随机变量，记为 Z(tZ(t)；对于固定的时刻；对于固定的时刻 t t，Z(tZ(t)是一个取非负整数的随机变量，故是一个取非负整数的随机变量，故 Z(tZ(t),t),t 0,)0,)是一个是一个随机过程随机过程。对于一个固定的时刻对于一个固

26、定的时刻 t,t,Z(tZ(t)是一个是一个随机变量随机变量。随机过程随机过程天气预报问题：天气预报问题：每天的天气（晴，雨，阴）是随机的，对于确定的一天每天的天气（晴，雨，阴）是随机的，对于确定的一天（假设（假设 t=1，代表第一天），天气状况是一个离散型的随机，代表第一天），天气状况是一个离散型的随机变量，记为变量，记为 Zt，所以，每天的天气状况，所以，每天的天气状况 Zt，t=1,2,3 是是一个随机过程。一个随机过程。对于一个固定的时刻对于一个固定的时刻 t,Zt 是一个随机变量。是一个随机变量。对于一个固定的时刻对于一个固定的时刻 t t，电阻的噪声电压，电阻的噪声电压 X(tX(

27、t)是一是一个随机变量，个随机变量，X(tX(t)是随时间变化的，是随时间变化的，所以噪声电压所以噪声电压 X(tX(t)，t 0,)t 0,)是一个随机过程。是一个随机过程。电阻的噪声电压：电阻的噪声电压：对于一个固定的时刻对于一个固定的时刻 t t，X(tX(t)是一个随机变量。是一个随机变量。我们必须对一些随机现象的变化过程进行研究，必我们必须对一些随机现象的变化过程进行研究，必须考虑无穷多个随机变量。针对这个问题，我们必须用须考虑无穷多个随机变量。针对这个问题，我们必须用一族随机变量一族随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计规律。才能刻画这种随机现象的全部统计规律。我们通常将我们通常将

28、随机变量随机变量族族称为随机过程称为随机过程。定义定义1 1：随机过程随机过程 设设E E是随机实验，是随机实验，=e=e 是样本空间，是样本空间，T T 是给定的参是给定的参数集，若对每个固定的时刻数集，若对每个固定的时刻 tTtT，X(t,eX(t,e)或者或者 X(tX(t)都是都是一个随机变量，则称一个随机变量，则称随机变量族随机变量族 X(t,e),tX(t,e),t T T 是一个是一个随机过程，简记为随机过程，简记为X(tX(t)。在第在第WWi i次试验中测量获得的噪声电压次试验中测量获得的噪声电压X(tX(t)是一个样本函数：是一个样本函数：设设E E是随机实验，是随机实验，

29、=e =e 是样本空间，对于每一个是样本空间，对于每一个样本样本e e，总可以以某种规则确定一个时间函数，总可以以某种规则确定一个时间函数 X(t,eX(t,e)(称为称为样本函数样本函数或者或者轨道轨道），），t Tt T，则对于所有的，则对于所有的e e ，就得到一个样本函数的集合，称，就得到一个样本函数的集合，称此集合为随机过程此集合为随机过程，简记为简记为 X(tX(t)。定义定义2 2：随机过程：随机过程 随机过程随机过程 X(t,eX(t,e),t T ),t T 可以认为是定义在可以认为是定义在 T T 上上的一个二元函数。的一个二元函数。对固定的对固定的t t，X(t,eX(t

30、,e)是一个随机变量；是一个随机变量；对固定的对固定的e e，X(t,eX(t,e)是随机过程是随机过程 X(X(t,et,e),t T ),t T 的一个的一个 样本函数（轨道）样本函数（轨道），即定义在，即定义在T T上的普通函数；上的普通函数；对于固定的对于固定的 t t，X(t,eX(t,e)是一个标量，它表示时刻是一个标量，它表示时刻t t所处的所处的 状态，状态，X(tX(t)所有可能的状态构成的集合称为所有可能的状态构成的集合称为状态空间状态空间；当当t t和和e e都是变量时，都是变量时，X(t,eX(t,e)是一个是一个随机变量族随机变量族或者或者时间函时间函 数族数族都称为

31、都称为随机过程随机过程。判断以下现象是否是一个随机过程？判断以下现象是否是一个随机过程？（1 1）示波器产生的余弦波）示波器产生的余弦波X(tX(t)=)=acos(wt+Bacos(wt+B)，其中，其中，a a，w w为常量，为常量，B B为初始相位，并为（为初始相位，并为（0 0，2 2）上均匀分布的）上均匀分布的随机变量。随机变量。（2 2）正弦波）正弦波X(tX(t)=)=VcoswtVcoswt,其中，其中，V V为在为在(0,1)(0,1)均匀分布的均匀分布的随机变量，并画出随机变量，并画出X(tX(t)的一个样本函数。的一个样本函数。通常我们可以根据随机变量通常我们可以根据随机

32、变量 X(tX(t)在时间和状态上的在时间和状态上的类型区分随机过程的类型。类型区分随机过程的类型。在时间和状态上都连续在时间和状态上都连续连续型随机过程连续型随机过程在时间上连续状态上离散在时间上连续状态上离散离散型随机过程离散型随机过程在时间上离散状态上连续在时间上离散状态上连续连续型随机序列连续型随机序列在时间上离散状态上离散在时间上离散状态上离散离散型随机序列离散型随机序列有限个随机变量统计规律联合分布函数联合分布函数随机过程有限维分布函数族有限维分布函数族统计规律 设设X XT T=X(tX(t),),tTtT 是随机过程，对任意是随机过程，对任意n1n1和和t t1 1,t,t2

33、2,t tn n TT，随机向量，随机向量 (X(t(X(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tX(tn n)的联合分布函数的联合分布函数为为:这些分布函数的全体：这些分布函数的全体：称为称为X XT T=X Xt t,t,t T T 的有限维分布函数。的有限维分布函数。随机过程的一维分布函数：随机过程的一维分布函数：1.6 1.6 随机过程分布律和数字特征随机过程分布律和数字特征提示提示:例题例题1-61-6：例题例题1-71-7：随机过程的二维分布函数：随机过程的二维分布函数：例题例题1-81-8：设XT=X(t),tT 是随机过程，对任意n1和t1,t2,tn T，随机向量(X

34、(t1),X(t2),X(tn)的n维联合分布函数为称为随机过程随机过程X(tX(t)的的n n维分布函数维分布函数。有限个随机变量统计规律联合分布函数随机过程有限维分布函数族统计规律n n维概率密度函数为：维概率密度函数为：这些分布函数的全体：这些分布函数的全体：称为称为X XT T=X Xt t,t,t T T 的的有限维分布函数族有限维分布函数族。有限维分布函数的性质：有限维分布函数的性质：对于对于 t t1 1,t,t2 2,t tn n 的任意排列的任意排列当当mnmn时，时，对称性对称性对称性对称性相容性相容性相容性相容性KolmogorovKolmogorov存在定理（柯尔莫哥洛

35、夫）存在定理（柯尔莫哥洛夫）；设已给参数集设已给参数集T T及满足对称性和相容性条件的分布函数及满足对称性和相容性条件的分布函数族族F F1 1，则必存在概率空间（，则必存在概率空间（,F,P,F,P）及定义在其上的随机）及定义在其上的随机过程过程 X(tX(t),),tTtT ，它的有限维分布函数族是，它的有限维分布函数族是F F1 1。有限维分布函数族有限维分布函数族对称性对称性相容性相容性随机过程随机过程 设XT=X(t),tT 是随机过程，如果对任意tT，EX(t)存在，则称函数：为 XT 的均值函数均值函数，反映随机过程在时刻 t 的平均值。均值函数均值函数反映随机过程平均功率反映随

36、机过程平均功率反映随机过程在时刻反映随机过程在时刻t t对均值的偏离程度对均值的偏离程度均方值函数和方差函数均方值函数和方差函数均方值函数和方差函数均方值函数和方差函数自相关函数自相关函数自相关函数自相关函数 若对任意若对任意tTtT，E(X(t)E(X(t)2 2 存在，则称存在，则称 X XT T 为为二阶矩过二阶矩过程程，而称：，而称：为为 X XT T 的的协方差函数协方差函数(混合中心矩混合中心矩)，反映随机过程在时，反映随机过程在时刻刻 t t 和和 s s 时的状态时的状态起伏值起伏值的的线性相关线性相关程度程度。协方差函数协方差函数协方差函数协方差函数协方差函数和相关函数有如下

37、关系协方差函数和相关函数有如下关系：例题例题1-91-9：设随机过程：设随机过程：其中，其中，Y Y 和和 Z Z 是相互独立的随机变量，且是相互独立的随机变量，且EY=EZ EY=EZ=0=0，DY=DZ=DY=DZ=2 2，求，求X(t)X(t)的均值函数和协方差函数。的均值函数和协方差函数。课堂练习：课堂练习：设随机过程设随机过程 X(tX(t)=Vcos4t)=Vcos4t，其中，其中V V是随机变量，其数是随机变量，其数学期望是学期望是5 5，方差为，方差为6 6，求随机过程，求随机过程X(tX(t)的均值的均值MMx x(t(t)、方差、方差DDx x(t(t)、相关函数、相关函数

38、 R RX X(t(t1 1,t,t2 2)和协方差函数和协方差函数B Bx x (t(t1 1,t,t2 2)。两个随机过程之间的关系两个随机过程之间的关系互协方差函数互协方差函数互相关函数互相关函数定义：定义：设设 X(t),tTX(t),tT，Y(tY(t),),tTtT 是两个二阶矩过程，则称：是两个二阶矩过程，则称：为为 X(t),tTX(t),tT 与与 Y(tY(t),),tTtT 的的互协方差函数互协方差函数，称：，称：为为 X(t),tTX(t),tT 与与 Y(tY(t),),tTtT 的的互相关函数互相关函数。两个随机过程两个随机过程 X(t),tTX(t),tT 与与

39、Y(tY(t),),tTtT 的互不相的互不相关定义：关定义：互协方差函数与互相关函数之间的关系：互协方差函数与互相关函数之间的关系：例题例题1-101-10：设设 X(tX(t)为信号过程，为信号过程，Y(tY(t)为噪声过程，令为噪声过程，令W(tW(t)=)=X(tX(t)+)+Y(tY(t)，求，求 W(tW(t)的均值函数和相关函数。的均值函数和相关函数。当两个随机过程互不相关且均值函数为零时当两个随机过程互不相关且均值函数为零时:解：解：复随机过程定义复随机过程定义：设设 X Xt t,tTtT，Y Yt t,tTtT 是取实数值的两个随机过程，若是取实数值的两个随机过程，若对任意

40、对任意tTtT，其中，其中 ，则称，则称 ZtZt,tTtT 为复随机过程。为复随机过程。复随机过程的数字特征函数：复随机过程的数字特征函数：均值函数均值函数均值函数均值函数方差函数方差函数方差函数方差函数相关函数相关函数相关函数相关函数协方差函数协方差函数协方差函数协方差函数相互之间的关系相互之间的关系相互之间的关系相互之间的关系1.7 1.7 复随机过程复随机过程两个两个复随机过程复随机过程 X Xt t，Y Yt t 的的互相关函数互相关函数定义为：定义为：互协方差函数互协方差函数定义为：定义为：随机过程的几种基本类型：随机过程的几种基本类型：（1 1）正交增量过程；）正交增量过程；（2

41、 2）独立增量过程；）独立增量过程；（3 3）马尔可夫过程；）马尔可夫过程；（4 4）正态过程；）正态过程；（5 5）维纳过程；）维纳过程；（6 6）平稳过程。）平稳过程。1.8 1.8 随机过程基本类型随机过程基本类型定义：定义：设设 X(tX(t),),tTtT 是是零均值零均值的的二阶矩过程二阶矩过程，若对任意，若对任意的的t t1 1tt2 2tt3 3tt4 4 TT，有：，有：则称则称X(tX(t)是是正交增量过程正交增量过程。（1 1）正交增量过程）正交增量过程例题例题1-111-11：设设 X(t),tTX(t),tT 是正交增量过程，是正交增量过程，T=T=a,ba,b 为有

42、限区为有限区间，且规定间，且规定 X(aX(a)=0)=0，当，当astbastb时，求其协方差函数时，求其协方差函数B BX X(s,t(s,t)。结论结论:正交增量过程的协方差可以由它的方差确定正交增量过程的协方差可以由它的方差确定.定义：定义：设设 X(t),tTX(t),tT 是随机过程，若对任意的正整数是随机过程，若对任意的正整数n n和和t t1 1tt2 2 t tn n TT，随机变量，随机变量X(tX(t2 2)-X(t)-X(t1 1),X(t),X(t3 3)-X(t)-X(t2 2),),X(t,X(tn n)-X)-X(t(tn-1n-1)是互相独立的，则称是互相独立

43、的，则称 X(t),tTX(t),tT 是是独立增量过程独立增量过程。（2 2）独立增量过程）独立增量过程特点：特点：独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变，不独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变，不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态的改变。例如：例如：电话交换台电话交换台 00，t t 时间内接受到的电话呼叫数量。时间内接受到的电话呼叫数量。互不相关互不相关相互独立相互独立二阶矩存在，均值函数恒为零二阶矩存在，均值函数恒为零独立增量过程独立增量过程独立增量过程独立增量过程正交增量过程正交增量过程正交增量过程正交增量过程正交增量过

44、程正交增量过程正交增量过程正交增量过程独立增量过程独立增量过程独立增量过程独立增量过程正交增量过程正交增量过程正交增量过程正交增量过程独立增量过程独立增量过程独立增量过程独立增量过程定义：定义：设设 X(t),tTX(t),tT 是独立增量过程，若对任意是独立增量过程，若对任意stst，随机变，随机变量量 X(t)-X(sX(t)-X(s)的分布的分布仅依赖于仅依赖于t-st-s，则称，则称 X(t),tTX(t),tT 是是平稳平稳独立增量过程独立增量过程。平稳独立增量过程平稳独立增量过程平稳独立增量过程平稳独立增量过程例题：例题：考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换上同类型考虑一种设备一

45、直使用到损坏为止，然后换上同类型的设备。假设设备的使用寿命是随机变量，令的设备。假设设备的使用寿命是随机变量，令N(tN(t)为在时为在时间段间段 0,t 0,t 内更换设备的件数，通常可以认为内更换设备的件数，通常可以认为 N(tN(t)，t0t0是是平稳独立增量过程平稳独立增量过程。定义：定义：设设 X(t),tTX(t),tT 是随机过程，若对任意正整数是随机过程，若对任意正整数n n及及t t1 1tt2 2,0)0，且其条件分布，且其条件分布 ：则称则称 X(t),tTX(t),tT 是是马尔可夫过程（马尔可夫过程（Markov Processes)Markov Processes)

46、。（3 3）马尔可夫）马尔可夫 (Markov)(Markov)过程过程特点：特点：系统在已知系统在已知现在所处状态现在所处状态的条件下，它的条件下，它将来所处的状将来所处的状态态与与过去所处的状态过去所处的状态无关。无关。例如例如:天气预报；随机游动天气预报；随机游动定义：定义：设设 X(t),tTX(t),tT 是随机过程，若对任意正整数是随机过程，若对任意正整数n n及及t t1 1,t,t2 2,t tn nTT，(X(t(X(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tX(tn n)是是n n维正态随机变量，则称维正态随机变量，则称 X(t),tTX(t),tT 是正态过程或高斯

47、过程。是正态过程或高斯过程。（4 4）正态过程（）正态过程（GaussGauss过程）过程）特点：特点：n在通信中应用广泛；在通信中应用广泛；n正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，即可确定其正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，即可确定其有限维分布。有限维分布。例如：例如：高斯白噪声，热噪声高斯白噪声，热噪声定义：定义：设设 W(tW(t),-t ),-t00 则称则称 W(tW(t),-t ),-t 为为维纳过程维纳过程，也称，也称布朗运动过程布朗运动过程。维纳过程是正态过维纳过程是正态过程的一种特殊形式程的一种特殊形式（5 5）维纳过程）维纳过程(Wiener(Wiener Proc

48、ess)Process)定义：定义：设设 X(t),tTX(t),tT 是随机过程，如果对任意常数是随机过程，如果对任意常数 和正整数和正整数 n n，t t1 1,t,t2 2,t tn n T T，t t1 1+,t,t2 2+,t tn n+TT，(X(t(X(t1 1),),X(tX(t2 2),),X(tX(tn n)与与 (X(t(X(t1 1+),X(t),X(t2 2+),),X(tX(tn n+)有相同的有相同的联合分布，则称联合分布，则称 X(t),tTX(t),tT 为为严平稳过程严平稳过程或或 狭义平稳过程狭义平稳过程。（6 6）平稳过程）平稳过程狭义平稳过程狭义平稳过

49、程定义：定义：设设 X(t),tTX(t),tT 是随机过程，如果是随机过程，如果 X(t),tTX(t),tT 是二阶矩过是二阶矩过程；程；对任意对任意tTtT，mmX X(t(t)=)=EX(tEX(t)=)=常数；常数；对任意对任意 s,ts,t T T，R RX X(s,t(s,t)=)=EX(s)X(tEX(s)X(t)=)=R RX X(s-t(s-t)则称则称 X(t),tTX(t),tT 为为宽平稳过程宽平稳过程或者或者广义平稳过程广义平稳过程，简称为，简称为平平稳过程稳过程。广义平稳过程广义平稳过程二阶矩存在二阶矩存在对于正态过程，广义平稳过程和严平稳过程是等价的。对于正态过

50、程，广义平稳过程和严平稳过程是等价的。广义平稳过程广义平稳过程广义平稳过程广义平稳过程广义平稳过程广义平稳过程广义平稳过程广义平稳过程严平稳过程严平稳过程严平稳过程严平稳过程严平稳过程严平稳过程严平稳过程严平稳过程课堂作业：课堂作业：示波器产生的余弦波示波器产生的余弦波X(t)=X(t)=Acos(wt+Acos(wt+)，其中，其中，A A，w w为常量，为常量，为初始相位，并为（为初始相位，并为（0 0，2 2）上均匀上均匀分布的随机变量分布的随机变量,求随机过程的一维概率密度函数求随机过程的一维概率密度函数。作业：习题作业：习题2 2 2.2 2.2，2.32.3，2.82.8，2.14