14基本不等式及其应用.pdf

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1、数学教学案数学教学案授课人：邱瑶授课人：邱瑶时间：时间：1010 月月 2020 日日课题课题基本不等式及其应用课型课型复习课时数课时数3教学教学1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题目标目标重点重点会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题难点难点会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题教学教学教学教学自主合作探究PPT方法方法媒体媒体环节环节教教学学过过程程学生活动学生活动设计意图设计意图知 识 梳 理ab1基本不等式：ab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号ab(3)其中2称为正数 a，b 的算术平均数

2、，ab称为正数 a，b 的几何平均数课课堂堂2几个重要的不等式自自22(1)重要不等式：a b 2ab(a，bR R)当且仅当 a主主导导b 时取等号学学ab2(a，bR R)，当且仅当ab 时取等号(2)ab 2 22a bab2(3)2(a，bR R)，当且仅当 ab 时取等梳理知识，构建知识网2加强记忆。络。号ba(4)ab2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号3利用基本不等式求最值已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy有最小值是 2 p(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xys2有最大值是4(简记：

3、和定积最大)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)PPT 展示ab(1)当 a0，b0 时，2 ab.()(2)两个不等式 a2b22ab 与是相同的()1(3)函数 yxx的最小值是 2.()xy(4)x0 且 y0 是yx2 的充要条件()2若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2 ab112baC.abDab2ab解析a2b22ab(ab)20，A 错误对于B，C，当 a0，b0 时，明显错误ba对于 D，ab0，ab2答案D13(2015郑州模拟)设 a0，b0.若 ab1，则a1b的最小值是()A2C411ababba解析由题意aba

4、b2ab2b aab2.ab ab成立的条件2精彩知 识 点 辨析。自测，巩固提高。baba1 4，当且仅当 ，即 ab 时，取等号，abab2所以最小值为 4.答案C4(2014上海卷)若实数 x，y 满足 xy1，则x22y2的最小值为_.2222解析x 2y 2 x 2y 2 2xy2 2，当且仅当自我检测。x 2y 时取“”，x22y2的最小值为 2 2.答案2 25(人教 A 必修 5P100A2 改编)一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m 时菜园面积最大解析设矩形的长为 x m，宽为 y m则 x2y30，11x2y2

5、225 所以 Sxy2x(2y)2，当且仅当 x2y，22215即 x15，y2时取等号15答案152初步运用知识，总结题型方法，查漏补缺。考点一利用基本不等式证明简单不等式【例 1】已知 x0，y0，z0.yzxzxy求证：xxyyzz8.证明x0，y0，z0，yz2 yzxz2 xzxxx0，yyy0，xy2 xyzzz0，熟 练 运 用不 等 式 的性质。规 律 方法利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某知知识识运运用用导导练练yzxzxy8 yzxz xyxxyyzz8，当且仅当xyzxyz 时等号成立【训练 1】已知 a0，b0，c0，且 ab

6、c1.111求证：abc9.证明a0，b0，c0，且 abc1，111abcabcabcabcabcbcacab3aabbccbacacb3abacbc132229，当且仅当 abc3时，取等号变式训练。掌 握 利 用基 本 不 等式求最值。深 度思 考解决 与 基 本不 等 式 有些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性.规 律 方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，考点二利用基本不等式求最值【例 2】解下列问题：(1)已知 a0，b0，且 4ab1，求 ab 的最大值；(2)若正数 x，y 满足

7、x3y5xy，求 3x4y 的最小值；51(3)已知 x4，求 f(x)4x2的最大值；4x5a(4)已知函数 f(x)4xx(x0，a0)在 x3 时取得最小值，求 a 的值解(1)法一a0，b0,4ab1，14ab2 4ab4 ab，111当且仅当 4ab2，即 a8，b2时，等号成立111 ab4，ab16.所以 ab 的最大值为16.法二a0，b0,4ab1，114ab21，ab44ab4216111当且仅当 4ab2，即 a8，b2时，等号成立 所关 的 最 值建立所求目标函数的不1问题，你学以 ab 的最大值为16.等式求解 会“配凑”条件变形，进31(2)由 x3y5xy，得xy

8、5(x0，y0)，131则 3x4y5(3x4y)xy12y3x11513xy513215(1312)5，12y3x当且仅当xy，即 x2y 时，等号成立，x1，x2y，此时由解得1y.x3y5xy，212y 3xxy 了吗？行“1”的代换(利用求目标函数基 本 不 等最值式 求 解 最(2)有 些值问题，要题目虽然不根 据 代 数具备直接用式 或 函 数基本不等式解 析 式 的求最值的条特 征 灵 活件，但可以通变形，凑积过添项、分离或 和 为 常常数、平方等51(3)因为 x4，所以 54x0，则 f(x)4x24x5数的形式；手段使之能条 件 最 值1(54x)3231.当且仅当 54x

9、54x问 题 要 注11，即 x1 时，等号成立故 f(x)4x2的意 常 数 的54x4x5代换，凑成最大值为 1.基 本 不 等aa(4)f(x)4xx24x式 的 形 式x4 a，a当且仅当 4xx，即 4x2a 时 f(x)取得最小值又x3，a43 36.5【训练 2】(1)设 0 x2，则函数 y4x(52x)的最大值为_.x5x2(2)设 x1，则函数 y的最小值为x1_.(3)(2014闽南四校联考)设 a0，若关于 x 的不等式axx4 在 x(0，)上恒成立，则 a 的最小值为()A4B22运用基本不等式 常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数求解最值)法、换元

10、法、整体代换法等C16D15解析(1)因为 0 x2，所以 52x0，所以 y4x(52x)22x(52x)2x52x225，2225当且仅当 2x52x，即 x4时等号成立，故函数 y254x(52x)的最大值为2.(2)因为 x1，所以 x10，所以 yx5x2x 7x10 x1x12x1 5x144x15x1x1x14459，当且仅当 x1，x1x122x5x2即 x1 时等号成立，故函数 y的最小x1值为 9.aa(3)因为 x0，a0，所以 xx2 a，要使 xx4在 x(0，)上恒成立，则需 2 a4，所以 a4，从而 a 的最小值为 4，故选 A.25答案(1)2(2)9(3)A

11、考点三基本不等式的实际应用【例 3】(2014银川模拟)运货卡车以每小时 x 千米的 速 度 匀 速 行 驶130 千 米，按 交 通 法 规 限 制50 x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小x2时耗油2360升，司机的工资是每小时 14 元(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；变式训练，注 意 思 考方法。(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值130解(1)设所用时间为 tx(h)，2x130130yx2236014x，x50,100所以，这次行车总费用y 关于 x 的表达式是 y130182130360 x，x50,100

12、x2 34013(或 yx18x，x50,100)130182130(2)yx26 10，x360130182130当且仅当x，x360学 会 将 实即 x18 10时，等号成立际 问 题 转故当 x18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最 化 为 数 学问 题 加 以低费用的值为 26 10元.解决。【训练 3】(2014福建卷)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器 已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是()A80 元C160 元解析设底面矩形的长和宽分别为 a m，b m，则 ab4(m2)容器的总造价为 2

13、0ab2(ab)108020(ab)8040 ab160(元)(当且仅当ab 时等号成立)故选 C.答案C规 律 方法有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解巩固练习。1基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的体体系系拓拓展展导导思思放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及22abab2a b 公式的逆用等，例如：ab，ab22 2 a2b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件1注意基本不等式成立的条件是 a0，b0，若 a0，b0，应先转化为a课课后后记记0，b0，再运用基本不等式求解2“当且仅当ab 时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误3有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致.