2020高中数学 第1章 不等关系与基本不等式平均值不等式 第1课时 平均值不等式学案 4-5.pdf

《2020高中数学 第1章 不等关系与基本不等式平均值不等式 第1课时 平均值不等式学案 4-5.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高中数学 第1章 不等关系与基本不等式平均值不等式 第1课时 平均值不等式学案 4-5.pdf（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、学必求其心得，业必贵于专精第第 1 1 课时课时平均值不等式平均值不等式学习目标：1.了解两个（三个)正数的算术平均值与几何平均值（易错、易误点)2。掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式（重点、难点)教材整理平均值不等式阅读教材 P10P12“思考交流”以上部分，完成下列问题1定理 1：对任意实数a，b,有a2b22ab（当且仅当ab时取“”号）2定理 2：对任意两个正数a，b，有错误错误!错误错误!(当且仅当ab时取“”号)语言叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值3定理3：对任意三个正数a，b，c,有a3b3c33abc(当且仅当abc时取“号)4定理 4：对

2、任意三个正数a，b,c，有abc3错误错误!(当且仅当abc时取“”号)语言叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值-1-学必求其心得，业必贵于专精判断(正确的打“”,错误的打“)(1）x错误错误!2。（2)ex错误错误!2.（）（)(3)当a，b，c不全为正数时，错误错误!错误错误!成立.()b（4)错误错误!错误错误!3.a(）解析（1）当x0 时,x错误错误!2，当x0 时，x错误错误!2.（2)因为 ex0，ex错误错误!2,当且仅当x0 时取等号（3)如a1，bc1时,错误错误!错误错误!，但错误错误!1.这时有错误错误!0 且a1);任意x错误错误!，tanx错误错误!2

3、;任意xR R，-2-学必求其心得，业必贵于专精sinx错误错误!2。其中真命题有（)ABCD精彩点拨关键看是否满足平均值不等式自主解答在,中，lgxR R,sinx1，1，不能确定lgx0 与 sinx0，因此，是假命题在中，ax0,ax错误错误!2错误错误!2，当且仅当x0 时取等号,故是真命题在中，当x错误错误!时，tanx0，有 tanx错误错误!2,且x错误错误!时取等号，故是真命题答案C本题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件在定理 1 和定理 2 中，“ab”是等号成立的充要条件但两个定理有区别又有联系：（1)错误错误!错误错误!是a2b22ab的特例，但二者适用范围不同

4、，前者要求a，b均为正数，后者只要求a，bR R;（2）a，b大于 0 是ab2错误错误!的充分不必要条件；a，b为实数是a2b22ab的-3-学必求其心得，业必贵于专精充要条件1设a，b为实数，且ab0，下列不等式中一定成立的个数是（)错误错误!错误错误!2；ab2错误错误!；错误错误!错误错误!错误错误!；错误错误!错误错误!ab.A1B2C3D4解析ab0，错误错误!错误错误!2错误错误!2，成立;a，b0 时，不成立；错误错误!错误错误!错误错误!,成立；当a1，b2 时，不成立因此,成立答案B证明简单的不等式【例 2】（1）已知a,b,cR R。求证：a4b4c4a2b2b2c2c2

5、a2；bc（2）设a，b,c都是正数，求证:错误错误!错误错误!abc.a-4-学必求其心得，业必贵于专精精彩点拨本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和,再进行证明自主解答（1)a4b42a2b2，同理a4c42a2c2,b4c42b2c2，将以上三个不等式相加得:a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2，即a4b4c4a2b2a2c2b2c2。（2）当a0，b0 时，ab2错误错误!，错误错误!错误错误!2错误错误!2c.同理：错误错误!错误错误!2错误错误!2b,错误错误!错误错误!2错误错

6、误!2a。将以上三个不等式相加得：2错误错误!2(abc），错误错误!错误错误!错误错误!abc。平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点但应注意连续多次使-5-学必求其心得，业必贵于专精用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致2设a，b，c为正数，求证：错误错误!(abc）227。证明a0，b0，c0,abc3错误错误!0，从而(abc）29错误错误!0，又2错误错误!错误错误!3错误错误!0，1a错误错误!（abc）23错误错误!9错误错误!27.当且仅当abc时，等号成立故原

7、不等式成立.平均值不等式的变式及条件不等式的证明探究问题1不等式错误错误!错误错误!，错误错误!错误错误!成立的条件都是a，b，c为正数，在条件ba0 成立时，a，ab，错误错误!，错误错误!，错误错误!，b之间有怎样的大小关系？提示a错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!b.-6-学必求其心得，业必贵于专精2若问题中一端出现“和式”，另一端出现“积式”时，这便是应用不等式的“题眼”，那么若条件中有“和式为 1”时，应如何思考?提示应用平均值不等式时，一定要注意条件a0，b 0，c0.若有“和式为 1”时,常反过来应用“1”的代换,即把“1”化成“和”，再试着应用平均值不等式【例 3】已知a

8、0，b0，c0，求证：（1)ab2错误错误!；(2）错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!（abc)精彩点拨（1）式两端均是“和，不能直接利用平均值不等式，解决的关键是对错误错误!的处理,先考虑平方关系，化难为易；(2)注意两边都是“和”式，可利用(1）题的结论自主解答（1）a2b22ab，2（a2b2)(ab)2，错误错误!错误错误!.又a0，b0,错误错误!错误错误!。（2）由(1）得错误错误!错误错误!(ab)-7-学必求其心得，业必贵于专精同理：错误错误!错误错误!（bc)，错误错误!错误错误!(ac)三式相加得：错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!（abc）当且仅当abc时，取

9、“”号1第（2)问利用了第(1）问的结论错误错误!错误错误!，记住这一结论可帮我们找到解题思路，但此不等式要给予证明2一般地,数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式,因此平均值不等式a2b22ab的形式可以是a22abb2，也可以是ab错误错误!，还可以是a错误错误!2b(a0），b22ba等解题时不仅要会利用原来的形式,而且要掌握它的几a种变形形式以及公式的逆用3已知a，b（0,），且ab1,求证：错误错误!2错误错误!2错误错误!.证明因为a,b（0，)，且ab1,所以错误错误!错误错误!，当且仅当ab时，等号成立，所以错误错误!错误错误!ab错误错误!错误

10、错误!4，a2b2(ab）22ab12ab12错误错误!错误错误!，错误错误!错误错误!-8-学必求其心得，业必贵于专精错误错误!8。错误错误!错误错误!a2b24错误错误!错误错误!错误错误!48错误错误!，所以错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!2错误错误!。1“a0 且b0”是“ab2错误错误!”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A2设x,y,z为正数,且xyz6，则 lgxlgylgz的取值范围是（）-9-学必求其心得，业必贵于专精A（,lg 6B(，3lg 2C lg 6，）D 3lg 2,)解析6xyz3错误错误!，xyz8

11、,lgxlgylgzlg（xyz)lg 83lg 2.答案B3设ab0，把错误错误!，错误错误!，a，b按从大到小的顺序排列是_解析ab0,a错误错误!错误错误!b。答案a错误错误!错误错误!b4不等式错误错误!错误错误!2 成立的充要条件是_解析由错误错误!错误错误!2,知错误错误!0，即ab0。又由题意知，错误错误!错误错误!，ab。因此,错误错误!错误错误!2 的充要条件是ab0 且ab。答案ab0 且ab5(2019全国卷）已知a，b，c为正数,且满足abc1。证明：-10-学必求其心得，业必贵于专精(1)错误错误!错误错误!错误错误!a2b2c2；(2)(ab）3（bc）3(ca）324.解(1）因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac,且abc1，故有a2b2c2abbcca错误错误!错误错误!错误错误!错误错误!。所以错误错误!错误错误!错误错误!a2b2c2。（2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3（bc)3（ca)33错误错误!3（ab）(bc)（ac)3(2错误错误!）（2错误错误!）（2错误错误!）24。所以（ab）3(bc）3(ca）324。-11-