7.1 不等式的基本性质、基本不等式.pdf

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1、7.17.1 不等式的基本性质、基本不等式不等式的基本性质、基本不等式【考纲要求】【考纲要求】1.掌握不等式的性质及应用，明确各性质中结论成立的前提条件，2.了解基本不等式的证明过程，能够利用基本不等式求函数的最值，3.用不等式的性质判断不等式是否成立，比较大小，利用基本不等式求函数的最值、限值范围，利用基本不等式解决实际问题【命题规律】【命题规律】对于不等式性质的考查，多以填空题为主，题目比较简单，而基本不等式是高考的重点主要考查命题的判定，不等式的证明及求最值等问题，尤其是应用基本不等式求最值的问题，更是高考的重点，此类问题常与实际问题相结合，以解答题形式出现，另处，不等式的证明经常与数列

2、、函数等知识综合考查，难度一般较大。【考点梳理】【考点梳理】一一.不等式的性质不等式的性质1.1.实数比较大小的方法实数比较大小的方法（1）求差比较法：a b a b 0；a b a b 0；a b a b 0.aaa（2）作商比较法：若a,b 0，则1 a b；1 a b；1 a b.bbb2.2.不等式的性质不等式的性质 b，则b a；若b a，则a b即a bb a。（2）传递性：若a b，且b c，则a c；a b且b c，则a c。（1）对称性：若a（3）加法法则：若a b，则a c bc.（不等式的两边都加上同一个实数，不等式方向不变）推论 1:移项法则：若abc,则acb.（不等

3、式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边）推论 2:同向可加性：若a b且c d，则a c b d说明：推广:任意有限个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.（4）乘法法则：若a b且c 0，那么ac bc；如果a b且c 0，那么ac bc.推论 1：同向可乘性：如果a b 0且c d 0，那么ac bd.nn推论 2：乘方法则：如果a b 0，那么a b(nN且n 1).推论 3：开方法则：如果a b 0，那么na nb(nN且n 1).说明：不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同

4、一个负数，不等号方向改变；两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；推论1 可以推广：两个或更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。（5）倒数法则：若a b，且ab 0，则11ab3.3.绝对值不等式绝对值不等式（1）若a 0，则|x|a a x a（2）若a 0，则|x|a x a且x a（3）|a|b|a b|；（4）|a|b|a b|（5）|a|b|a b|a|b|（6）|f(x)|a(a 0)f(x)a或f(x)a（7）|f(x)|a(a 0)a f(x)a分式不等式的等价变形：4 4分式不等式分式不等式f(x)f(x)0 f(x)

5、g(x)0；0 f(x)g(x)0且g(x)0g(x)g(x)第 1 页（共 6 页）7.1 不等式的基本性质、基本不等式二基本不等式二基本不等式1.1.几个重要的不等式几个重要的不等式（1）ab22ab(a,bR)，当且仅当ab时取“”ab为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几称22何平均数。abab(a0,b0)，当且仅当ab时取“”2ab2（3）ab()(a,bR)，当且仅当ab时取“”2ba（4）2(a,b同号)ab11（5）a2(a0),a2(a0)aaab2a2b2（6）ab()(a,bR)22（2）2.2.利用基本不等式求最值利用

6、基本不等式求最值（1）已知x,yR，如果积xy为定值P，那么当x（2）已知x,yR，如果积xy时，和xy有最小值2Py为定值S，那么当xy时，和xy有最大值12S43.3.利用基本不等式求最值需要注意的问题利用基本不等式求最值需要注意的问题（1）各数（或各式）均为正；和或积其中之一为定值；等号能否成立，在利用基本不等式求最值时，一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件，缺一不可.（2）创设应用基本不等式的条件 合理拆分项、配凑因式、配系数、添常数、对“1”的代换等是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值.当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能

7、保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不长期处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.三不等式的证明常用方法三不等式的证明常用方法1.1.作差（作差（作商作商）比较法：）比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。2.2.放缩法：放缩法：注意放缩的尺度要把握好.3.3.综合法：综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导

8、出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B，即所谓的“由因导果”.4.4.分析法：分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法.分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即

9、“执果索因”；综合过程有时正好是分析过程的逆推,所以常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程.第 2 页（共 6 页）7.1 不等式的基本性质、基本不等式【例题精讲】【例题精讲】考点一、绝对值不等式的解法考点一、绝对值不等式的解法例 1.解不等式|x2|x 1|4例 2.对于任意的实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|a|(|x 1|x2|)恒成立，试求实数x的取值范围.考点二、利用基本不等式证明不等式考点二、利用基本不等式证明不等式例 3.（1）证明不等式：abcd4abcd；4444第 3 页（共 6 页）7.1 不等式的基本性质、基本不等式（2）已知a 0,b 0,a

10、b 1，求证：11 4ab例 4.已知x,y,z是互不相等的正数，且x y z 1，求证：(1)(1)(1)8xyz111考点三、利用基本不等式求最值考点三、利用基本不等式求最值例 5.（1）若x（2）若x 0，求f(x)12x12x3x的最小值；0，求f(x)3x的最大值；（3）已知a 0,b 0，且4a b 1，求ab的最大值；4（4）已知x 2，求x的最小值；x2（5）已知x 0,y 0且x y 1，求49的最小值.xy第 4 页（共 6 页）7.1 不等式的基本性质、基本不等式例 6.（1）设0 x2，求函数y 3x(83x)的最大值；y2（2）设x,y,z为正实数，满足x2y 3z

11、0，求的最小值.xz例 7.已知不等式(x y)(1xa)9对任意的正实数x,y恒成立，求正实数a的最小值.y第 5 页（共 6 页）7.1 不等式的基本性质、基本不等式例 8.设x y z,nN且11n恒成立，求n的最大值.x yy zx z考点四、利用基本不等式解应用题考点四、利用基本不等式解应用题例 9.某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料 200 千克，每千克饲料的价格为 1.8 元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元.（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于 5 吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的 85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由.第 6 页（共 6 页）7.1 不等式的基本性质、基本不等式