《基本不等式的应用—证明与最值问题》导学案.pdf

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1、基本不等式的应用证明与最值问题导学案基本不等式的应用证明与最值问题导学案情景引入Qing jing yin ru一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？Xin zhi dao xue基本不等式与最值新知导学xys定和xy时取等号)xyp定积xy时取等号)Yu xi zi ce预习自测_xy _(当且仅当4s2_xy2p_(当且仅当141设a0，b0，若ab4，则 的最小值为(C)abA29C47B4D3141141b4a1解析 (ab)()(5)(52ab4ab4ab448即a，b 时“”成立33b4a9

2、b4a)，当且仅当，ab4ab2在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，若a、b、c成等差数列，则B的取值范围是(B)A0B4C0B2B0B3DB2解析a、b、c成等差数列，2baccosB3acb2ac222a2c2ac222aca2c216ac11 ，8ac48ac42当且仅当ac时，等号成立余弦函数在(0，)上为减函数，00，b0，(ab2，)2ab2，ab8，(ab2)4，ab24.等号成立时，abab8a4，b4.所求最大值为 44已知a2，求证：loga(a1)loga(a1)2，所以 loga(a1)0，loga(a1)0，又 loga(a1)loga(a1)，logaa1

3、logaa1logaa1logaa121122 loga(a1)logaa1，22loga(a1)loga(a1)abbcca；(2)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg22222222222222ab22lgbc2lgca2lgalgblgc证明(1)ab2ab，bc2bc，ca2ca，以上三式相加：2(abc)2ab2bc2ca，abcabbcca(2)a、b、cR lg222222ab2lgbc2lgca2lgalgblgclgabbccalg(abc)22222abcbc0，abbcca2因为ab2ab0，bc22ca2ac0，且以上三个不等式中等号不能同时成立，所以abbcca2

4、2abc成立，从而原不等式成立点评不能直接应用基本不等式证明的不等式和连续两次使用基本不等式等号不能同时成立的情形，要通过合理的变形，“重新组合”或者“1 的代换”等技巧构造能够运用基本不等式的条件命题方向 2求参数的取值范围问题例题 2 设abc且11m恒成立，求m的取值范围abbcac分析原不等式恒成立，由于ac0，acacacm恒成立，则问题转化为求abbcabac的最小值问题观察其构成规律可以发现ac(ab)(bc)即可得出符合基本bc不等条件的形式证明由abc，知ab0，ac0，bc0因此，原不等式等价于acacm，abbcacacabbcabbcbcab2abbcabbcabbc2

5、2当且仅当bcab4abbcbcab，即当 2bac或ac(舍去)时，等号成立，m4abbc规律总结1.恒成立问题求参数的取值范围，常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；2.解题思路来源于细致的观察，丰富的联想和充分的知识、技能的储备，要注意总结记忆跟踪练习 2若x、y、aR R，且xya xy恒成立，则a的最小值是_ 2_解析x、y、aR R，且xya xy恒成立，xy2xya(xy)，2xy2即a1xy2xyxy1，xyxy22a11，解得a 2.故a的最小值是 2Yi hun yi cuo jing shi忽视等号成立的条件而致误x25例题 3 求函数y2的最小值x4x25x24112

6、错解y2x42.函数的最小值为 2x4x24x24辨析误解中忽视了判定等号是否成立易混易错警示x25x24112正解y2x42x4x24x24当且仅当x42，即x41 时，等号成立，这显然不可能x4212122令tx4，x44，t2.yt 在2，)上为增函数，当t2t5时，函数取最小值 2Xue ke he xin su yang均值不等式在实际问题中的应用例题 4 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为 3 000 m，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑

7、胶运动场地占地面积为S平方米2学科核心素养(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义域)；(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？解析(1)由已知xy3 000,2a6y，3 000则y(6x500)，xS(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)15 000(6x500)y62(x5)(y6)3 0306xx15 000(2)S3 0306x3 0302x15 0006x3 03023002 430 x15 000当且仅当 6x，即x50 时，“”成立，此时x50.y60，xSmax2 430.即设计x50 m，y60 m 时，运动场地面积最大，最大值为2 430 m2

8、Ke tang da biao yan shou1已知正数a、b满足ab10，则ab的最小值是(D)A10C5B25D2 10课堂达标验收解析ab2ab2 10，等号在ab 10时成立，选 D2小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则(A)AavabCabvBvabDv2sab2ab2解析设从甲地到乙地的路程为s，则v22ab2ababss11ab2abababa0，vaababava，a0)在x3 时取得最小值，则a_36_解析f(x)4x 2axax4x 4a(当且仅当 4x，即a4x时取等号)，所以axax2a43236A 级基础巩固一、选择题1

9、已知直线l1：a xy20 与直线l2：bx(a1)y10 互相垂直，则|ab|的最小值为(C)A5C2B4D1222解析由条件知，直线l1与l2的斜率存在，且l1l2，k1a，k2a bk1k221，a12b2a1，a21a2111b20，|ab|a|2，等号成立时|a|，a1，baa|a|a|2，|ab|的最小值为 212已知a0，b0，且 2 是 2a与b的等差中项，则的最小值为(B)ab1A4C2解析2 是 2a与b的等差中项，2ab4又a0，b0，1B2D42ab2422ab()()4，当且仅当 2ab2，即a1，b2 时取等号2211.故选 Bab23某公司租地建仓库，每月土地费用

10、与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(A)A5 km 处C3 km 处B4 km 处D2 km 处解析设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y1(k10)，运输费用y2k2x(k242040)，把x10，y12 代入得k120，把x10，y28 代入得k2，故总费用yx5x52204204x8，当且仅当x，即x5 时等号成立x5x54设x3y20，则 3 27 1 的最小值为(A)A7C12 2xyxyk1x3B39D5解析由已知得x3

11、y2,3 0,27 0，3 27 12 3xyx3y1617，1xy当且仅当 3 27，即x1，y 时等号成立故选 A3二、填空题5若x3，则实数f(x)4x的最大值为_1_x3解析x3，x3q0，则提价多的方案是_乙_解析设原价为 1，则提价后的价格，方案甲：(1p%)(1q%)，乙：(1因 为1p%乙三、解答题1p%1q%1q%q0，所 以22pq2%，即(1p%)(1q%)0由80020 x，得 4xa ba b，ab2(ab1)，2.上述三个式子恒成立的有(B)A0 个C2 个553232255322322abbaB1 个D3 个32222332解析ab(a ba b)a(ab)b(b

12、a)(ab)(ab)(ab)(ab)(aabb)0 不恒成立；(ab)2(ab1)a2ab2b2(a1)(b1)0 恒成立；2 或 0，y0，4x9y2 4x9y12xy6SS160，即(S)6S16000S10，0S100.故S的取值范围是(0,100(2)当S100 m 时，4x9y，且xy10020解之得x15(m)，y(m)3答：仓库面积S的取值范围是(0,100，当S取到最大允许值 100 m 时，正面铁栅长15 m2221116已知a、b、c(0，)，且abc1.求证：(a)(b)(c)10abc111解析(a)(b)(c)abc(aabcabcabc)(b)(c)abcbaabc

13、aaccbbc4()()()422210，1当且仅当abc 时取等号3111(a)(b)(c)10abcC 级能力拔高1(20182019 学年度山东莒县二中高二月考)某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本 40 万元，每生产1 万件还需另投入 16 万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x4 40040 000万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(10 x2xx100)，该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W(万元)，(注：利润销售收入成本)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式，并求年利润的最大值；(2)为了让年利润W不低于 2 360 万元，

14、求年产量x的取值范围40 000解析(1)WxR(x)(16x40)16x4 360 x40 000(16x)4 360(10 x100)，x40 00016x2x40 00016x1 600 x当且仅当x50 时，“”成立，W1 6004 3602 760，即年利润的最大值为2 760 万元40 000(2)W16x4 3602 360，x整理得x125x2 5000解得：25x100.又 10 x100.25x100故为了让年利润W不低于 2 360 万元，年产量x的范围是25,100)2某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的二氧化碳处理量

15、最少为 400 t，最多为 600 t，月处理成本y(元)与月处212理量x(t)之间的函数关系可近似地表示为yx200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳2得到可利用的化工产品价值为100 元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？y180 000解析(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x200 x2x2180 000180 000 x200200，当且仅当x，即x400 时等号成立，2x2x故该单位月处理为 400 t 时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为每吨 200元(2)不获利12设该单位每月获利为S元，则S100 xy100 x(x200 x80 000)212x300 x80 000212(x300)35 000，2因为x400,600，所以S80 000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000 元才能不亏损