[整理]4基本不等式及应用.pdf

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1、-基本不等式及应用基本不等式及应用一、知识归纳：一、知识归纳：1基本不等式：abab（当且仅当a b时，取等号）2ab2ab变形：a b 2 ab，()ab，2ba2a 0,b 0，重要不等式：如果a,bR，则a b 2ab（当且仅当a b时，取“”号）2最值问题：已知x,y是正数，如果积xy是定值 P，则当x y时，和x y有最小值2 P；如果和x y是定值 S，则当x y时，积xy有最大值2212S.4利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。x y为x,y的算术平均数，称xy为x,y的几何平均数。2abc3

2、4（文科不作要求）三元基本不等式：若a,b,cR，则abc33称二、学习要点：二、学习要点：1掌握基本不等式的结构特点，利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最值，难点在于定值的确定。2基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和”。必要时可以通过变形（拆补）、运算（指、对数等）构造定值。3只有在满足“一正、二定、三等”条件下，才能取到最值。4基本不等式的主要应用有：求最值、证明不等式、解决实际问题。三、例题分析：三、例题分析：例 1已知x 0，则23x4的最大值是_.x例 2已知x 0,y 0，且2x 8y xy 0，求（1）xy的最小值；（2）x y的最小值。-例 3求下列函数的最小值x

3、27x10(x 1)（1）y x1（2）已知x 0,y 0，且3x 4y 12,求lgxlg y的最大值及相应的x，y的值。例 4.围建一个面积为 360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。（1）将总造价y表示为x的函数；2（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。-四、练习题：四、练习题：1设a,bR，且ab 3，则2a2b的最小值是A6B4 2C2 2D2 6

4、2下列不等式中恒成立的是Ax2214x242Bx 2C 2D23x 2xxx22x251 2lgx1 2x3下列结论正确的是A当x 0且x 1时，lgxB当x 0时，x C当x 2时,x 11的最小值为 2D当0 x 2时,x 无最大值xx4(x y)(1xa)9对任意正实数x，y恒成立,则正实数a的最小值为yA2B4C6D85已知a 0,b 0，则A2B2 2112 ab的最小值是abC4D56函数f(x)1 x x3的最大值为M，最小值为m，则m的值是MA2311BCD22427下列函数中最小值是4 的是4411x1xBy sin xCy 22Dy x223,x 0 xsin xx 111

5、ab8设a 0,b 0.若3是3 与3 的等比中项，则的最小值为ab1A 8B4CD14Ay x9若直线2axby 2 0(a 0,b 0)过圆x y 2x4y 1 0的圆心，则ab的最大值是A2211BC1D242-2a22a110已知a 2，p，q 2a 4a2，则a2Ap qBp qCp qDp q11点(m,n)在直线x y 1位于第一象限内的图象上运动，则log2mlog2n的最大值是_.12函数y log3(x15)(x 1)的最小值是_.x1y213已知x,y,zR，x2y 3z 0，则的最小值.xz14 已 知a 0,b 0，且ab 1，则 下 列 不 等 式 ab a b 1

6、117；ab；4ab42；11 2 2。其中正确的序号是_.a2b2215已知a 0,b 0,且2ab 1，求S 2 ab 4a b的最大值。16经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：y 920v(v 0)。v23v1600（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10 千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？-17某单位决定投资3200 元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米

7、长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元。（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，求函数yf(x)的解析式；（2）为使仓库总面积S达到最大，正面铁栅长x应为多少米？18周长为12 的矩形围成圆柱（无底），当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？1:2-（三）基本不等式及应用（三）基本不等式及应用参考答案参考答案三、例题分析：三、例题分析：例 1已知x 0，则23x4的最大值是_24 3_.x例 2已知x 0,y 0，且2x 8y xy 0，求（1）xy的最小值；（2）x y的最小值。解：（1）由x8y xy 0，得821，xy又x 0,y

8、0，则1828 28，得xy 64，2xyx yxy当且仅当x y时，等号成立。（2）法 1：由x8y xy 0，得x 8y，x 0y 2y2则x y y 8y1610 18，(y2)y 2y 216，即y 6,x 12时，等号成立。y2821，xy当且仅当(y2)法 2：由x8y xy 0，得则x y=(8x22x8y2x 8y)(x y)1010218。yyxyx例 3求下列函数的最小值x27x10(x 1)（1）y x1（2）已知x 0,y 0，且3x 4y 12,求lgxlg y的最大值及相应的 x，y 的值。解：（1）换元法，设t x1，x 1，则t 0，x t 1(t 1)27(t

9、 1)10t25t 44t 5 45 9且y ttt-4，t 2即x 1时，等号成立。则函数的最小值是9。t113x4y2（2）由x 0,y 0，且3x 4y 12,得xy(3x)(4y)()3121223lgxlg y lgxy lg3，当且仅当3x 4y 6，即x 2，y 时，23等号成立。故当x 2，y 时，lgxlg y的最大值是lg32当且仅当t 例 4围建一个面积为 360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利

10、用的旧墙的长度为x(单位：元)。（1）将总造价y表示为x的函数：2（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解：（1）如图，设矩形的另一边长为am则y 45x180(x2)1802a 225x360a360由已知ax 360,得a 360,x3602360(x 0)所以y 225xx(II)3602x 0225x 2 225360210800 x36023602 y 225x 360 10440.当且仅当225x=时，等号成立.xx即当x 24时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元.四、练习题：四、练习题：110：BABBCCC D AA解析：4解析 不

11、等式(x y)(1xa)9对任意正实数x，y恒成立，y则1a-yaxa2 a 19，a2 或a4(舍去)，xy-所以正实数a的最小值为 4，选B5解析因为1111112 ab 22 ab 2(ab)4当且仅当，且，abababab即a b时，取“=”号。11_2_12 _3_.13 _ 3_.14 _.15已知a 0,b 0,且2ab 1，求S 2 ab 4a b的最大值。解：a 0,b 0,2ab 1,224a2b2(2ab)24ab 14ab且1 2ab 2 2ab，即ab 21，ab 482 12S 2 ab 4a2b2 2 ab(14ab)2 ab 4ab1当且仅当a 11,b 时，等

12、号成立。42920v(v 0)。v23v160016经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：y（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10 千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？17某单位决定投资3200 元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正-面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元。（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，求函数y f

13、(x)的解析式；（2）为使仓库总面积S达到最大，正面铁栅应设计为多长？17解：（1）因铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积为S xy依题设，40 x245y 20 xy 3200，则y 故f(x)3204x(0 x 80)，2x93204x(0 x 80)2x9320 x4x2（2）S xy(0 x 80)2x9令t 2x9，则x 1(t 9),t 92160(t 9)(t 9)21699178(t)1782 1699 100则S tt当且仅当t 39，即x 15时，等号成立所以当铁栅的长是 15 米时，仓库总面积S达到最大，最大值是100m解法二：依题设，40 x245y 20 xy

14、3200，S xy由基本不等式得23200 2 40 x90y 20 xy 120 xy 20 xy120 S 20S，S 6 S 160 0，即(S 10)(S 6)0，故S 10，从而S 100所以S的最大允许值是 100 平方米，取得此最大值的条件是40 x 90y且xy 100，求得x 15，即铁栅的长是 15 米。18周长为12 的矩形围成圆柱（无底），当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？-解：设矩形长为x，宽为y，成圆柱的底面半径r，休积为V则有x y 6，x 2r，r x，y 6 x2x212)y x(6 x)，其中0 x 6241 x x1 638则V(6 x)()2 23则V r y(2当且仅当x 6 x，即x 4时，等号成立。这时y 222r:y x:y 2:1，即圆柱的底面周长与圆柱的高的比为2:1-