基本不等式(第一课时).pdf
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1、基本不等式(第一课时)发表时间:2018-03-22T09:51:39.183Z 来源:教育学文摘2018年3月总第258期 作者:宋艳艳导读 让学生通过图形自己总结从中看出哪些相等和不等关系,这样使学生更明确这些关系的建立,为以后公式的运用打下基础.黑龙江省鸡西市第一中学158100一、教学过程 1.新课引入:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?(让学生通过图形自己总结从中看出哪些相等和不等关系,这样使学生更明确这些关系的建立,为以后公式的
2、运用打下基础,在讲课过程中会发现学生还有许多自己的想法。)在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形两条直角边长为a,b,那么正方形的边长为a2+b2。于是,4个直角三角形的面积之和S1=2ab,正方形的面积S2=a2+b2。由图可知S2S1,即a2+b22ab。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时a2+b2=2ab,所以得到第一个公式a2+b22ab(当且仅当a=b取等)。从这里让学生自己总结如果用a,b代替公式中的a,b那么又会得到什么样的式子,是不是能够应用于所有实数为后面的取值范围做准备。第二个公式a+b2ab。2.代数证明:请同学们用
3、代数方法给出这两个不等式的证明。证法一(作差法):a2+b2-2ab=(a-b)20,a2+b22ab,当a=b时取等号(在该过程中,可发现a,b的取值可以是全体实数)。证法二(分析法):由于a,bR+,于是要证明ab,只要证明a+b2ab,即证a+b-2ab0,即(a-b)20,该式显然成立,所以ab,当a=b时取等号。基本不等式:若a,bR+,则ab(当且仅当a=b时,等号成立);若a,bR,则a2+b22ab(当且仅当a=b时,等号成立)。称ab为a,b的几何平均数,称为a,b的算术平均数,基本不等式ab又可叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均。3.典例讲解:例如:若x0,求
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