【高中数学】3.4基本不等式.pdf

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1、3 34 41 1【教学目标】【教学目标】基本不等式（基本不等式（1 1）1 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab 过程；【教学难点】【教学难点】基本不等式ab【教 学过 程】1.课题导入基本不等式ab ab的几何背景：2ab等号成立条件2ab的证明2探究：如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数

2、学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2 合作探究（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积面积的关系去找相等关系或不等关。系）提问 2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：a2b2，a b22提问 3：那 4 个直角三角形的面积和呢？生答：2ab提问 4：好，根据观察4 个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，a b 2ab。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三

3、角形，即a b时，正方形 EFGH 变成一个点，这时有22a2b2 2ab结论：结论：（板书）一般地，对于任意实数（板书）一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有a b 2ab，当且仅当，当且仅当a b时，时，22等号成立。等号成立。提问 5：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)(a b)0,当a b时,(a b)0,证明:a b 2ab (a b),当a b时，所以a b 2ab注意强调当且仅当a b时,a b 2ab(2)特别地,如果a 0,b 0,用 a和 b分别代替a、b,可得a b 2 ab,也可写成222222222ab a b(a 0,b 0),引导学生利用不等

4、式的性质推导2(板书,请学生上台板演):a bab(a 0,b 0)2即证a b 要证,只要证a b 0要证:要证,只要证 (-)20显然,是成立的,当且仅当a b时,的等号成立(3)观察图形 3.4-3,得到不等式的几何解释两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ab ab2探究：探究：课本中的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于AB 的弦 DE，连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本ab不等式ab 的几何解释吗？2易证tADtDB，那么D2AB即Dab.这个圆的半径为a b，显

5、然，它大于或等于CD，即2a bab，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.2因此：基本不等式ab 评述：评述：1.如果把如果把ab几何意义是“半径不小于半弦半径不小于半弦”2a b看作是正数看作是正数 a a、b b 的等差中项，的等差中项，ab看作是正数看作是正数 a a、b b 的等的等2比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.即学即练即学即练:1 若0 a b且a b 1，则下列四个数中最大的是（）12a b,2ab,a2b22aba2 a,b 是正数，则2ab三个数的大小顺序是

6、（）a ba b2aba b2abab ab 2a b2a bab 2aba ba b22aba bab a b2答案答案B BC C例题分析：例题分析：(1)xyxyxy 22 即2.yxyxyx(2)xy2xy0 x2y22x y0 x3y32x y22330（xy）（x2y2）（x3y3）2xy2x y2x yx3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.变式训练：变式训练：0，当取何值时+解析：因为0，+22331有最小值，最小值是多少x11 x=22xx当且仅当=1时即 x=1 时有最小值 2x点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1 正 2 定 3 相等可以具体解释每一项的意思

7、。当堂检测：当堂检测：1.下列叙述中正确的是（）.（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值12 下面给出的解答中，正确的是（）.1（A）yx 2xx 2，y有最小值 2x4|sinx|4，y有最小值 4|sinx|2）（214（B）y|sinx|2|sinx|（C）yx（2x3）（当x1 时，y有最大值（9x2x3x32），又由x2x3 得x1，2132）1232（D）y3xxxx9x3，y有最大值343.已知x0，则x 3 的最小值为（）.（A）4（

8、B）7（C）8（D）1114.设函数f（x）2x 1（x0），则f（x）（）.x（A）有最大值（B）有最小值（C）是增函数（D）是减函数1 B 2.D 3 B 4.A基本不等式基本不等式第一课时第一课时课前预习学案课前预习学案一、预习目标一、预习目标不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理。二、预习内容二、预习内容一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有a b 2ab，当，当，等号成立。，等号成立。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母表示：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母

9、表示：。三、提出疑惑三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑点疑惑内容疑惑内容22课内探究学案课内探究学案教学目标教学目标a2b2 2ab，不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义教学重点】教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab 过程；【教学难点】【教学难点】基本不等式ab 2ab的证明2ab等号成立条件22合作探究合作探究 1 证;a b 2ab强调：强调：当且仅当a b时,a b 2ab特别地

10、,如果a 0,b 0,用 a和 b分别代替a、b,可得a b 2 ab,也可写成22ab a b(a 0,b 0),引导学生利用不等式的性质推导2ab2证明证明:结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ab 探究探究 2 2：课本中的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是 AB 上的一点，AC=a,BC=b。过点C 作垂直于 AB 的弦DE，连接 AD、BD。你 能利 用这 个图 形得 出基 本不 等式ab ab的几何解释2练习练习1若0 a b且a b 1，则 下 列 四 个 数 中 最 大 的 是（）12a2 a,b 是正数，则

11、a2b2 2aba b,2ab,2ab三个数的大小顺序是（）a ba b2aba b2abab ab 2a b2a bab 2aba ba b22aba bab a b2答案答案B BC C例题分析：例题分析：已知 x、y 都是正数，求证：(1)yx2；xy(2）0，当取何值时+221有最小值，最小值是多少x分析：分析：a b 2ab，注意条件 a、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.1 正 2 定 3 相等51变式训练：变式训练：1 1 已知x，则函数f（x）4x的最大值是多少？44x5 2 证明：（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：注意凑位法的

12、使用。注意基本不等式的用法。当堂检测：当堂检测：1.下列叙述中正确的是（）.（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值2 下面给出的解答中，正确的是（）.1（A）yx 2xx 2，y有最小值 2x4|sinx|4，y有最小值 4|sinx|2）（214（B）y|sinx|2|sinx|（C）yx（2x3）（当x1 时，y有最大值（9x2x3x32），又由x2x3 得x1，2132）1232（D）y3xxxx9x3，y有最大值343.已知x0，则x 3 的

13、最小值为（）.（A）4（B）7（C）8（D）1114.设函数f（x）2x 1（x0），则f（x）（）.x（A）有最大值（B）有最小值（C）是增函数（D）是减函数答案 1 B 2.D 3 B 4.A课后练习与提高课后练习与提高1已知x、y都是正数，求证：如果积xy 是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2 p 如果和x y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S142 拓展探究拓展探究 1112.设 a,b,c(0,),且 a+b+c=1，求证：(1)(1)(1)8.abc答案：1 略 2 提示可用 a+b+c 换里面的 1，然后化简利用基本不等式。3.4.23.4.2基本不等式的应用基本

14、不等式的应用【教学目标】【教学目标】1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题教学重点：教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题教学难点：教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件教学过程：教学过程：一、创设情景，引入课题一、创设情景，引入课题提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把a b叫做正数a、b的算术平均数，2把ab叫做正数a、b的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。讲

15、解：已知x,y都是正数，如果xy是定值p，那么当x y时，和x y有最小值2 p；如果和x y是定值s，那么当x y时，积有最大值12s4二、探求新知，质疑答辩，排难解惑二、探求新知，质疑答辩，排难解惑1 1、新课讲授新课讲授例 1、（1）用篱笆围一个面积为 100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长

16、为x m,宽为y m,则xy由100,篱笆的长为 2（x y）x yxy，2可得x y 2 1002（x y）40等号当且仅当x y时成立，此时x y 10，因此，这个矩形的长、宽为 10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m (2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则 2（x积为xym 2，由xy y）=36，x y=18，矩形菜园的面x y18 9,可得xy 81,22可得等号当且仅当x y时成立，此时x y 9点评：此题用到了点评：此题用到了 如果xy是定值p，那么当x y时，和x y有最小值2 p；如果和x y是定值s，那么当x y时，积有最大值变式训练：变式训练：用长为4a的铁丝

17、围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？解：设矩形的长为x(0 x 2a)，则宽为2a x，矩形面S x(2a x)，且x 0,2a x 0由x(2a x)取等号），2由此可知，当x a时，S x(2a x)有最大值a答：将铁丝围成正方形时，12s4x(2a x)（当且近当x 2a x，即x a时 a2才能有最大面积a例例 2 2（教材P89例 2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为 3m，如果32池底每 1m 的造价为 150 元，池壁每1m 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建

18、立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得22l 240000720(x 16001600)240000 7202 xxx 240000720240 2976001600当x,即x 40时,l有最小值2976000.x因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600 元评述：评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。变题：变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是立方分

19、米，用来做底的金属每平方分米价值 3 元，做侧面的金属每平方米价值2 元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。解：设圆桶的底半径为r分米，高为h分米，圆桶的成本为m元，则32m 3r2 22rh求桶成本最低，即是求m在r、h取什么值时最小。将h 3代入m的解析式，得22rm 3r2 2(2r)(3r2362=)3r r2r23333 33(3r2)9rrrr2333时，取“=”号。rrr3当r 1（分米），h（分米）时，圆桶的成本最低为9（元）。2当且仅当3r点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识1求最值常用的不等式：ab 2 ab，ab (

20、ab2)，a2b2 2ab22注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小3.建立不等式模型解决实际问题当堂检测：当堂检测：1 下列函数中，最小值为4 的是：（）y x44y sinx(0 x)xsinxy log3x 4logx3y ex 4ex2.设x,yR R,且x y 5,则3x3y的最小值是()A.10B.6 3C.4 6D.18 33 函数y x 1 x2的最大值为.4 建造一个容积为18m3,深为 2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为 200元和 150 元，那么池的最低造价为元.5 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6 吨，每吨面粉的价格为 1800

21、 元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3 元，购面粉每次需支付运费900 元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？答案：答案：1C1C2 D2 D3 314 4 36005 5x 10时，y有最小值10989，2基本不等式的应用基本不等式的应用课前预习学案课前预习学案一、预习目标一、预习目标会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题二、预习内容二、预习内容1 如果xy是定值p，那么当x y时，和x y有最2 如果和x y是定值s，那么当x y时，积有最3 若x 1，则x=_时,x 1有最小值，最小值为_.x 14.若实数 a、b 满足 a+b2,则 3

22、a+3b的最小值是_.三、提出疑惑三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑点课内探究学案课内探究学案一、学习目标一、学习目标1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.教学重点：教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题教学难点：教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件二、学习过程二、学习过程例题分析：例题分析：例 1、（1）用篱笆围一个面积为 100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少

23、时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为 36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：变式训练：1 用长为4a的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？2 一份印刷品的排版面积（矩形）为A它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？变式训练 答案 1x a时面积最大。2 此时纸张长和宽分别是疑惑内容疑惑内容Aa2a和bAb2ba例例 2 2：）某工厂要建造一

24、个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m,深为 3m，如果池底每221m 的造价为 150 元，池壁每 1m 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。答案：底面一边长为答案：底面一边长为 4040 时，总造价最低时，总造价最低 29760002976000。变式训练：变式训练：建造一个容积为 18m3,深为 2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造3价为 200 元和 150 元，那么池的最低造价为元.答案：答案：36003600当堂检测：当堂

25、检测：1 1 若 x,y 是正数，且141，则 xy 有（3）xy最大值 16最小值2 已知x 0,y 0且满足11最小值 16最大值1616281,求x y的最小值.4xy162014183 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6 吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3 元，购面粉每次需支付运费 900 元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？答案:1 C 2 D3x 10时，y有最小值10989，课后复习学案课后复习学案1 已知 x0，y0，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值2 广东省潮州金中 0

26、8-09 学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？3 某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2与到车站的距离成正比，如果在距车站 10 公里处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?高考数学：试卷答题攻略高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。一、“六先六后”，因人因卷制宜。考生可

27、依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。全。审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。假如速度与

28、准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。略，争取得分。对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。否定。对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证

29、有困难就反证。对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠

30、缠。第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。第四：客观题求规范。用学科专业术语表达。物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。