基本不等式及应用.pdf

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1、基本不等式及其应用基本不等式及其应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题3了解证明不等式的基本方法综合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件abab2三、常用的几个重要不等式ab222(1)a b 2ab(a，bR)(2)ab()(a，bR)2a bab2ba(3)()(a，bR)(4)2(a，b 同号且不为零)22ab上述四个不等式等号成立的条件都是ab.四、算术平均数与几何平均数ab设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的2算术平均数不小于它们的几何平均数22等号成立的条件aba0，b

2、02 2abab四个“平均数”的大小关系；四个“平均数”的大小关系；a a，b bR+R+：a a b b当且仅当当且仅当a ab b时取等号时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x，y 都是正数a a b babab2 2a a2 2 b b2 22 2(1)如果积 xy 是定值 P，那么当 xy 时和 xy 有最小值 2 P.12(2)如果和 xy 是定值 S，那么当 xy 时积 xy 有最大值 S.4强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.正：两项必须都是正数；定：求两项和

3、的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性）3想一想想一想:错在哪里？错在哪里？(x 2)，已知函数已知函数f(x)x1x2已知函数已知函数f(x)x，求函数的，求函数的最小值和此时最小值和此时x x的取值的取值x求函数的最小值求函数的最小值33解：f(x)x 2x 11x 2x 2解:f(x)x x 2x x 2 x 2当 且 仅 当 x 1即 x 1时 函 数当 且 仅 当3即 x 3时，函 数xx x 2取 到 最 小 值 2.的 最 小 值 是 6

4、。大 家 把 x 2 最 小 值？第第1页页 共共 1 1 页页3 代 入 看 一 看，会 有什 么 发 现？用 什 么 方 法 求 该 函 数 的113、已知两正数 x，y 满足 xy1，则 z(x)(y)的最小值为_xy111解一：因为对 a0，恒有 a 2，从而 z(x)(y)4，所以 z 的最小值是 4.axy2x y 2xy2解二：z(xy)22xyxy222xy22(21)，所以 z 的最小值是 2(21)xy【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的2111yx1xy 2xy2【正

5、确解答】z(x)(y)xy xyxy2，xyxyxyxyxyxyxy212112令 txy，则0txy()，由f(t)t 在(0，上单调递减，故当t 时，f(t)t24t44t33125有最小值，所以当 xy 时 z 有最小值.424误区警示：(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件3的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数 y12x(x0)有最大值 12 6而不是有最小值 1x2 6.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错课堂纠错补练：课堂纠错补练：4若 0 x，则 f(

6、x)sinx的最小值为_2sinx4解析：令 sinxt,00，b0，ab1，求证：4.ab【证明】(1)a0，b0，ab1，11ababba 2 ababab22ba1 4(当且仅当 ab 时等号成立)ab211 4.原不等式成立ab111练习：练习：已知 a、b、c 为正实数，且 abc1，求证：(1)(1)(1)8.abc证明：a、b、c 均为正实数，且 abc1，111(1)(1)(1)abc1a1b1cabcbcacab2 bc2 ac2 ab8.abcabc1当且仅当 abc 时取等号3考点考点 2 2利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，

7、而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法例 4：(1)设 0 x2，求函数y 2x(2 x)的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】(1)0 x0，y x42x 2 x2xx2x 2 2，2当且仅当 x2x 即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y x42x的最大值是 2.12(2)x0，求 f(x)3

8、x 的最小值；x（3）已知:x0,y0.且 2x+5y=20,求 xy 的最大值.（4）已知y 4a，求y的取值范围a24a226，a244显然 a2，当 a2 时，a20，a(a2)22a2a2第第3页页 共共 3 3 页页4当且仅当a2，即 a4 时取等号，a2当 a2 时，a20，y0，且 xy1，求 的最小值xyx0，y0，且 xy1，3434 ()(xy)xyxy3y4x772xy3y4x74 3，xy4a 的取值范围是(，26，)a23y4x当且仅当，即 2x 3y 时等号成立，xy34 的最小值为 74 3.xy练习：练习：求下列各题的最值25(1)已知 x0，y0，lgxlgy

9、1，求 z 的最小值；xy解：(1)由 x0，y0，lgxlgy1，可得 xy10.252y5x2 10 xy则 2.zmin2.当且仅当 2y5x，即 x2，y5 时等号成立xy101012(2)x0，求 f(x)3x 的最大值；x12x0，f(x)3x2xf(x)的最小值是 12.4(3)x3，求 f(x)x 的最大值x344x3，x30，f(x)x(x3)3x3x34(3x)323x43x31，3x12123x12，等号成立的条件是3x，即 x2，xx第第4页页 共共 4 4 页页4当且仅当3x，即 x1 时，等号成立故 f(x)的最大值为1.3x（4）a 0,b 0,4a b 1，求a

10、b的最大值。考点考点 3 3利用基本不等式求最值的解题技巧利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值例 3：（1）已知a,bR,a b 3 ab，求ab的最小值。（2）已知y 2x 1 x2(0 x 1)，求y的最大值。b21，求a 1b2的最大值。（3）已知a,bR，a 22（4）求函数y（5）设 abc0，求 2a 22x 152x的最大值。11210ac25c 的最小值。abaabA2B4C2 5D5【分析】通过拆、拼、凑创造条件，利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件11222【解析】原式(a 10ac25c)

11、aba(ab)a aba(ab)abaab112(a5c)aba(ab)abaab021ab2ab1aab4，aab22，c时，等号成立【答案】B25ab1当且仅当aab1a5c，即 a 2，b练习：练习：（1）(2011 年浙江)设 x，y 为实数，若 4x2y2xy1，则 2xy 的最大值是_2222解析：4x y xy1，4x 4xyy 3xy1332xy22(2xy)13xy 2xy()22238222(2xy)1(2xy)(2xy)85第第5页页 共共 5 5 页页2 102 102即2xy当且仅当 2xy 时取等号，(2xy)最大值10.555（2）已知x 51，求y 4x 2的最

12、大值。44x 5x2 y2（3）已知x y 0，xy 1，求的最小值及相应的x,y的值。x y考点考点 4 4基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值；(4)还原实际问题，作出解答例 4 围建一个面积为 360 m2 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示 已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价

13、为 180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将 y 表示为 x 的函数；(2)试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【分析】(1)首先明确总费用 y旧墙维修费建新墙费，其次，列出y 与 x 的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值的条件，作出问题结论【解】(1)如图，设矩形的另一边长为a m.则 y45x180(x2)1802a225x360a360.360由已知 xa360，得 a，x360所以 y225x360(x2)x(2)x2，3602225x2 225360 10800.x360360

14、y225x36010440.当且仅当 225x时，等号成立xx即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440 元方法归纳：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解练习：练习：1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距 d(m)2222第第6页页 共共 6 6 页页12与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足：dkv l l(k 为正常数

15、)，假定车身长都为 4 m，当车速为 60 km/h2时，车距为 2.66 个车身长(1)写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？12.66l l22.16解：(1)当 v60 km/h 时，d2.66l，k20.0006，260 l60d0.0024v 2.1000v1000v1000(2)设每小时通过的车辆为Q，则 Q，即 Q.2d40.0024v 660.0024vv60.0024v 2v61000125000.0024v 0.24，Q.v0.2432612500当且仅当 0.0024v，即 v50 时，Q 取最大值.v3答：当

16、 v50 km/h 时，大桥上每小时通过的车辆最多2、设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840cm，画面的宽与高的比为(0 1)，画面的上下各留 8cm的空白，左右各留 5cm空白，怎样确定画面的高于款的尺寸，使宣传画所用纸张面积最小？如果要求,，那么为何值时使宣传画所用纸张面积最小？归纳提升：1创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法2常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接1(1)a 2(a0，且 aR)，当且仅当 a1 时“”成立aba(2)2(a0，b0，a，bR)，当且仅当 ab 时“”成立abb (3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数yax，当 a0，b0 x时函数在b，0)，(0,ab上是减函数，在(，ab)，(ab，)上是增函数；当 a0，a22 33 4bb0 时，可作如下变形：y(ax)()来解决最值问题x第第7页页 共共 7 7 页页