基本不等式解题方法.pdf

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1、基本不等式应用1.若x 0，则x11“=”）;若x 0，则x 2(当且仅当x 1时取“=”）2(当且仅当x 1时取xx若x 0，则x1 2即x1 2或x1-2 (当且仅当a b时取“=”）xxx2.若ab 0，则ab 2 (当且仅当a b时取“=”）ba若ab 0，则ababab）2即 2或-2 (当且仅当a b时取“=”bababaa b2a2b23.若a,bR，则(（当且仅当a b时取“=”）)22注注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理

2、在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值应用一：求最值例 1：求下列函数的值域11（1）y3x 2 2（2）yx2xx1解：（1）y3x 2 222x13x 2 2 6值域为 6，+）2x1x2；x1x=2x1（2）当 x0 时，yx2x11当 x0 时，yx=（x）2xx值域为（，22，+）解题技巧：解题技巧：技巧一：凑项技巧一：凑项例 1：已知x 5，求函数y 4x21的最大值。44x5解：因4x5 0，所以首先要“调整”符号，又(4x2)1不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，4x5511x,54x 0，y 4x2 54x3 23144

3、x554x当且仅当54x 1，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数技巧二：凑系数例 1.当时，求y x(82x)的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将y x(82x)凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号当 x2 时，y x(82x)的最大值为 8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设0 x 3，求函数y 4x(3 2x)的最

4、大值。2232x 3 2x9解：0 x 3 2x 0y 4x(3 2x)22x(3 2x)2 222当且仅当2x 3 2x,即x 330,时等号成立。42技巧三技巧三：分离分离x27x10(x 1)的值域。例 3.求y x1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,y 2（x1)45 9（当且仅当 x1 时取“”号）。x1技巧四技巧四：换元：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。(t 1)27(t 1）+10t25t 44y=t 5ttt4当,即 t=时,y 2 t5 9（当 t=2 即 x1 时

5、取“”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A B(A 0,B 0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。g(x)a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x的单调性。的单调性。x值。即化为y mg(x)例：求函数y x25x 42的值域。2解：令x24 t(t 2)，则y x 5x24x24 1 t (t 2)tx241因t 0,t1，但t 解得t 1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为y t 在区

6、间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y 所以，所求函数的值域为,。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.1t1t1t5。25211x23x1,x(0,),x 3 (3)y 2sin x,(x 0)（2）y 2x（1）y xsin xx32已知0 x1，求函数y条件求最值条件求最值x(1x)的最大值.；30 x b2，求函数y x(23x)的最大值.31.若实数满足a b 2，则3 3的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3 3定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3 和3都是正数，3 32 3a3b 2 3ab 6当3 3时等号成立，由a b

7、2及3 3得a b 1即当a b 1时，3 3的最小值是 6变式：若log4xlog4y 2，求abababaababab11的最小值.并求 x,y 的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x 0,y 0，且191，求x y的最小值。xy1x91，x y 19x y 292 xy 12故x ymin12。yxyxy错解错解：x 0,y 0，且错因：解法中两次连用基本不等式，在x y 2 xy等号成立条件是x y，在19 29等号成立xyxy条件是1

8、9即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解正解：19 y9x19x 0,y 0,1，x y x y10 61016xyxyxy当且仅当19y9x时，上式等号成立，又1，可得x 4,y 12时，x ymin16。xyxy变式：（1）若x,y R且2x y 1，求11的最小值xy(2)已知a,b,x,y R且ab1，求x xyy的最小值技巧七技巧七、已知已知 x x，y y 为正实数，且为正实数，且 x x 2 2y y 2 21 1，求，求 x x 1 1y y2 2的最大值的最大值

9、.2 2a 2b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。2同时还应化简下面将 x，1y2中 y2前面的系数为1，x 1y2x21y 22 2 x21y 2221y 2分别看成两个因式：22xx(1y 222 21y 22y 21 2 )x 22223即 x 1y2 2 x2241y 2322241 1技巧八：已知技巧八：已知 a a，b b 为正实数，为正实数，2 2b bababa a3030，求函数，求函数 y yabab的最小值的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等

10、式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。302b302b2 b230b法一：a，abbb1b1b1由 a0 得，0b152t234t311616令 tb+1，1t16，ab2（t）34t2ttt1 ab18 y当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。18法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab2令 u ab则 u 2 2 u300，5 2 u3 21 ab 3 2，ab18，y18点评：本题考查不等式

11、16t8ta b的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等ab（a,b R）2（a,b R）式ab a2b30出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式a b，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.ab（a,b R）2变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方技巧九、取平方5、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 W 3x 2y 的最值.aba 2b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单223x 2y 2（3x）2（2y）2 23x

12、2y 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y2 3x 2y 102 3x 2y 10(3x)2(2y)210(3x2y)20 W 20 2 5变式:求函数y 2x 152x(1 x 5)的最大值。22解析：注意到2x1与52x的和为定值。y2(2x 152x)2 4 2(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8又y 0，所以0 y 2 2当且仅当2x1=52x，即x 3时取等号。故ymax 2 2。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式

13、求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。应用三：基本不等式与恒成立问题应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知x 0,y 0且191，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。xy19x y9x9y10y9x1，1.1xykxkykkxky解：令x y k,x 0,y 0,1103 2。k 16，m,16kklgalgb,Q 1a b(lga lgb),R lg()，则P,Q,R的大小关系是 .22应用四：均值定理在比较大小中的应用：应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若a b 1,P 分析：a b 1lga 0,lgb 0Q 1（lga lgb)lgalgb p2a b1R lg()lgab lgab QRQP。22