《直接证明和间接证明与数学归纳法》集体备课.pdf

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1、沂水县第三中学高二数学组集体备课主备人：王培福记录人：袁江玉第四周2011314集思广益集思广益群策群力群策群力学法指导学法指导了解本章在高考中的重要性课课题题直接证明和间接证明与数学归纳法直接证明和间接证明与数学归纳法新授课新授课选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何.选修 22：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入.选修 23：计数原理、统计案例、概率.选修 45：不等式的基本性质和证明的基本方法.附：山东省附：山东省 20102010 年高考真题知识点分布及分值分布特点年高考真题知识点分布及分值分布特点：教教学学目目标标知识与技能1 了解直接证明的两种方

2、法：综合法和分析法。2 了解间接证明的基本方法：反正法。3 借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n有关的数学命题了解直接证明与间接证明的基本方法，体会数学证明的思考过程及特点，提升综合分析解决问题的能力；掌握“归纳-猜想-证明”的推理方法及数学归纳法德证明步骤通过具体实例引导学生分析这些基本证明方法，归纳出操作流程图，使他们在以后的学习生活中自觉地、有意识的运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。了解综合法和分析法以及反证法，掌握数学归纳法的基本步骤，运用它证明一些与正整数 n 有关的数学命题。根据问题的特点，结合方法的思考过程、特点，

3、选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用；运用数学归纳法是，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系过程与方法情感、态度、情感、态度、价值观价值观重重点点难难点点教教学学过过程程学法指导学法指导课标要求课标要求1了解直接证明的两种方法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；2了解间接证明的一种基本方法-反证法；了解反证法的思考过程、特点；3了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题考纲分析考纲分析20112011 年山东省高考数学考试大纲（理工类）年山东省高考数学考试大纲（理工类）考试范围是普通高中数学课程标准(实验)中的必修课程内容和选修系列2明确高考知识点分布的内容以

4、及选修系列 45 的部分内容，内容如下：数学 1：集合、函数概念与基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数).数学 2：立体几何初步、平面解析几何初步.数学 3：算法初步、统计、概率.数学 4：基本初等函数(三角函数)、平面上的向量、三角恒等变换.数学 5：解三角形、数列、不等式.第 1 页，共 5 页沂水县第三中学高二数学组集体备课主备人：王培福记录人：袁江玉第四周2011314集思广益集思广益群策群力群策群力学法指导学法指导教材分析教材分析通过实例，概括综合法和分析法的特点：“顺推证法”或“有因导果法”是综合法的两种形象的说法，“逆推证法”或“执果索因法”是分析法的两种形象的说法，发证法主

5、要使用与要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的不够清晰，如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很小的几种情形，通过对多米骨牌的原理，概括出数学归纳法，特别强调数学学法指导学法指导nSn1n 3Sn 0,2an1为bn与bn1的等比中项，n N*.考题展示考题展示1(2009 文 13)数列an的前n项和是Sn，若数列an的各项按如下规则排列：1 12123 12 3 412n 1,2 3 3444 5 5 5 5nnn高 考 考 什么？则a15，若存在正整数k，使Sk 10，Sk 1 10，则ak56，5717.(2010 北京理)设数列

6、an的首项a1=a14，且an1 1an 2a 1n4n 为偶数,n 为奇 数高 考 怎 么考？记bn a2n114，nl，2，3，（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（III）略解：（I）a2a1+14=a+1414，a3=121412121（II）a4=a3+所以b1=a114=a+23a2=12a+18；128,所以a5=14a4=1=a,b2=a3=12(a414a+316,14),b3=a5=14(a14),猜想：bn是公比为证明如下：因为bn+1a2n+114的等比数列=a2n1414=12(a2n11214)=12bn,(nN*)所以bn是首项

7、为a,公比为的等比数列18.(2010 天津理 22)在数列an与bn中，a1 1,b1 4，数列an的前n项和Sn满足第 2 页，共 5 页（）解：由题设有a1 a2 4a1 0，a1 1，解得a2 3由题设又有4a22 b2b1，b1 4，解得b2 9掌 握 高 考试题特点（）解法一：由题设nSn1(n 3)Sn 0，a1 1，b1 4，及a2 3，b2 9，进一步可n(n 1)得a3 6，b3 16，a4 10，b4 25，猜想an，bn(n 1)2，n N*2n(n 1)先证an，n N*21(1 1)当n 1时，a1，等式成立当n 2时用数学归纳法证明如下：22 (2 1)（1 当n

8、 2时，a2，等式成立2k(k 1)（2）假设n k时等式成立，即ak，k 22由题设，kSk 1(k 3)Sk(k 1)Sk(k 2)Sk 1的两边分别减去的两边，整理得kak 1(k 2)ak，从而k 2k 2k(k 1)(k 1)(k 1)1ak 1akkk22n(n 1)这就是说，当n k 1时等式也成立 根据（1）和（2）可知，等式an对任何的n 22成立n(n 1)n(n 1)综上所述，等式an对任何的n N*都成立an222再用数学归纳法证明bn(n 1)，n N*2（）求a2,b2的值；（）求数列an与bn的通项公式；（）略.（1）当n 1时，b1(1 1)，等式成立（2）4a

9、k 1bk2假设当2n k2时等式成立，即bk(k 1)2，那么bk 1(k 1)(k 2)(k 1)2(k 1)122这就是说，当n k 1时等式也成立 根据（1）和（2）可知，等式bn(n 1)对任何的n N*都成立沂水县第三中学高二数学组集体备课主备人：王培福记录人：袁江玉第四周20113143集思广益集思广益群策群力群策群力学法指导学法指导 19.(2010 重庆理 22)设各项均为正数的数列an满足a1 2,an aa21aa2(n N*).（）若a214学法指导学法指导考情分析考情分析从内容上看，在高考中，直接在此知识点命题的机会不多，但作为证明和推理数学命题的方法，隐含于很多题中

10、，从内容上看数学归纳法，是证明关于正整数 n 的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一，从能力上看主要考查逻辑推理能力和化归德思想，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；（）略.解：()因a1 2,a2 22,故a3 a1a23232 2,2.24a4 a2a38(2)2由此有a1 2(2)0,a2 2(2),a3 2,a4 2(2)3，故猜想an的通项为an 2(2)n1(n N).*20.(2010 辽宁理 21)在数列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列（n N N）*（）求a2，a

11、3，a4及b2，b3，b4，由此猜测|an|，|bn|的通项公式，并证明你的结论；（）略2 bnbn1，解：（）由条件得2bn an an1，an1由此可得a2 6，b2 9，a3 12，b3 16，a4 20，b4 25猜测an n(n 1)，bn(n 1)用数学归纳法证明：当n=1 时，由上可得结论成立2假设当n=k时，结论成立，即ak k(k 1)，bk(k 1)，2那么当n=k+1 时，ak 1 2bk ak 2(k 1)k(k 1)(k 1)(k 2)，bk 12ak 2bk2(k 2)2所以当n=k+1 时，结论也成立2由，可知an n(n 1)，bn(n 1)对一切正整数都成立第

12、 3 页，共 5 页考点预测考点预测预计2011年高考本专题知识与数列知识结合命题的机会较大，主要考查不等式的收缩，本专题知识的考查面较广，涉及知识点较多一般证明题目难度较大，能力要求较高，每年高考分值在12分左右，数学归纳法有加强的趋势，估计会与数列、不等式相结合，出中档题的解答题，仍将重点考查归纳结论和利用归纳法的证明。学情分析学情分析在以前的学习中，学生已经能应用总合法、分析法和反证法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，本节结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的思考过程与特点，并归纳出操作流程图，而数学归纳法通过实例引导学生分析，借助于

13、多米诺骨牌游戏全部倒下原理，给出数学归纳法的原理。教法设计教法设计本节课主要是概念的教学课,反映事物的本质属性和特征的思维形式叫做概念.数学概念教学的关键是运用好数学概念的形成与数学概念的同化两种获得方式,学生学习数学概念的过程可以说是一种再创造过程,学生从对数学知识的提炼和组织 通过对低层次活动本身的分析,把低层次的概念变为高层次的常识,再经过提炼和组织而形成更高层次的概念,如此循环往复,其过程可简述为:观察实例归纳实例的共同属性揭示概念的本质属性找出新概念与原认知结数学概念是数学基础知识的基础.深入理解数学概念的过程会使抽象逻辑思维得到锻炼,对提高思维能力有很好的促进作用.从证明基本不等式

14、这一简单而又典型的数学问题引导学生分析方法的特点入手，使学生轻松获取知识,增强学生学习数学的兴趣,真正做到既关注学习的结果,又关注学习的过程.通过证明不等式和实例的观察分析,对结果进行观察、分析、讨论、抽象归纳数学归纳法的步骤，学生提高了动手能力.在相互交流、互相讨论过程中，学生认识了自我,建立了信心,同时也构建了和谐的课堂气氛.沂水县第三中学高二数学组集体备课主备人：王培福记录人：袁江玉第四周2011314集思广益集思广益群策群力群策群力学法指导学法指导学法指导学法指导复习相关知识，为学推理最好准备【跟踪练习】【跟踪练习】学法指导学法指导让学生观察，思考，计算，通过自我探索，相互讨论直到最终

15、掌握概念，发现规律，解决问题。复习检查复习检查1 基本不等式：已知 a0,b0,a b 2ab（当且仅当 a=b 时取等）2.等差数列，等比数列通项公式an a1(n 1)d，an a1q3.凸 n 边形内角和公式(n 2)1800n1。基础梳理基础梳理1：直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的、等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明，常用直接证明方法和预习课本并2：综合法：一般的，利用已知条件和某些数学、等，经过一系列的填空推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。3：分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使成立的条件，直至最后，把证明

16、的结论归结为判定一个为止，这种证明方法叫做分析法，3：反证法：一般的，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明力原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。4：在反证法中，经过正确的推理后：“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与矛盾，与、或矛盾，与矛盾。5：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：，。在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始的所有正整数 n 成立。在三角形 ABC 中，三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 A,B,C 成等差数列，a,b,c成等比数列，求证三角形 ABC 为等边三角形教 师 规 范板书例例 2 2 求证：

17、3+725分析：从定不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的重练 习 由 学要条件生板演【规律总结】【规律总结】综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因倒果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法枝果索因，常常根底渐进，有希望成功，就表达证明过程而论，因此，在实际解题时常常把分析发和综合发结合起来证明，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条例的表述解答或证明过程，有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功【跟踪练习】【跟踪练习】1123如果不等式x a1 成立的充分非必要条件是x ,则实数 a 的取值范围是例例 3 3：若：若 a,b,ca,b,c

18、 为实数，且为实数，且 a=xa=x2-2y+-2y+求证：a,b,c 中至少有一个大于 0分析：如果直接从条件证明，方向不明，过程不可推测，较难，所以可以使用反证法。2,b=y2-2x+-2x+3,c=z2-2x+-2x+6典型例题典型例题例例 1 122已知 x+y+z=1，求证 x+y+z213【规律总结】【规律总结】1：当一个命题的结论是以“最多”，“最少”，“唯一”等形式或以否定形式出现是宜用反证法来证明。、；2：注意“至少一个”、“至多一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”。22分析：应用基本不等式 a+b2ab，结合不等式的性质同向不等式求和，

19、可证的此不等式【规律总结】【规律总结】综合法证明不等式时，以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证，因此，关键是找到与要证明结论相匹配，的基本不等式及其不等式的性质，第 4 页，共 5 页【跟踪练习】【跟踪练习】求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60 度沂水县第三中学高二数学组集体备课主备人：王培福记录人：袁江玉第四周2011314集思广益集思广益群策群力群策群力学法指导学法指导例 4：用数学归纳法证明 1-12+13-14+12n 1-12n=1n 1+1n 2+12n(nN)*学法指导学法指导数学归纳法为本节重点问题4.(2010 梅州一模)已知ABC的三边长为a,b,c

20、，内切圆半径为r（SABC表示 ABC 的面积），则SABC12体积VA BCDr(a b c)；类比这一结论有：若三棱锥A BCD的内切球半径为R，则三棱锥分析：按照数学归纳法的一般步骤，先让n=1，然后假设 n=k 成立，注意左右两边式子的变化。【规律总结】【规律总结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于：“先看项“，弄清等式两边的构成规律，：1：等式两边各有多少项，；2：项的多少与 n 的取值是否有关；3：由 n=k 到 n=k+1 时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项。【跟踪练习】【跟踪练习】已知数列an的第一项a1 5且Sn an(n 2,n N)(1)求a2,a3

21、,a4,并由此猜想an的表达式(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想。当堂达标当堂达标1（2008揭阳一模)设f0(x)cos x,f1(x)f0(x),f2(x)f1(x),fn1(x)fn(x),n N,则f2008(x)=（）A.sin xB.cos xC.sin xD.cos x2(2010 韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的的结论是_3.(2010 惠州调研二理)函数f(x)由下表定义：x52f(x)12若a0 5，13，把这个结论推广到空间正四面体，类似314345an1 f(an)，n 0,1,2,，则a2007 4规定时间内完成第 5 页，共 5 页5.(2008 届广东省

22、东莞市高三理科数学高考模拟题)在平面直角坐标系中，直线一般方程为Ax By C 0，圆心在(x0,y0)的圆的一般方程为222(x x0)(y y0)r；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为_,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程为_.6.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；7.已知数列an是等和数列，且a1 2，公和为5，那么a18的值为_这个数列的前n项和Sn的计算公式为_8.(2008 佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m的n

23、次方幂有如下分解方式：2222 1 33 1 3 54 1 3 5 73332 3 53 7 9 114 13 15 17 193*2根据上述分解规律，则5 1 3 5 7 9,若m(m N)的分解中最小的数是 73，则m的值为_9.(09 深圳九校联考)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有19 个蜂巢，按此规律，以f(n)表 示 第n幅 图 的 蜂 巢 总 数.则f(4)=_;f(n)=_10.在ABC中,若C 900,则cos2A cos2B 1,用类比的方法,猜想三

24、棱锥的类似性质,并证明你的猜想。111111.已知数列，.，.计算1 44 77 10（3n 2）（3n 1）根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明。S1，S2，S3，S4，2数列an中，an 1 an,a1=1且(an 1 an)2(an an 1)1 0（1）求a2,a3,a4的值；（2）猜想an的通项公式，并证明你的猜想。沂水县第三中学高二数学组集体备课主备人：王培福记录人：袁江玉第四周2011314集思广益集思广益群策群力群策群力课堂小结课堂小结1直接证明：2.2.综合法：3 3分析法：4.4.反证法：5.数学归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两个步骤一个结论。板书设计板书设计学生总结数基础梳理典型例题例 3练习学归纳法步骤例 1例 4例 2作业布置作业布置1311511171.1.观察下列式子1,1 22,1 222 可归纳出什么结论试证明。223423234一定要认真2.已知数列an，其通项公式为 an=2n-1，试猜想该数列的前 n 项和公式 Sn，并用数学归纳法证独立完成明你的结论。教学反思教学反思第 6 页，共 5 页