基本不等式(1).pdf

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1、高一下学期数学【理科学案】高一数学组3.4 基本不等式ab a b2(1)学习目标学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学习过程一、课前准备看书本 97、98 页填空复习 1：重要不等式：对于任意实数a,b，有a2b2_2ab，当且仅当_时，等号成立.复习 2：基本不等式：设a,b(0,)，则号.二、新课导学 学习探究探究 1：基本不等式ab a b的几何背景：2如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.你能在

2、这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？a b_ab，当且仅当_时，不等式取等2将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a，b 那么正方形的边长为_.这样，4 个直角三角形的面积的和是_，正方形的面积为_.由于 4 个直角三角形的面积_正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2b2 2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有_结论：结论：一般的，如果a,bR，我们有a2b2 2ab当且仅当a b时，等号成立.探究 2：你能给出它的证明吗？高一下学期数学【理科学案】高一数学组特别的，如

3、果a 0，b 0，我们用a、b分别代替a、b，可得a b 2 ab，a b通常我们把上式写作：ab(a0,b0)2a b问：由不等式的性质证明基本不等ab？2用分析法分析法证明：a b证明：要证ab(1)2只要证a b(2)要证（2），只要证a b _ 0（3）要证（3），只 要证(_ _)2 0（4）显然，（4）是成立的.当且仅当 a=b 时，（4）中的等号成立.a b3 3）理解基本不等式ab 的几何意义2探究：探究：课本第 98 页的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，AC=a，BC=b.过点 C 作垂直于 ABa b的弦 DE，连接 AD、BD.你能利用这个

4、图形得出基本不等式ab 的几何解释吗？2a b结论结论：基本不等式ab 几何意义是“半径不小于半弦半径不小于半弦”2评述：评述：a b1.如果把看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定2理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.a b为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还2可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.在数学中，我们称 典型例题例 1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？（2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个

5、矩形的长、宽各为多少时，高一下学期数学【理科学案】高一数学组菜园的面积最大，最大面积是多少?.动手试试练 1.x 0时，当x取什么值时，x 1的值最小？最小值是多少？x练 2.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？三、总结提升 学习小结在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号.知识拓展两个正数x,y11如果和x y为定值S时，则当x y时，积xy有最大值S2.42.如果积xy为定值P时，则当x y时，和x y有最小值2 P.学习评价高一下学期数学【理科学案】高一数学组 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好

6、C.一般D.较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：811.已知 x0，若 x的值最小，则 x 为（）.xA 81B 9C 3D162.若0 a 1，0 b 1且a b，则a b、2 ab、2ab、a2b2中最大的一个是（）.Aa bB2 abC2abDa2 b23.若实数 a，b，满足a b 2，则3a3b的最小值是（）.A18B6C2 3D3 2814.已知 x0，当 x=_时，x22的值最小，最小值是_.x5.做一个体积为 32m3，高为 2m的长方体纸盒，底面的长为_，宽为_时，用纸最少.课后作业1.（1）把 36 写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把 18 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？2.一段长为 30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？