基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析最全面(精华版).pdf

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1、学习必备基本不等式应用一基本不等式欢迎下载a2a,bR，就1.（1）如b2.(1)如a,b22ab(2)如a,bR，就abab2a2b22（当且仅当 ab 时取“=”）R，就*ab2(2)如a,b）R，就ab2 ab（当且仅当ab时取“=”*(3)如a,bR，就ab1xxaab2(当且仅当ab时取“=”）1x3.如x如x3.如ab0，就x=”）;如x0，就x2(当且仅当x1时取“2即x1x2 或x1x-2(当且仅当a2(当且仅当x1时取“=”）0，就x1b时取“=”）0，就ab2(当且仅当ab时取“=”）b如ab0，就abba(2)22 即aaa22b-2(当且仅当ab时取“=”）2 或aab

2、4.如a,bR，就abb（当且仅当2ab时取“=”）注：（1）当两个正数地积为定植时，可以求它们地与地最小值，当两个正数地与为定植时，可以求它们地积地最小值，正所谓“积定与最小，与定积最大”（2）求最值地条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值，比较大小，求变量地取值范畴，证明不等式，解决实际问题方面有广泛地应用应用一：求最值例 1：求以下函数地值域1（1）y3x 22x21（2）yxx13x 26值域为 6，+）2x21解：（1）y3x 222x22x2；（2）当 x0 时，yxxx11当 x0 时，yx=（x）2xx值域为（，22，+）解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知x111x=

3、2x54，求函数y4x21地最大值；4x51不为常数，所以对解：因4x2要进行拆，凑项，4x50，所以第一要“调整”符号，又(4 x2)4x551x,54x0，y4x244x5当且仅当54x54x154x32311当评注：此题需要调整项地符号，又要配凑项地系数，使其积为定值；技巧二：凑系数54x，即x1时，上式等号成立，故x1时，ymax1；第 1 页，共 5 页学习必备例 1.当解析：由时，求y知，但欢迎下载x(82x)地最大值；，利用基本不等式求最值，必需与为定值或积为定值，此题为两个式子留意到2 x(82x)积地形式，其与不为定值；8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可；当，即

4、 x2 时取等号当 x2 时，yx(82x)地最大值为8；评注：此题无法直接运用基本不等式求解，变式：设0但凑系数后可得到与为定值，从而可利用基本不等式求最大值；x32，求函数y4x(32x)地最大值；2解：0 x3232x32x2x0y4x(32x)2 2x(32x)223430,时等号成立；292当且仅当2 x：分别技巧三例 3.求y32x,即xx27x10 x1(x1)地值域；x1）地项，再将其分别；解析一：此题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（当,即时,y2（x1)4x11 时取“”号）；59（当且仅当x：换元技巧四解析二：此题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1

5、，化简原式在分别求最值；y当(t1)2）+10t7(t1=t25t4t2 tt4t4t5,即 t=时,y59（当 t=2 即 x1 时取“”号）；评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值；即化为ymg(x)Ag(x)B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负地形式，然后运用基本不等式来求最值；f(x)xax地单调性；技巧五：留意：在应用最值定理求最值时，如遇等号取不到地情形，应结合函数例：求函数yx2x解：令25地值域；4x22x24t(t2)，就y1t54x241x2x1(t2)tt4因t0,t1tt1，但t在区间解得t1不在区间2,，故等号不

6、成立，考虑单调性；由于yt11,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y52；所以，所求函数地值域为5,2；第 2 页，共 5 页学习必备练习求以下函数地最小值，并求取得最小值时，（1）y欢迎下载x 地值.x2113x1,(x0)（2）y2x,x3(3)y2sin x,x(0,)x3xsin x2已知0条件求最值x1，求函数yx(1 x)地最大值.；30 x23，求函数yx(2 3x)地最大值.1.如实数满意ab2，就3a3地最小值为b.分析：“与”到“积”为一个缩小地过程，而且解：3 与 3都为正当abab33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，bab3a32b3a323a bb6b

7、1时，33时等号成立，由ab2及3a3得ab1即当a2，求3a3地最小值为6b变式：如log4xlog4y11xy地最小值.并求 x,y 地值；技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要留意取等号地条件地一样性，否就就会出错；2：已知x0,y0，且19xy1，求xy地最小值；19xy2 xy12故xyminxy919x0,y0，且1，xy错解：xy错因：解法中两次连用基本不等式，在xy2912；xy2 xy等号成立条件为xy，在1xy9等号成立2xy条件为1x9y即y9 x,取等号地条件地不一样，产生错误；因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件为解题地必要步骤，而且为检验转换为

8、否有误地一种方法；正解：x0,y0,19xy1，xyxy19xyy9xxy1061016当且仅当yx9xy时，上式等号成立，又19xy1，可得x4,y12时，xymin16；1地最小值y变式：（1）如x,yR且2xy1，求1x(2)已知a,b,x,yR且ax2 2by2 21，求xy地最小值y y2 2技巧七，已知 x x，y y为正实数，且x x 1 1，求 x x1 1y y地最大值.2 2分析：因条件与结论分别为二次与一次，故采纳公式2a2bab；2第 3 页，共 5 页学习必备2欢迎下载1y222同时仍应化简下面将 x，22前面地系数为11y中y，x1yx22 x1y2221y2222

9、2分别看成两个因式：1y222221y22)x32224x1y22(x即 x1y2 x21y2223421 1技巧八：已知a a，b b为正实数，2b2bababa a3030，求函数y y地最小值.abab分析：这为一个二元函数地最值问题，通常有两个途径，性或基本不等式求解，对此题来说，这种途径为可行地；地途径进行；302b法一：a，b12 b 30b302babb1bb122一为通过消元，转化为一元函数问题，再用单调二为直接用基本不等式，对此题来说，因已知条件中既有与地形式，又有积地形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式由 a0得，0b152t 34t31161

10、6令 tb+1，1t16，ab 2（t）34t2ttt ab 18 y118当且仅当t4，即 b3，a6 时，等号成立；30 ab22 ab16t8t法二：由已知得：30aba2b a2b22 ab令 uab2就 u 22 u300，52 u321ab32，ab18，y18点评：此题考查不等式式ab式ab2ab（a,bR）地应用，不等式地解法及运算才能；如何由已知不等a,bR）动身求得ab地范畴，a2b30（关键为查找到ab 与 ab之间地关系，由此想到不等ab2ab（a,bR），这样将已知条件转换为含ab地不等式，进而解ab地范畴.得变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 地最

11、小值；2.如直角三角形周长为1，求它地面积最大值；技巧九，取平方5，已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数W3x 2y 地最值.解法一：如利用算术平均与平方平均之间地不等关系，3x 2y222aba2b，此题很简洁2222（3x）（2y）3x 2y 2 5解法二：条件与结论均为与地形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积地形式，再向“与为定值”条件靠拢；3x2y23x 2y 1023x 2y 10(3x )(2y210(3x2y)20W0，W)W20 2 55地最大值；1变式:求函数y2x152x(x)22解析：留意到2x1与2x地与为定值；22y2(2x1又y2552x)42

12、(2 x 1)(52x)4(2 x 1)(52x)80，所以0y22第 4 页，共 5 页学习必备当且仅当2x欢迎下载故ymax1=52x，即x32时取等号；2 2；评注：此题将解析式两边平方构造出“与为定值”，为利用基本不等式制造了条件；总之，我们利用基本不等式求最值时，肯定要留意“一正二定三相等”，同时仍要留意一些变形技巧，积极制造条件利用基本不等式；应用二：利用基本不等式证明不等式b,c为两两不相等地实数，求证：1已知a,a2b1a2c2abbcca1）正数 a，b，c 满意 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc例 6：已知 a，b，c分析：不等式右边数字1a11aabcaR

13、，且abc1；求证：11b11c182”连乘，又8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2bc，可由此变形入手；a解：a，b，cR，abc1；1a11aabca2 bca；同理1b12 acb112 ab；，cc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1a11b11c12 bc 2 ac 2 ababc8；当且仅当abc13时取等号；应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知x0,y0且19xy1，求使不等式xym恒成立地实数m地取值范畴；解：令xyk,x0,y0,19xy1，xy9x9ykxky1.10ky9xkxky1110k23k；k16，m,16应用四：均值定理在比较大小中地应用：例：如ab1,Plg a lg b,Qab1)，就P,Q,R地大小关系为(lg alg b),Rlg(22.分析：ab1lg a0,lg b0lg b)lg a lg bpRQP；Q12（lgaabRlg()lgab21lg abQ2第 5 页，共 5 页