第4讲 基本不等式.pdf

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1、第 4 讲基本不等式学生用书 P114ab1基本不等式 ab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR R)ba(2)2(a，b 同号)abab(3)ab2(a，bR R)a2b2ab2(4)22(a，bR R)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数ab设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为：2两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy

2、 有最小值是 2 p(简记：积定和最小)p2(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)4判断正误(正确的打“”，错误的打“”)1(1)函数 yx 的最小值是 2.()x(2)函数 f(x)cos x40，的最小值等于 4.()，x2cos x2xy(3)“x0 且 y0”是“2”的充要条件()yx1(4)若 a0，则 a32的最小值为 2 a.()a1 1/2020(5)不等式 a2b22ab 与ab2 ab有相同的成立条件()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(教材习题改编)函数 f(x

3、)x1x的值域为()A2，2B.2，)C(，22，)DR R解析：选 C.当 x0 时，x1x1x2x2.当 x0.x1x2（x）1（x）2.所以 x1x2.所以 f(x)x1x的值域为(，22，)故选 C.(教材习题改编)设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为(A80B.77C81D82解析：选 C.18xy2 xy，所以 xy9，即 xy81.若 x1，则 x4x1的最小值为_解析：x44x1x1x11415.当且仅当 x14x1，即 x3 时等号成立答案：5若实数 x，y 满足 xy1，则 x22y2的最小值为_解析：因为 xy1，所以 y1x，所以 x22y2x22x22x

4、22x22 2.即 x22y2的最小值为 2 2.答案：2 22 2/2020)若 f(x)x1(x2)在 xa 处取得最小值，则 a_x211解析：f(x)x(x2)2x2x2211（x2）24，当且仅当 x2，x2x2即 x3 时，“”成立，所以 a3.答案：3利用基本不等式求最值(高频考点)学生用书 P114利用基本不等式求最值是高考考查的重点，很少单独命题，常与函数的最值、导数、解析几何等综合考查，主要命题角度有：(1)通过配凑法利用基本不等式求最值；(2)通过常数代换法利用基本不等式求最值；(3)通过消元法利用基本不等式求最值典例引领角度一通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知 0

5、 x1，则 x(43x)取得最大值时 x 的值为_51(2)已知 x1)的最小值为_x1113x（43x）24【解析】(1)x(43x)(3x)(43x)3，332当且仅当 3x43x，2即 x 时，取等号35(2)因为 x0，4则 f(x)4x211(54x)3231.4x554x3 3/20201当且仅当 54x，54x即 x1 时，等号成立故 f(x)4x2x22(3)yx1（x22x1）（2x2）3x1（x1）22（x1）3x13(x1)22 32.x13当且仅当(x1)，（x1）即 x 31 时，等号成立2【答案】(1)(2)1(3)2 323角度二通过常数代换法利用基本不等式求最值

6、11已知 a0，b0，ab1，则 的最小值为_ab【解析】因为 ab1，ba1111(ab)222所以 ababab当且仅当 ab 时，“”成立【答案】41111的最小值1.若本例条件不变，求ab1111解：abb a224.a b1的最大值为 1.4x5abab11abba2a 2b4 4/2020ba52ab549.1当且仅当 ab 时，取等号2112若将本例条件改为 a2b3，如何求解 的最小值ab解：因为 a2b3，12所以a b1.3311111212a2ba b 12所以 abab33333b3a当且仅当 a 2b 时，取等号角度三通过消元法利用基本不等式求最值已知 x0，y0，x

7、3yxy9，则 x3y 的最小值为_【解析】法一：由已知得 x3y9xy，又因为 x0，y0，所以 x3y2 3xy，a 2b2 21.3b 3a3x3y2所以 3xy，2当且仅当 x3y 时，即 x3，y1 时取等号，(x3y)212(x3y)1080.令 x3yt，则 t0 且 t212t1080，得 t6 即 x3y6.法二：由 x3yxy9，93y得 x，1y93y93y3y（1y）所以 x3y3y1y1y5 5/202093y23（1y）26（1y）121y1y123(1y)621y1266.即 x3y 的最小值为 6.【答案】6(1)利用基本不等式求最值的两种思路利用基本不等式解决

8、条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值(2)条件最值的求法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解注意(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用

9、基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致通关练习821已知 x0，y0 且 xy1，则 的最小值为_xy解析：因为 x0，y0，且 xy1，8282(xy)所以 xyxy6 6/2020123（1y）61y8y2x10102xy8y2x当且仅当，xy即 x2y 时等号成立，8y 2x18，xy2182所以当 x，y时，有最小值 18.33xy答案：182若对x1，不等式 x11a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_x111解析：因为函数 g(x)x1 在1，)上单调递增，所以函数 g(x)x

10、1x1x112 在1，)上单调递增，所以函数 g(x)在1，)上的最小值为 g(1)，因此对x12111，.不等式 x1a 恒成立，所以 ag(x)最小值，故实数 a 的取值范围是22x11，答案：23若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值为_13解析：由 x3y5xy 可得1，5y5x13所以 3x4y(3x4y)5y5x943x12y13123x12y1 5(当且仅当，即 x1，y时，等号成立)，555y5x555y5x2所以 3x4y 的最小值是 5.答案：5利用基本不等式解决实际问题学生用书 P115典例引领某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产品

11、的年销量(即该厂的年k产量)x 万件与年促销费用 m(m0)万元满足 x3(k 为常数)如果不搞促销活动，那m1么该产品的年销量只能是 1 万件已知 2018 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.57 7/2020倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？【解】(1)由题意知，当 m0 时，x1(万件)，2所以 13kk2，所以 x3，m1816x每件产品的

12、销售价格为 1.5(元)，x816x所以 2018 年的利润 y1.5x816xmx16m1（m1）29(m0)16(2)因为 m0 时，(m1)2 168，m1所以 y82921，16当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元)m1故该厂家 2018 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元利用基本不等式解决实际问题的3 个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解通关练习经市场调查，某旅游城市在过去

13、的一个月内(以 30 天计)，第t 天(1t30，tN N*)的旅1游人数 f(t)(万人)近似地满足 f(t)4，而人均消费 g(t)(元)近似地满足 g(t)120|t20|.t(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间 t(1t30，tN N*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值解：(1)W(t)f(t)g(t)8 8/202014(120|t20|)t4014tt，1405594t，t1001t20.200)经过圆 x2y22y50 的圆心，则 的bc最小值是()A9C4B.8D2Sn8(2)设等差数列an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1d1，则的最小值

14、是an_【解析】(1)圆 x2y22y50 化成标准方程，得 x2(y1)26，所以圆心为 C(0，1)因为直线 axbyc10 经过圆心 C，9 9/2020所以 a0b1c10，即 bc1.4141因此 (bc)bcbc4cb 5.bc因为 b，c0，4cb所以2bc4c b4.b c当且仅当 b2c，且 bc1，2141即 b，c时，取得最小值 9.33bcn（1n）(2)ana1(n1)dn，Sn，2n（1n）8Sn82116所以(n1)ann2n122169n1 2，n当且仅当 n4 时取等号Sn89所以的最小值是.an29【答案】(1)A(2)2角度二求参数值或最值范围a(1)已知

15、函数 f(x)4x(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_xab(2)不等式 x2x0，a0，a所以 f(x)4x2xa4x4 a，xa当且仅当 4x，即 4x2a 时，f(x)取得最小值又因为 f(x)在 x3 时取得最小值，x1010/2020所以 a43236.ab(2)根据题意，由于不等式 x2x 对任意 a，b(0，)恒成立，baab则 x2xba，minab因为 2baa b2，b a当且仅当 ab 时等号成立，所以 x2x2，求解此一元二次不等式可知2x0)，解析：选 B.(xy)xyxy当且仅当 y ax 时取等号，1a的最小值为(a1)2，所以(xy)xy于是(a1)2

16、9 恒成立所以 a4.2已知正数 x，y 满足 x2 2xy(xy)恒成立，则实数 的最小值为_x2 xy解析：依题意得 x2 2xyx(x2y)2(xy)，即2(当且仅当 x2y 时取xyx2 2xyx2 2xy等号)，即的最大值为 2.又，因此有 2，即 的最小值为 2.xyxy1111/2020答案：2基本不等式转化的功能基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点基本不等式的应用技巧(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式(2)有些题

17、目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式 常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等a2b2(3)对于基本不等式还要掌握公式的逆用和变形，例如a b 2ab逆用就是ab；222ab ab(a0，b2a bababab0)逆用就是ab(a0，b0)变形有ab，ab2222a2b2(a0，b0)等，同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等2应用基本不等式解题时应注意3 点(1)利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”，忽视哪一个都可能致误(2)连续使用基本不等式求

18、最值要求每次等号成立的条件一致m(3)对使用基本不等式时等号取不到的情况，应考虑使用函数yx(m0)的单调性x2222学生用书 P295(单独成册)2x1当 x0 时，函数 f(x)2有()x 1A最小值 1C最小值 2B.最大值 1D最大值 222解析：选 B.f(x)1.11x2xxx1当且仅当 x，x0 即 x1 时取等号所以 f(x)有最大值 1.x1212/20202下列不等式一定成立的是()1x2lg x(x0)Alg41Bsin x2(xk，kZ Z)sin xCx212|x|(xR R)1D.21(xR R)x 11211x2lg x；解析：选 C.对选项 A，当 x0 时，x

19、 xx20，所以 lg442对选项 B，当 sin x0 时显然不成立；对选项 C，x21|x|212|x|，一定成立；对选项 D，因为 x211，1所以 0b1，P lg alg b，Q(lg alg b)，Rlg，则()22ARPQCPQRB.QPRDPRb1，所以 lg alg b0，(lg alg b)lg alg b，即 QP.因为2abab1 ab，所以 lglg ab(lg alg b)Q，222所以 RQ，所以 PQ0，b0，a2b3，则 的最小值为_ab12解析：由 a2b3 得 a b1，33221211a b所以 ab33ab4a4b4 233b3a3a 4b8.3b 3

20、a33当且仅当 a2b 时取等号28答案：397已知函数yx4(x1)，当xa 时，y 取得最小值 b，则ab_x199解析：yx4x15，x1x1因为 x1，所以 x10，所以由基本不等式，9得 yx152x19当且仅当 x1，x1即(x1)29，即 x13，x2 时取等号，所以 a2，b1，ab3.1414/202090.x19（x1）51，x1答案：38若 2x2y1，则 xy 的取值范围是_解析：因为 2x2y2 2x2y21所以 2xy，得 xy2.4答案：(，2389(1)当 x 时，求函数 yx的最大值；22x3(2)设 0 x2，求函数 y x（42x）的最大值183解：(1)

21、y(2x3)22x322xy(当且仅当 2x2y时等号成立)，所以12xy，232x8322.32x3当 x0，232x8所以2232x32x84，232x32x81当且仅当，即 x时取等号2232x35于是 y4，225故函数的最大值为.2(2)因为 0 x0，所以 yx2xx（42x）2x（2x）2 2，当且仅当 x2x，即 x2x（42x）的最大值为 2.1 时取等号，所以当 x1 时，函数 y10已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求(1)xy 的最小值；(2)xy 的最小值解：(1)由 2x8yxy0，82得 1，xy1515/2020又 x0，y0，82则 1 2xy得 xy64

22、，当且仅当 x16，y4 时，等号成立所以 xy 的最小值为 64.82(2)由 2x8yxy0，得 1，xy82则 xy(xy)xy2x8y10102yx2x 8y18.yx8 28.x yxy当且仅当 x12 且 y6 时等号成立，所以 xy 的最小值为 18.1已知直线 axby60(a0，b0)被圆 x2y22x4y0 截得的弦长为 2 5，则ab 的最大值是()A9C49B.25D2解析：选 B.将圆的一般方程化为标准方程为(x1)2(y2)25，圆心坐标为(1，2)，9半径 r 5，故直线过圆心，即 a2b6，所以 a2b62 a2b，可得 ab，当且仅29当 a2b3 时等号成立

23、，即 ab 的最大值是，故选 B.2142若正数 a，b 满足 ab2，则的最小值是()a1b1A1C914解析：选 B.a1b19B.4D1614（a1）（b1）a1b141616/2020b14（a1）1144a1b11524b1 4（a1）a1b19，4b14（a1）15当且仅当，即 a，b时取等号，故选 B.33a1b13设 a，b0，ab5，则 a1 b3的最大值为_解析：设a1m，b3n，则 m，n 均大于零，因为 m2n22mn，所以 2(m2n2)(mn)2，所以 mn 2m2n2，所以a1b3 2a1b33 2，当且仅当a1b3，73即 a，b时“”成立，22所以所求最大值为

24、 3 2.答案：3 23xy204 设 x，y 满足约束条件xy0，若目标函数 zaxby(a1，b2)的最大值为 5，x0，y0则14的最小值为_a1b23xy20 xy0解析：由约束条件xy0，作出可行域如图，联立，解得 A(1，1)3xy20 x0，y0az由 zaxby(a1，b2)，得 yx，bb1717/2020由图可知，zmaxab5.可得 a1b22.141141b24（a1）所以(a1b2)25a1b22a1b2a1b21522b24（a1）9.2a1b2510当且仅当 b2a 时等号成立，并且 ab5，a1，b2 即 a，b时上式等号成立33149所以的最小值为.2a1b2

25、9答案：25已知 x0，y0，且 2x5y20.求：(1)ulg xlg y 的最大值；11(2)的最小值xy解：(1)因为 x0，y0，所以由基本不等式，得 2x5y2 10 xy.因为 2x5y20，所以 2 10 xy20，xy10，当且仅当 2x5y 时，等号成立2x5y20，x5，因此有解得2x5y，y2，此时 xy 有最大值 10.所以 ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以当 x5，y2 时，ulg xlg y 有最大值 1.1818/2020(2)因为 x0，y0，11112x5y所以 xyxy205y2x17xy20120725y 2x72 1020.xy5y2x当

26、且仅当时，等号成立xy10 1020 x3，2x5y20，由5y2x解得204 10 xy，y.372 1011所以 的最小值为.xy206某商人投资 81 万元建一间工作室，第一年装修费为1 万元，以后每年增加 2 万元，把工作室出租，每年收入租金30 万元(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：年平均利润最大时，以 46 万元出售该工作室；纯利润总和最大时，以10 万元出售该工作室问该商人会选择哪种方案？解：(1)设第 n 年获取利润为 y 万元n 年付出的装修费构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，n

27、年付出的装修费之和为n（n1）n12n2，又投资 81 万元，n 年共收入租金 30n 万元，2所以利润 y30nn281(nN N*)令 y0，即 30nn2810，所以 n230n810，解得 3n27(nN N*)，所以从第 4 年开始获取纯利润30n（81n2）8181(2)方案：年平均利润t30n30nn302nn8112(当且仅当n，即 n9 时取等号)，n1919/202081nn所以年平均利润最大时，以 46 万元出售该工作室共获利润12946154(万元)方案：纯利润总和 y30nn281(n15)2144(nN N*)，当 n15 时，纯利润总和最大，为 144 万元，所以纯利润总和最大时，以 10 万元出售该工作室共获利润14410154(万元)，两种方案盈利相同，但方案时间比较短，所以选择方案.2020/2020