基本不等式运用中几种常见的解题方法.pdf

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1、基本不等式运用方法专题类型一：【函数法】x231、则y 的最小值为2x 2x232、则y 的最小值为2x 23、y sin2x 类型二：【换元法】2的最小值为2sin xx2 2x 21、若 4 x 1，则有最_值_2x 2x2 y22、已知x y 0，且xy 1，则的最小值为x y23、若a,b,c 0且a 2ab 2ac 4bc 12，则abc的最小值是4、若 a,b,c0 且 a(a+b+c)+bc=423,则 2a+b+c 的最小值为类型三：【换双元法】1、若x,yR，且x 2y 1，2、若a,bR，且a b 3，则1 a 1b的最大值是11的最小值为1 x1 y3、若x,yR，且x

2、y 1，x 11y 的最大值为224、已知a0，b0，ab1，则a 11b 的范围是_221类型四：【拆项凑项搭配法】11、当 x1 时，不等式 xa 恒成立，则实数 a 的取值范围是x117)（x 1）的最大值是2、函数y log1(xx1223、（2010 年四川）设a b c 0，则2a 1110ac25c2的最小值是aba(ab)类型五：【等量替换构造基本型】1、已知x 0,y 0，且x y 1，则122、设 x，y 都是正数，且 3，则 2xy 的最小值为xy3、已知 x0，y0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是4、已知a,b,c都是正数，且a2bc1,则5、若 x，y

3、R，且 2x8yxy0，则 xy 的最小值为6、若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是117、函数 ya1 x(a0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10(mn0)上，则 的最小值mn为_8、已知函数y loga(x2)1,(a 0,a 1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx ny 1上，其中249的最小值为xy111的最小值是abcmn 0，则31的最大值为mn9、若直线ax by 2 0(a 0,b 0)和函数y logc(x2)2(c 0且c 1)的图象恒过同一个定点，则11的最小值为ab10、已知两个正变量x,y满足x y 4,则使不等式

4、类型六：【分离变量法】1、若不等式x2 xy a2x y对一切正数x,y恒成立，则正数a的最小值为2、若x,yR,且 x 23、若不等式x ax 10对一切x0，成立，则a的最小值为1x4 m恒成立的实数 m 的取值范围是yy a x y恒成立，则 a 的最小值是124、已知不等式a4b18 m m类型七：【放缩法】1、若正实数 x，y满足xy 2x y 6，则 xy 的最小值是2、若正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是_23、设a b 0，a 2a 2 b对任意正数a,b都成立，则实数m的取值范围是_16的最小值是b(a b)a3b a2b21964、已知：ab0,求的最小

5、值是2ab b3类型八：【代入消元法】y21、已知 x，y，z(0，)，且满足 x2y3z0，则的最小值为xz2、设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xy212取得最大值时，的最大值为zxyz第 1 节基本不等式运用方法专题（课后作业）1、【函数法】若x,y(0,)，且x y 1，xy 1的最小值为xy1x1)的最小值为y2、【换元法】已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z=(x)(y 3、【换双元法】若正数 a，b 满足ab 1，则3、【拆项凑项搭配法】设 2a b 0，则4a 2ab的最大值是.a1b111的最小值是b24a2b24、【等量替换构造基本型】若实数 x

6、,y 满足111，则x22y2的取值范围是22xyx15、【等量替换构造基本型】已知函数f(x)a直线mx ny 1 0上，若m 0,n 0，则3(a 0且a 1)的反函数的图象恒过定点 A，点 A 在12的最小值为mn226、【等量替换构造基本型】若直线2ax by 2 0(a 0,b 0)被圆x y 2x 4y 1 0截得的弦长为 4，则7、【分离变量法】若不等式x 2 2xya(x+y)对一切正数 x、y 恒成立，则正数 a 的最小值为414的最小值是ab8、【分离变量法】对一切实数 x，不等式 x2+a|x|+10 恒成立，则实数 a 的取值范围是10、【放缩法】已知 xy0，求x 2

7、4的最小值是y(x y)基本不等式运用方法专题（参考答案）类型一：【函数法】x233 21、则y 的最小值为2x22【方法】相关函数图象性质2、则y 3 2x23的最小值为22x 23、y sin2x 2的最小值为32sin x类型二：【换元法】x2 2x 21、若 4 x 1，则有最_大_值_12x 2x2 y22、已知x y 0，且xy 1，则的最小值为2 2x y【解】一元化思想23、若a,b,c 0且a 2ab 2ac 4bc 12，则abc的最小值是2 34、若 a,b,c0 且 a(a+b+c)+bc=423,则 2a+b+c 的最小值为2325类型三：【换双元法】1、若x,yR，

8、且x 2y 1，311的最小值为221 x1 y【解】令m 1 x,n 1 y,则m2y 211111113(m2n)()21 x1 ymn2mn2当且仅当 ab1，a(ab)1 时等号成立，如取 a2,b2满足条件。2102、若a,bR，且a b 3，则1 a 1b的最大值是3、若x,yR，且x y 1，x 11y 的最大值为2224、已知a0，b0，ab1，则a 类型四：【拆项凑项搭配法】11、当 x1 时，不等式 xa 恒成立，则实数 a 的取值范围是(，3x12、函数y3、（2010 年四川）设a b c 0，则2a【解】2a 22116 2b 的范围是_,2222 log1(x217

9、)（x 1）的最大值是3x11110ac25c2的最小值是 4aba(ab)111110ac25c2(a5c)2a2abababa(ab)aba(ab)11a(ab)0224aba(ab)2(a5c)ab当且仅当 a5c0,ab1,a(ab)1 时等号成立如取 a2,b62,c2满足条件.25类型五：【等量替换构造基本型】1、已知x 0,y 0，且x y 1，则49的最小值为25xy1282、设 x，y 都是正数，且 3，则 2xy 的最小值为xy3121 121121.2xy(2xy)【解】3，1(2xy)xy3xy3xyy4x114 42xy33y4xy 4x448333.当且仅当xy，即

10、 y2x 时，取等号x y12248又 3，x，y.2xy 的最小值为.xy3333、已知 x0，y0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是 4 x 2y，【解】因为 x0，y0，所以x 2y 8 x(2y)822整理得x 2y 4x 2y32 0即x 2y 4x 2y 8 0，又x 2y 0，x 2y 42等号当且仅当x 2y 2时成立，故选择答案 B4、已知a,b,c都是正数，且a2bc1,则【解】(a2bc)(当且仅a c 111的最小值是.6+42abc1112baca2bc)4()()()64 2abcabaccb2b当时取等号5、若 x，yR，且 2x8yxy0，则 xy

11、 的最小值为186、若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是513【解】x3y5xy，1，5y5x133x9412y 133x4y(3x4y)1(3x4y)()25y5x5y555x53x12y1当且仅当，即 x1，y 时等号成立5y5x2117、函数 ya1 x(a0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10(mn0)上，则 的最小值mn为_4【解】方法一ya1 x(a0，a1)的图象恒过定点 A(1,1)，11mn11点 A 在直线 mxny10 上，mn1，mnmnmnmn21当且仅当 mn 时，取等号273x 12y5，5y 5x4，2方法二1111

12、nm(mn)()2 2 2mnmnmnn m 4，m nmn1，111当且仅当nm即 mn 时取等号mnmin4.2，mn8、已知函数y loga(x2)1,(a 0,a 1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线mx ny 1上，其中mn 0，则31的最大值为16mn9、若直线ax by 2 0(a 0,b 0)和函数y logc(x2)2(c 0且c 1)的图象恒过同一个定点，则113的最小值为2ab2【提示】因为函数ylogc(x2)2(c0且c 1)的图象恒过一个定点(1,2)，所以a 2b 2 0,1111113ba3即a b 1，又因为a 0,b 0，所以(a b)()2,当且仅当a

13、 2b2ab2ab2a2b2时，取等号10、已知两个正变量x,y满足x y 4,则使不等式1x4 m恒成立的实数 m 的取值范围是ym 94类型六：【分离变量法】1、若不等式x2 xy a2x y对一切正数x,y恒成立，则正数a的最小值为12、若x,yR,且 x y a x y恒成立，则 a 的最小值是2x ym2n2mnmn,得2，即【解】由2，故 a 的最小值是2。2222x ym n23、若不等式x ax 10对一切x0，成立，则a的最小值为1252【解】分离变量法；函数最值。4、已知不等式a4b18 m m_2,3_【方法】分离变量，基本不等式放缩一元化：a b 222a 2 b对任意

14、正数a,b都成立，则实数m的取值范围是1(ab)2；分离变量法281(a 2 b)218(a)(2 b)182 6t a 2 b,a 2 b(a 2 b)22类型七：【放缩法】1、若正实数 x，y满足xy 2x y 6，则 xy 的最小值是18【解】因为 x0，y0，所以xy 2x y 6 2 2xy 6，xy2 2xy 60，解得xy 3 2或 xy （舍）2等号当且仅当 2x=y=6 时成立，故 xy 的最小值为 18。2、若正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是_9，)【解】由 a，bR，由基本不等式得 ab2 ab，则 abab32 ab3，即 ab2 ab30(ab3

15、)(ab1)0 ab 3，ab9.23、设a b 0，a 16的最小值是16b(a b)【解】基本不等式放缩消元由1616642，此时等号成立条件是b a b即a 2b，所以b a b2ab(a b)()2646416 a22 2 64 16。此时等号成立条件是，a22即a 2 2，所以此时b 2。a2ab(a b)aa3b a2b21964、已知：ab0,求的最小值是 56.2ab b【方法】均值不等式，放缩消元a3ba2b2196a2b(a b)1961962ab0,a-b0,故.a b(a b)b(a b)abb22b a ba而 b(ab)=b(ab)=(当且仅当 b=a-b 即 2b

16、=a 时取等号).24221964196a219642a 故 b(a-b)有最大值.故原式=a2+a2+2=56.22b(a b)a4a9(当且仅当 a2=1964,2b=a,即 a=27,b 7时取等号).2a故原式的最小值为 56.类型八：【代入消元法】y21、已知 x，y，z(0，)，且满足 x2y3z0，则的最小值为3xz【解】代入消元法x3zy2x29z26xzx29z23 2 9x2z2333由题意知 y，所以 32xz4xz4xz24xz222(当且仅当2、【代入消元法】设正实数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当【方法】替换消元；基本不等式由 x23xy4y2z0 得

17、x29z2时等号成立)，所以y2的最小值为 3.xzxy212取得最大值时，的最大值为1zxyzxyxy1212x4yzx 3xy4y3yx第 1 节基本不等式运用方法专题（课后作业）1、【函数法】若x,y(0,)，且x y 1，xy 171的最小值为4xy1x125)的最小值为y42、【换元法】已知两正数 x,y 满足 x+y=1,则 z=(x)(y 111yx1(x y)22xy2=xy【解】z=(x)(y)=xy xy2，令 t=xy,则xyxyxyxyxyxy0 t xy (x y211212)，由f(t)t 在0,上单调递减,故当 t=时f(t)t 有最小值244t4t33251,所

18、以当x y 时 z 有最小值。4423、【换双元法】若正数 a，b 满足ab 1，则2ab的最大值是.3a1b11 0【方法】分离常量法化简11ab)，(a1)(b1)3=2(a 1b1a1b11111(a1)(b1)()4a1b1a1b13、【拆项凑项搭配法】设 2a b 0，则4a 211的最小值是4222b4a b4、【等量替换构造基本型】若实数 x,y 满足11221x 2y，则的取值范围是32 2,)22xy5、【等量替换构造基本型】已知函数f(x)ax13(a 0且a 1)的反函数的图象恒过定点 A，点 A 在直线mx ny 1 0上，若m 0,n 0，则12的最小值为8mn226

19、、【等量替换构造基本型】若直线2ax by 2 0(a 0,b 0)被圆x y 2x 4y 1 0截得的弦长为 4，则14的最小值是9ab7、【分离变量法】若不等式x 2 2xya(x+y)对一切正数 x、y 恒成立，则正数 a 的最小值为2解x 0,y 0 x y 0,原不等式可化为 ax 2 2xy恒成立。x y又x 2 2xyx x 2y2x 2y 2a 2x yx yx y8、【分离变量法】对一切实数 x，不等式 x2+a|x|+10 恒成立，则实数 a 的取值范围是2，+)【解】分离变量法；均值不等式|x|1 a|x|4的最小值是8y(x y)10、【放缩法】已知 xy0，求x 21 1