推荐-基本不等式的证明1 精品.pdf

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1、基本不等式的证明（基本不等式的证明（1 1）开课教师江苏省太仓高级中学徐彩娥开课时间4 月 6 日上午第三课开课地点江苏省太仓高级中学高一（4）班教学目标：1、探索基本不等式ab体会证明不等式的ab(a 0,b 0)以及它的证明过程；2基本方法；2、理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件；3、渗透数形结合和等价化归的数学思想4、通过学生实验、观察、归纳、抽象、概括，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。5、能应用基本不等式解决一些简单的问题，培养学生学习数学的兴趣和学以致用的能力；教学重点：基本不等式的探索过程和证明教学难点：等号成立条件教学过程：一、创设问题情景：

2、把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为 b。问题问题 1 1、如何合理的表示物体的质量、如何合理的表示物体的质量？二、学生活动1、简单的做法是把两次称得物体质量“平均”得M=ab。（猜想，合理吗？）22、根据杠杆原理，设物体质量为M，天平的两臂长分别是l1,l2则Ml1 al2 M2 ab M abMl2bl1ab，比较科学、合理，显然M 3、概念引入两个正数a,b，我们把ab称为

3、a、b 的算术平均数，2ab称为几何平均数。问题问题 2 2、两个正数、两个正数 a a、b b 的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？学生讨论：通过取一些具体的数据进行实验（借助计算机）猜想ab 问题问题 3 3：如何证明：如何证明ab ab2ab？（a 0,b 0）2三、建构数学基本不等式的证明揭示课题求证：a 0,b 0,ab 证法一：（作差法）所以ab211ab22 ab=(ab2 ab)（(a）2 ab （b）)2221(a b)2 02abab，当且仅当a b时，等号成立。2ab 解释“当且仅当“的含义解释“当且仅当“的

4、含义ab，另一方面是2abab仅当a b时取等号，即ab a b。综合a b ab 22从两方面理解：一方面是当a b时取等号，即a b证法二：（分析法）a 0,b 0，要证明abab，2只要证明ab 2 ab只要证明a2 ab b 02只要证明(a b)02(a b)0成立abab（当且仅当a b时，等号成立。）2这种“执果索因”的证明方法称为“分析法”。书写格式必须是：（1）要证，即证（或用表示即证）（2）上述各步均可逆证法三：我们可将上面的证法“倒过来”写，即2(a b)0 a2 ab b 0 ab 2 ababab2（当且仅当a b时，等号成立。）这种由因索果的证明方法称之为“综合法”

5、或“公式法”说明：比较法（比差、比商法）说明：比较法（比差、比商法）、分析法、综合法是证明不等式的基本方法。、分析法、综合法是证明不等式的基本方法。所以两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。即：如果 a,b 是正数，那么ab ab(当且仅当a b时取 号).2问题问题 4 4、当a 0,b 0时，这个不等式仍然成立吗？强调：正数 a、b 的范围可以扩充到非负数。把不等式ab ab(a 0,b 0)称为基本不等式。2分析基本不等式（1）公式使用条件（2）等号成立条件（3）可以直接用、变形用。问题问题 5 5：你能给出基本不等式几何解释吗？你能给出基本不等式几何解释吗？

6、ababa ab b基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”此不等式又一证明方法以长为 a+b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC=a,CB=b过点 C 作垂直王新敞奎屯新疆2于直径 AB 的弦 DD,那么CD CACB，即CD aba ba bab，其中当且仅当点 C这个圆的半径为，显然，它不小于 CD，即22与圆心重合；即 a=b 时，等号成立四、数学应用例 1判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请证明。（1）a,bR,a b 2ab221 2；aba（3）ab 0,2；ab22（4）sin x 2 22sin x1（5）a 1,a3a1x23*（6）22x 1（2）a（备用）例 2、证明a2b2ab（1）aR,bR,222ab（2）a 0,b 0,ab aba2b2结论：a,bR,2ab2ab211ab平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数五、回顾反思1、今天这节课学了哪些主要知识？2、在解决问题时用了哪些方法？六、拓展延伸这个基本不等式可否推广到“n 个非负数”的情形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可查阅有关资料。若ai 0i 1,2,七、作业略n，则na1a2ana1a2nann 1,nN