第三讲基本不等式(解析版).pdf

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1、第 03 讲基本不等式一、考情分析ab1.掌握均值不等式 ab2(a，b0)和基本不等式的性质；2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系二、知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cd

2、acbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN N，n1)；nn(6)可开方：ab0 a b(nN N，n2).ab2.均值不等式：ab2(1)均值不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号.ab(3)其中2称为正数 a，b 的算术平均数，ab称为正数 a，b 的几何平均数.3.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR R)，当且仅当 ab 时取等号.ab(a，bR R)，当且仅当 ab 时取等号.(2)ab 2 4.利用均值不等式求最值2已知 x0，y0，则(1)如果积 xy

3、是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定和最小).s2(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是4(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式 b24ac二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集000有两相异实根 x1，有两相等实根x1bx2(x1x2)x22ax|xx2或xx1x|x1xx2bx|x2a没有实数根R7.(xa)(xb)0 或

4、(xa)(xb)0(xa)(xb)0(0(b0，m0，则a(bm0).ama am解集abx|xbx|axbx|xax|bx0，且 aba0，b0).4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.1.绝对值不等式|x|a(a0)的解集为(，a)(a，)；|x|0)的解集为(a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.5.解不等式 ax2bxc0(0(0，(1)不等式 ax bxc0 对任意实数 x 恒成立或c00.2ab0，a0，(2)不等式 ax bxc0 对任意实数 x 恒成立或c00.2三、经典例题考点一不等式的性质【典例 1-1】（2021广东高三其他模拟）已知ac，bd

5、，则下列结论正确的是（）AabcdBabcdCabcdadbcD|ab|cd|【答案】C【详解】若a 2,c 1,b 1,d 2,此时abcd 2，ab cd 3，ab cd 1.A、B、D错误.因为b d，所以bd 0，又因为a c，所以a(bd)c(bd)abcd ad bc，C 正确.故选 C.【典例 1-2】（2021广东佛山市高三其他模拟）若2tan x2tan x tan x，则a,b,c的大小关系是（）x(0,1),a,b,c 2xxx Aa b cBb a cCb c aDc a b【答案】D【详解】因为x(0,1)，所以取x 4，2tantan44，c 4则a 44 4 2，

6、显然c a，故可排除选项 A 和 B；2tan2224444又b tantan c，故可排除选项 C.24444【跟踪训练 1】（多选）（2021全国高三其他模拟）已知a，b，c 为正数，且满足abc=1，则下列结论正确的是（）A(a b)c 2B111 a2b2c2abca2C若 0c1，则(a+1)(b+1)0)的单调性.考点三一元二次不等式的解法2【例 3-1】（2021全国高三其他模拟）已知p：a11；q：xR,ax ax1 0，则 p 是 q2的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为a11 2 a 0，又因为 xR，ax2ax10

7、，当a 0时，1 0满足题意；2a 0当a 0时，即4a0，综上4a2a4a1 00；所以p q，但p q，故 p 是 q 的充分不必要条件.故选：A.【典例 3-2】（2021全国高三其他模拟）已知A x y x23,xR，B y y x22x1,xR，则AB（）A2,33,B2,3C3,D2,3【答案】A【详解】由x23 0，得x 3或x 3，故A ,33,，2由y x22x1x12，得y 2故B 2,，所以AB2,33,，故选:A 2x 7x4 0,B x ()【跟踪训练 1】（2021陕西高三其他模拟（理）已知集合Ax则A212x1，8B（）1 3 x Bx212 3 x Ax 4 x

8、 3DxCx【答案】B【详解】解2x27x4 0得4 x 1 x 3211，即A x|4 x，22解()12x1得x3，即B x|x 3，81212于是有AB x|4 x x|x 3x|3 x，所以AB x|3 x.故选：B12【跟踪训练 2】（多选）（2021河北衡水中学高三三模）已知集合A xR x 3x18 0，2B xR x2axa227 0，则下列命题中正确的是（）A若A B，则a 3B若A B，则a 3C若B，则a 6或a 6D若a 3，则AB x 3 x 6【答案】ABC【详解】22由己知得：A x 3 x 6，令g(x)x ax a 27a 3A：若A B，即3,6是方程g(x

9、)0的两个根，则2，得a 3，正确；a 27 182g(3)a 3a18 0B：若A B，则，解得a 3，正确；2g(6)a 6a9 0C：当B 时，a 4 a 27 0，解得a6或a 6，正确；D：当a 3时，有B xR x 3x18 0 x|6 x 3，所以AB x 3 x 3，错误；故选：ABC.【跟踪训练 3】（2021宁波市北仑中学高三其他模拟）已知正实数x,y满足222(x 3y 1)(2x y 1)1，则x y的最小值是_【答案】3 2 25【详解】由已知得x 0，y 0，则x3y 1 1，2x y 1 1，因为(x 3y 1)(2x y 1)1，所以x3y 1 0，2x y 1

10、 0，因此x y 1232332 2，x3y12x y1 2x3y 12x y 1555255522x3y12x 12510当且仅当(x3y 1)(2x y 1)，即，即时，等号成立；255y 13 22x y12510所以x y的最小值是3 2 2.5【跟踪训练 4】（2021全国高三二模）命题“xR，2x2mx90”为假命题，则实数m的取值范围是_.【答案】6 2,62【详解】若原命题为假命题，则其否定“xR，2x2mx90”为真命题.方法技巧1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格

11、运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a0 的情况转化为 a0 时的情形.3.在解决不等式 ax2bxc0(或0)对于一切 xR R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数 a 进行讨论，并研究当 a0 时是否满足题意.4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.5.当 0(a0)的解集为 R R 还是，要注意区别.6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨

12、论.四、课时作业1已知x 2,y 1,x2y14，则x y的最小值是（）A1B4C7D3 17【答案】C【详解】x 2,y 1,x2y14，x 4x y (x2)(y1)3 2(x2)(y1)3 7当且仅当时等号成立.y 3故选：C2 已知ABC是边长为 2 的等边三角形，其中M为BC边的中点，ABC的平分线交线段AM于点N，交AC于点D，且AM BN ab(其中a 0,b 0)，则12的最小值为（）abA32 2B【答案】A【详解】32 2D64 22C123由题意，建立如图所示平面直角坐标系：30,则A 0,3,B1,0,M0,0,N3，3AM 0,3,BN 1,所以3，则AM BN 1，

13、因为AM BN ab，所以ab 1，所以12 12b2ab 2aab332 32 2，ababababab 1当且仅当b2a，即a 2 1,b 22时，等号成立.ab故选；A.3函数y a3xx2y2a 0,a 1的图像恒过定点 A，若点A 在双曲线1m 0,n 0上，则mnm-n 的最大值为（）A6B-2C1D4【答案】D【详解】令3 x 0，解得x 3,y 1，所以A3,1，x2y2因为点 A 在双曲线1m 0,n 0上，mn所以911，mn所以mn mn9n m 919nm10102 4，mnmnmn 911mn当且仅当，即m 6,n 2时，等号成立，9nm mn所以 m-n 的最大值为

14、 4故选：D4已知函数f(x)(xa)(xb)x，其中0ab1，则下列不等式不成立的是（）Af(ab)【答案】B【详解】abBf(ab)abC2 a b f bD2 a b f a2fa a，fbb，且fa fb，函数fx是开口向上的抛物线，如图，0 a b 1，0 a ab b 1，且ab ab2ab是点C对应的函数值，一定大于f2设gx fxx xaxb，0 a b 1，0 a ab，即fab ab，故A正确；2ab b 1，即fab ab，即 B 不正确.fxxaxb x x2ab1xab，对称轴是x ab1，2abab111，b与对称轴间的距离是与对称轴间的距离是，a与对称轴间的距离是

15、2222ba11，22 abf那么比较与fa，f b的大小，即比较与自变量与对称轴间的距离，离对称轴越远，2函数值越大，即f故选：B5已知x，yR，且x y，则下列说法是正确的是（）xy1111ABexey eyexC 0Dx2 y2xy22 ab a b f a af，fb b，故 CD 正确.22【答案】C【详解】解：A：当x 2，y 3时，11，A 错误，xyB：设y exex，则函数为R上的增函数，x y，exex eyey，即exey eyex，B 错误.111 11C：y 为R上的减函数，x y，即 0，C 正确，22222D：当x 2，y 3时，x2 y2，D 错误.故选：C.6

16、已知 ab，cd，则下列关系式正确的是（）Aac+bdad+bcBac+bdbdDacb，cd，xxyxyac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)0，故 A 正确，B 错误；对于 C：当 b=0，c0 时，acb0，cd0 时，acbd，故 D 错误；故选：A.7若a b 0，c 0，则下列不等式中一定成立的是（）A1111Ba babbacc a b Cln(ba)0Dba【答案】D【详解】11ba，因为a b 0，abab11ba 0，所以，故 A 错误；所以ab0，ba 0，即abab对选项 A，对选项 B，a11 11ab1b abab，baabab因为a b 0，所以ab 0

17、，不能判断ab，1间的关系，故 B 不正确；对选项 C，因为ba 0，所以ln(ba)的范围为R，故 C 错误.对选项 D，因为a b 0，所以ab 0，0，baababa2b2因为 0，所以，babaab a b 又因为c 0，所以y x在0,为增函数，所以，故 D 正确.baccc故选：D.8如果a b,那么下列说法正确的是（）Aac bcBac2 bc2Cac bcDba 0【答案】D【详解】因为a b，不等式两边同时减去a得0 ba，D 正确，若c0，则 AB 错误，若c 0，C 错误故选：D9设a x22,b 2x,则a b（）A对 B错【答案】A【详解】ab x22x2 x11 0

18、 a b.故选：A10若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k 1，则f21与k 11大小关系一定是（）k 1Af11Bk 1k 111fk 1k 1Cf11Dk 1k 111fk 1k 1【答案】C【详解】f xlimx0fx f0且f(x)k 1，x0fx f0fx1 k 1，即 k 1.xx令x 1，得：k 11k1f1 k，k 1k 1k 1f1k1111f.，所以k 1k 1k 1k 1k 1故选：C11 已知集合A1,2，集合B满足A的解集为（）Ax|x|x 1或x Bx|1 x 2B 1,2，且B x|x axb 0，则bx2 ax 1 01212

19、Cx|x x1或x【答案】C【详解】因为集合B满足A11x|x 1D22B 1,2，且B x|x2axb 0，2所以a 3,b 2，所以2x 3x102x1x10，所以不等式的解集为x|x 1或x 故选：C1，212已知a 20202022，b 20212021，c 20222020，则a，b，c的大小关系为（）Ac a bBa c bCc b aDabc【答案】C【详解】ln2020lna2022ln 20202021，lnb2021ln2021ln20212022构造函数f(x)(x1)xln xln x(x e2)，f(x)，2x(x1)x1令g(x)(x1)xln x，则g(x)ln

20、x 0，g(x)在e2,)上单减，g(x)g(e2)1e2 0，2故f(x)0，所以f(x)在e,)上单减，ln2020lnaf(2020)20211 lna lnb a b，f(2020)f(2021)0lnbln2021f(2021)2022同理可得lnb lncb c，故a b c，故选：C.13已知F是抛物线C：y2 2pxp 0的焦点，直线l与抛物线C相交于P，Q两点，满足PFQ d2PQ，记线段的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（）PQ313D33A3B3C【答案】C【详解】解：设|PF|m,|QF|n，过点P，Q分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P,Q，则PP m

21、,QQ n，因为点A为线段PQ的中点，所以根据梯形中位线定理得点A到抛物线C的准线的距离为d 因为PFQ|PP|QQ2mn，22，3222所以在PFQ中，由余弦定理得|PQ|m n 2mncos2 m2n2mn，3d2(mn)2(mn)21224(m2n2mn)4所以|PQ|(mn)mn41mn，(mn)2又因为(mn)4mn，所以2mn1，当且仅当m n时等号成立，(mn)24d211d3.所以|PQ|2，故14(1)3PQ34所以d3.的最大值为PQ31的个214已知,是互不相同的锐角，则在sincos,sincos,sincos三个值中，大于数的最大值是（）A0B1C2D3【答案】C【详

22、解】sin2cos2法 1：由基本不等式有sincos，2sin2cos2sin2cos2同理sincos，sincos，22故sincossincossincos3，21.2故sincos,sincos,sincos不可能均大于取6，3，4，则sincos故三式中大于故选：C.116161,sincos,sincos，4242421的个数的最大值为 2，2法 2：不妨设，则cos cos cos,sin sin sin，由排列不等式可得：sincossincossincos sincossincossincos，而sincossincossincos sin故sincos,sincos,si

23、ncos不可能均大于取13sin2，221.26，3，4，则sincos故三式中大于故选：C.116161,sincos,sincos，4242421的个数的最大值为 2，215下列函数中最小值为4 的是（）Ay x 2x 4By sin x 24sin xCy 2x22xDy lnx【答案】C【详解】4lnx对于 A，y x22x4 x133，当且仅当x 1时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于 B，因为0 sinx 1，y sin x 24 2 4 4，当且仅当sinx 2时取等号，等号取sin x不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于 C，因为函数定义域为R，而2x 0，y 2 2x2x 2x4 2 4 4，当且仅当2x 2，x2即x 1时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于 D，y lnx4，函数定义域为0,1lnx1,，而lnxR且lnx 0，如当ln x 1，y 5，D 不符合题意