第14讲 基本不等式.pdf

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1、【高中新知识预习篇】第 14 讲基本不等式一、基本知识及其典型例题知识点一 基本不等式ab，当且仅当 ab 时，等号成立2ab2.基本不等式的意义：一般地，对于正数a，b，为 a，b 的算术平均数，ab为 a，b 的几何平均数.两21.基本不等式的概念：当 a，b 0，ab 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即 ab 3.基本不等式的常见推论:(1)(重要不等式)a，bR，有 a2b2 2ab，当且仅当 ab 时，等号成立ab.2ab2a2b2(2)ab()2(a、bR)；2ba(3)2(a，b 同号)；ab(4)a2b2c2 abbcca(a、b、cR).4.利用基本不等式证明不等式

2、(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.ab2a2b2【例 1】证明不等式:a，bR,ab()2,当且仅当 a=b 时取等号.2yx【变式 1】已知 x，y 都是正数.求证：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3;（3）已知 a，b，c 为任xy意的实数，求证：a2b2c

3、2abbcca.abab1.a2b22ab与 ab都是带有等号的不等式.“当且仅当时，取等号”这句话的含义是：当ab时，22ab ab；当 ab时，也有 ab.22.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.【例 2】(多选题)设 a0，b0，下列不等式中恒成立的有（）A.a21aB.(a)(b)4C.(ab)()4D.a296a.【变式 2】下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（）.Ax y 2 xC【例 3】已知a 0，b 0，若Bx212xDx1a1b1a1b112x 11 2x141，证明：ab 9。a

4、b1172 102x 5y 20 x 0,y 0.【变式 3】已知，且，求证xy201.利用基本不等式x yxy求最值的条件(一正二定三相等)：2(1)x，y 必须是正数；(2)求积 xy 的最大值时，应看和 xy 是否为定值；求和 xy 的最小值时，应看积 xy 是否为定值；(3)等号成立的条件是否满足.2.求最值模型(积定和最小，和定积最大)已知 x0，y0，(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当x y时，xy 有最小值2 p.2(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当x y时，xy 有最大值s.4【例 4】(1)已知 0 x(a-b)2二、多选题7下列函数的最小值为4的有（）A

5、y x Cy 242xBy xDy 92xx210 x2 61 x 1x 1x 18若正实数 a，b 满足ab 1，则下列选项中正确的是（）Aab 有最大值14Ba b有最小值2Da2b2有最小值C【11有最小值 4ab229小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a b)，其全程的平均速度为v，则（）Aa v abBv Dv abCab v ab22abab10.几何原本中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB上取一点C，使得AC a,BC b，过点C作CD AB交以AB为直径，O为圆心

6、的半圆周于点D，连接OD.下面不能由OD CD直接证明的不等式为（）Aab 22ab(a 0，b 0)2Bab 2ab(a 0，b 0)abCa b 2ab(a 0，b 0)三、填空题aba2b2D(a 0，b 0)2211.已知x0，y0，x2y 20，则xy的最大值是_.12.若实数x，y满足xy 1，则x23y2的最小值为_.13设a,b 0,a b 5,则a 1+b+3的最大值为 _其容积为4800m3，深度为3m.如果池底每1m2的造价为 150 元，14.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，池壁每1m2的造价为 120 元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为_m.四解答题15.

7、某建筑公司用 8 000 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12 层，每层 4 000 平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)3 00050 x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？购地总费用(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)建筑总面积416.(1)若 x0，求函数 yx 的最小值，并求此时 x 的值；x3(2)设 0 x2，求 x的最小值；x219(4)已知 x0，y0，且 1，求 xy 的最小值.xy17徐州、苏州两地相距500 千米，一辆货车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超过100 千米/时已知货车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比，比例系数为 0.01；固定部分为 a 元(a0)(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？