几类基本不等式及其应用.pdf

《几类基本不等式及其应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几类基本不等式及其应用.pdf（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、几类基本不等式及其应用1 前言基本不等式及其应用是高等数学中非常重要的一个内容，也是高等数学中困难度非常高，学生难以掌握的内容.在高等数学中，基本不等式也是考察学生掌握情况的重要内容.学生在学习高等数学过程中，掌握并能够正确的运用基本不等式，将有助于将复杂的数学问题简单化，还能够在各类实际问题中得到广泛的应用，并且不等式还是学习、研究现代科学和技术的基本工具之一.在现阶段关于不等式的研究，向着更加高深、复杂，并且多方向化的方向发展，而探究不等式及其应用对不等式的理论研究有着重要的意义.不等式的应用，需要综合应用多种数学知识和思维方式，而通过不等式的学习和应用，对学生的数学思维和逻辑思维能力发展

2、均有着重要的作用.本研究通过探究几类不同基本不等式及其应用，能够为高数不等式教学提供参考和借鉴.2 几类基本不等式及其应用分析2.1 基本不等式2.1.1 基本不等式定义及公式基本不等式是数学中最基本、最基础的不等式，是任何两个正数的算数平均值，不小于其几何平均值，公式为：a2+b22ab当且仅当两数值相等时，即a=b，等号成立.基本不等式还有以下变形：a bab或a+b2ab，基本不等式的成立条件为：a0，b0，当且仅2当a=b时等号成立.ab此外还有拓展基本不等式：ab，其中a，b22.1.2 基本不等式的应用2.基本不等式可以用于比较实数大小或证明不等式、求最值、求取值范围等.例 1证明

3、不等式.已知a0，b0，a+b=1，证明a11+b2.22在对此不等式进行证明时，可以将不等式左边的a+1 11a和1b，然后运用基本不等式定理进行证明.2211和b+转换为22证明根据基本不等式定理，可以得出a同理11=1a221a12=3+a，即a13+a，422422b因此11=1b221b12=3+b，即b13+b，422422a113a3b+b+2，224242即得到不等式a例 2求最值.11+b2.22分别求当x0，x0 时，y=x 4x16=xx+20+646420+2x=36，xx64时，即x=8 时，取等号.xx 4x16取最小值，为 36.因此当x=8 时，y=x当且仅当x

4、=当x0，640，x(x)+(y=x+20+64)2x64 x=16，x6464=20(x)+()2016=4，xx64时，即x=8，等号成立.xx 4x16取最大值，为 4.因此当x=8 时，y=x当且仅当x=例 3求取值范围.设x0，y0，不等式x+ya x y恒成立，则求a的取值范围.在对此题进行求解时，要注重将已知条件进行转换，转换为ax yx y，然后求x yx y的最大值，即可求得a的取值范围.解由题目中可以得知ax yx y恒成立，并且x0，y0，则a0，则a必然大于或等于x yx y的最大值，根据基本不等式定理，得出2x yx y2 xy2 xy=1+2x yx yx yx y

5、x y的最大值为 2，当且仅当x=y时，等号成立，即的最大值x yx y2则为2.因此此题中a的取值范围为2，+).2.2 均值不等式2.2.1 均值不等式定义及公式均值不等式又可以称为平均值不等式、平均不等式等，是数学中重要的不等式之一.均值不等式是指调和平均数不超过几何平均数、几何平均数不超过算术平均值、算术平均值不超过平方平均值，即公式为：a a anaa2anna1a2an121111nna1a2ann222若各数值均为正实数，当且仅当各数值相等时，即a1=a2=2.2.2 均值不等式的应用均值不等式主要应用在极限的证明、求极限等.例 4证明重要极限limnn=an，等号成立.11 e

6、的存在性.nn1证明先对1进行单调递增证明.n令a1=a2=an=1+1，an1=1，则由基本不等式得出nn111111111.111nnn1nnnn111 1 1即n11 1,因此，11n1nn1nn.1得出数列1呈单调递增.n1再证明数列1存在上限.n11首先假设1的上限为1nk11则需要先证明1k 时）.k,ak2=n1k1=an=1，则由均值不等式得出：n1k=.k 1 nkn1n 1k 1kn1k 1.1nk k因此可以得出，k 1k1 n n1n11，即1nn111，可以得出11nnnnn111，因此1k 时，随机取一个正整数 k，M=1kn1，均是1的上限，并且前文nnk1111

7、已证明1呈单调递增，这就使得当 nk 时，11nnk成立.不等式仍然111因此1（n=1,2）存在11nnk1任选一个 k 值，M=1knk1nnnk1（k 为正整数）.这就说明了1均能够成为1的上限.n1从而说明了1单调递增，并且存在界限.n11在单调有界定理下，1存在极限.设定极限值为e，即lim1 e.nnn1通过上面的证明，可以通过均值不等式证明1n为e，具体证明过程如下：n1nn存在极限，且极限同样1记xn=1nn1，则n2nn1n1n111 n n n1=1n2xnn1n1 n1=n2n2=1xn1由此证明xn呈单调递减，并且 1xnx14，xn为收敛，极限为e.11在上面的证明中

8、，1e1nnnn1，两边分别取对数，不等式同样成立，即111ln1.n1nn1+2由此可以证明，an=1+例 5求极限limnn+ln为收敛，其极限值为 Euler 数.n.a1 a2 an，n解均值不等式na1a2an则nn n 112 n n22=+1，n=n n 11nnnn2个2，得出limnnn1n因此 0nn1n=1.2.3 绝对值不等式2.3.1 绝对值不等式定义及公式在不等式的应用中，在涉及到重量、面积、体积、数学对象的大小、绝对值等情况时，需要通过非负数进行度量，这就出现了绝对值不等式.公式为：a baba+b当且仅当ab0 时，a b=ab；ab0 时，ab=a+b.a表示

9、数轴上的点a到原点之间的距离叫做数a的绝对值.其中ab=a b，性质.2.3.2 绝对值不等式的应用绝对值不等式主要应用于最值的求解、求取值范围等.例 6最值的求解.1设函数fx=x+c(b1，cxb)，函数gx=fx在区间1,1上aa=（b0），aa，是绝对值不等式的重要bb的最大值为M，若 Mk 对任意的b、c恒成立，求 k 的最大值.解将函数fx进行化简，得出fx=xb+若1+b+cxb1M 1c M f 11bb2，则，即，M 11cM f11b这里利用了fx在区间1,1为单调，根据绝对值不等式定理，得出2M111112c1c=2c+1c121b1b1b1b1b4，3因此当b0,n0)

10、可以将c消除，得出2(m+n)Mnnmm2mn，1b1b要想使等号成立，必须满足f1=f1=fb1，可以得出b=2，c=-1，1M 1c1b1c将b=2，c=1 带入到M 1中，可以求得M的最小值为21bM 2bc1，因此 k 的最大值为21.例 7求取值范围.设函数fx=x axb，a,b，若对任意实数a,b，总存在x01,9，使得不等式fx0M成立，求实数M的取值范围.解令t=x，则gt=-at2+tb，fx=gt，其中t1,3根据题目设必要条件为M f1M 1ab 即为M f 9M 39ab M f 4M 24ab运用绝对值不等式，将参数a,b将消除，则设mg1+ng3+kg2mg1ng

11、3kg2再运用待定系数法，将m、n、k值求出，则为m 5m9n4k 0得出一组解为n 3mnk 0k 8因此16M51ab+339ab+824ab51ab339ab824ab=21则得出M.8117即M的最大值为，此时a=，b=.8481本题解得M的取值范围为(,.82.4 泰勒公式2.4.1 泰勒公式定义及公式泰勒公式的定义：设函数fx在点x0处的某开区间（a，b）内具有n+1阶导数，则在该邻域内非x0处的任意点xa,b，在x0和x之间存在一个，使得：f x0 x x02+fx=fx0+f xx x0+2！fnx0 x x0n+n！fn1x x0n1n1！定理 1设函数fx在a存在 n 阶导

12、数，则xUa，存在f axa+faxa2+fx=fa+1！2！fnaxan+Rnx+n！其中Rnx=oxanx a是比xan的高阶无穷小，此式称为函数fx在a的泰勒展开公式.当a=0 时，此式则变为f 0f 02x+x+fx=f0+1！2！fn0nx+o xn+n！此式称为麦克劳林公式.定理 2设二元函数fx,y在点Pa,b的邻域G内具有n+1 阶连续的偏导数，则Qah,bkG，有1 1 hkfa,b+fah,bk=fa,b+hkf a,b2！y1！yxx1 1 hkf a,bhk+xxn！yn1！y 其中符号xilnn12+fah,bk，01 ilfyfa,b表示偏导数xiyl在Pa,b的值

13、，m miimihxkyfa,b=Cmh kxiymifa,b.i0m上式称为二次函数fx,y在点Pa,b的泰勒公式.在此式中令a=0，b=0，可得二次函数fx,y的麦克劳林公式：1 1 hkf0,0+fh,k=f0,0+hkf 0,02！xy1！yx1 1 hkf 0,0hk+n1n！y！yxxnn12+fh,k，01.2.4.2 泰勒公式的应用泰勒公式在高等数学中的应用，主要体现在估计函数界、求函数极限、近似计算、判断反常积分及级数敛散性.例 8估计函数界.设函数fx在0,1上有二阶导数，且有正常数A，B，使得fxA，B.2f xB.证明对于x0,1，有f x2A+在运用泰勒公式进行函数最

14、值的计算过程中，需要确定已知函数泰勒展开的位置，并且展开到哪阶导数最为合适.在此例题中，已知函数fx在0,1上存在二阶导数，且函数、二阶导函数均有最值，需要证明一阶导函数在0,1有最值，这就需要运用泰勒公式，将函数fx在x处展开到二阶，并将点 0 和 1 带入到展开时中，进行简单计算验证本题.证明泰勒公式中，f0=fx+f x0 x+f1=fx+f x1 x+f 0 x2，0,x，2f 1 x2，x,1，2两式进行相减，得f 1 x2+fx2，x,1，22B1 x2 x2，2f x=f1f0因为fxA，f xB，得出f x2A+而1 x2+x2在0,1内，且最大值为 1，因此可以得出f x2A

15、+B.2222设fx,y在x2+y21 上有连续的二阶导数，fxx+2fxy+fyyM.若f0，0=fx0，0=fy0，0=0，证明x2y21fx,ydxdy4M.此题考察的是对抽象函数二重积分不等式的证明.在不等式的左边，能够设想到积分绝对值与绝对值积分的相互关系，从而可以计算fx,y的值.在题目中222设fx,y在点(0,0)，运用泰勒公式展开到二阶，并且已知fxx+2fxy+fyyM，将fx,y的展开式进行处理，转化成为两个向量的乘积，并运用积分估值，将抽象函数二重积分转化为常见、熟悉的简单函数二重积分，既完成证明.证明fx,y在点(0,0)进行泰勒展开到二阶，得出1 fx,y=x yf

16、x,y，其中0,1，2xy2记 222u,v,w=x2,xy,y2fx,y，2则1ux22vxywy22fx,y=已知222+2fxy+fyyM，fxx所以u,并且2v,w=u22v2w2M，x,22xy,y2=x2+y2，因此可以得出u,即等同于2v,w x2,2xy,y2M(x2+y2)，fx,y从而得出12M(x2+y2)x2y21fx,ydxdy12Mx2y21x2 y2dxdy=4M.证明结束.例 9求函数极限.112 x计算极限lim123ln.xx2 xx0此题可以运用洛必达法和泰勒公式求解，若使用前者，则需要进行四次求导才能够计算出结果，计算量较为庞大，而运用泰勒公式，则运算过

17、程较为简单.解首先对算式进行变换：x2 xxx2=lnln=ln1ln1x2 x22121算式中12 x3lnx的分母为，运用函数y=ln1 x在0点的麦克劳林展开公式，3x2 xxx将ln1和ln1进行展开到三阶，22则有2 xx1 x1 xx1 x1 xln=+o x3+o x32 x222322223223 23=x+因此，13x+o x312 112 x11o x31 13o x31+23ln=1+23xx+3=1+3xx2 xx12xxx12 可以得出limx0112 x123ln=limxx2 xx01o x3112x3 11=.12本题解得limx0112 x11123ln=.x

18、2 x12x在运用泰勒公式进行分母或分子中含有xn这类极限求解题目时，要注意在limfx中，要运用泰勒公式，将非零因子项（乘或者除项）进行转换，再通x0过四则运算方式将极限值求解出来，不过在计算过程中，加减项不能代换.在进行这类题目的计算过程中，注意到这些原理有助于提高计算的准确度.sin x2 y2cos x2 y21计算极限lim.22x yx,y0,0在此极限计算中，设fx,y=sin x2 y2+cos x2 y21，由于fx,y在上存在任意连续偏导数，且x2 y2为该式的分母，这就需要运用麦克劳林公式，将fx,y在点(0,0)展开到二阶，这样容易得出极限值.解fxx,y=2xcos

19、x2 y22xsin x2 y2，fx0,0=0，fyx,y=2ycos x2 y22ysin x2 y2，fy0,0=0，fxxx,y=2cos x2 y24x2sin x2 y22sin x2 y24x2cos x2 y2，fxx0,0=2，fxyx,y=fyxx,y=4xysin x2 y24xycos x2 y2，fxy0,0=fyx0,0=0，fyyx,y=2cos x2 y24y2sin x2 y22sin x2 y24y2cos x2 y2，fyy0,0=2，即fx,y=x2 y2+R2x,y，其中R2x,y=-2x2 y2sin2x22y2+234cos2x22y2+3x2 y

20、2sin2x22y2cos2x22y2，(01)，3因此sin x2 y2cos x2 y21x2 y2 R2x2 y2=lim=1lim2222x yx yx,y0,0 x,y0,0本题解得sin x2 y2cos x2 y21=1.lim22x yx,y0,0例 10近似计算.求方程x2sin1=2x501 的近似值，精确至 0.001.x1，就不能采用初等函数方法进行计算.此题要求计算近x11似值，就需要将sin用初等函数即多项式代替，即通过泰勒公式将sin展开.xx在此算式中含有sin方程右边是x的一次式，因此在对方程左边进行泰勒公式展开时，也要转换成x的一次式，故将其在原点进行麦克劳

21、林公式展开至一阶.运用泰勒公式对方程进行近似值计算，可以依据题目中精确度要求展开至合适的阶数.解根据泰勒公式sint=t1令 t=，得xsint2t(0500，0，2x500所以sin11x=0.001，x501=22 x1000即当x=501 时，满足题目中的假设条件解.求1.083.96的近似值，精确至104.在近似值计算题中，对计算的精确度要求较低时，可以采用线性进逼公式fx,yfx0,y0+fxx0,y0(xx0)+fyx0,y0(yy0)，即可以运用全微分近似代替全增量；当对计算的精确度要求较高时，则可以采用高阶泰勒公式进行计算，并根据题目中对精确度的具体要求，来确定泰勒展开式的阶数

22、.解令fx,y=xy，通过计算二元函数在点(1,4)的泰勒展开式，则xy=1+4(x1)+6x1+(x1)(y4)+4x1+237x12(y4)+2x14+13x13(y4)+1x12y 42+32将x=1.08，y=3.96 带入到上式中，得出1.083.96=1+(40.08)+(60.0820.080.04)+(40.08370.08220.04)+0.0841310.0830.04+0.0820.042+32=1+0.32+0.0352+0.001152+0.000034026+由于余项R3=0.0000340260，x因此10sin x1dx=x13sin x1 dx收敛，且绝对收敛

23、.0 x11313sin xsin x1dx，当x1 时，其次对无穷积分11 时，an为收敛.2.5 柯西不等式2.5.1 柯西不等式定义及公式柯西（Cauchy）不等式是高等数学中的基础不等式，灵活的运用柯西不等式能够解决数学上的多种问题，而柯西不等式的推广公式，又可以解决一些难度较大的问题.在柯西不等式中，设有两组实数a1，a2，an以及b1，b2，bn，均为任意实数，则不等式：2nn2n2aibiaibi成立.i1i1i1当且仅当各数值相等时，即a1a2=b1b2=an时，等号成立.bn柯西不等式在数学不同领域内的应用，具有着不同的形式，在微积分中，柯西不等式又被称为可以柯西-施瓦茨不等

24、式，公式为：bfxgxdxbf2xdxbg2xdx.aaa在线性代数中，柯西不等式又被称为柯西-布涅柯斯基不等式，公式为：向量，则有，2当且仅当存在不全为零的常数k1，k2，使k1+k2=0 时，等式成立.在概率论中，柯西不等式被称为柯西-施瓦茨矩不等式，公式为：,，若E2、E2存在，则有EE2E2，2当且仅当存在不全为零的常数k1，k2，使 P(k1+k2=0)=1 时，等式成立.2.5.2 柯西不等式的应用在柯西不等式的应用中，可以在参数取值范围的计算、等式证明、极值相关问题、点面距离计算等，均能够得到应用.例 12参数取值范围的计算.已知x,y,zR，x+y+z=xyz且不等式111+恒

25、成立，求x yy zx z的取值范围.解根据均值不等式定理和柯西不等式定理可以得出111111+x yy zx z2 xy2 yz2 xz1zxy111=2x y zx y zx y z11212122zxyx y zx y zx y z3，+）之间.212=32因此可以得出的取值范围在例 13等式证明.sin4acos4asin8acos8a11已知a,bR，且+=，证明3+3=.3a bababab证明根据已知条件可以得出sin4acos4a（a+b）（+）=1ab当且仅当asin2aa=abb时，等号成立，即=，sin2acos2acos2ab由上两式解得ab，cos2a=a ba bs

26、in2a=因此sin8acos8a1 a1 b1+=+=.333a3b3aabbabab44所以通过柯西不等式，证明sin8acos8a1+=.a3b3ab3例 14极值相关问题.如x1+x2+a2x22+2+xn=1，证明当且仅当a1x1=a2x2=ai0，111a1an=anxn时，fx=a1x12+anxn的最小值为.证明x1+x2+xn=1a1a1x1+1ananxn1 11 2222aaa1x1a2x2anxnn112即111a1an22a1x1+a2x2+anxn2，当且仅当a1x1=1a1=anxn时，即a1x1=a2x2=1an2=anxn，等式成立，fx=a1x12+a2x2

27、2+anxn取最小值111a1an.因此在x1+x2+22a1x1+a2x2+xn=1，ai0 条件下，当且仅当a1x1=a2x2=2=anxn时，fx=+anxn的最小值为111a1an.例 15点面距离计算.运用柯西不等式，推到空间的一点Px0,y0,z0，到平面：Ax+By+Cz+D=0 的距离公式为d=Ax0 By0Cz0 DA B C222.解设P1x1,y1,z1是平面：Ax+B y+Cz+D=0 上的任一点，则Ax1+By1+Cz1+D=0，则PP1=平面的距离.x0 x12y0 y12z0 z12的最小值，就是点P到由柯西不等式，得出A2 B2C2PP1Ax0 x1By0 y1

28、Cz0z1=Ax0By0Cz0D即PP1Ax0 By0Cz0 DA B C222，当且仅当PP1垂直于平面时，取等号，因此 Px0,y0,z0到平面：AxByCzD=0 的距离公式为d=2.6 施瓦茨不等式2.6.1 施瓦茨不等式定义及公式Ax0 By0Cz0 DA B C222.施瓦茨不等式是对于在a,b上的任意连续函数fx，gx，则有不等式为：bfxgxdxbf2xdxbg2xdx.aaa若fx=0，或者fx与gx有正比时，等号成立.2.6.2 施瓦茨不等式的应用在施瓦茨不等式的应用中，可以在实数域、微积分、多元函数等，均能够得到应用.例 16若级数a1ii1m2，a2ii1m，ai1mm

29、i都收敛，则对nN有不等式na1ia2i.amia1ii1i1mma2ii1mamii1m，证明对于定义在a,b上的任意连续函数fjx（j=1,2,nn,n）有nbbn.fx dxajafjxdxj1j1证明已知函数fjx定义在区间a,b上，且连续（jN），将a,b区间进行m等分，则每个小区间长度为x，取每个小区间的左端点i(i=1,2,则有,m)，fxdx=limfffxbajnm1i2i1ij1ni1令bafjxidx=limnnf，j=1,2,mnjii1,nna1ni=f1i，a2i=f2i，nnn，ani=fni，n则级数可以得出ai1n1i，a，n2ii1n，ani都收敛，i1nn

30、0a1ia2iania1ia2ii1i1i1即nnanii1nnnf1if2i fnif1if2nii1i1i1nnfnnii1n因此nf1if2i fnixf1ixf2nixi1i1i1nfnnixi1由此可以得出nbnbn，因此原命题成立.afjxdxafjxdxj1j1n例 17设fx,y是区域D内的非负可积函数，且fx,ydA，其中A是D区域D的面积，证明DAfx,y1dd.22D1 fx,y1 fx,y证明因为 1+f2x,y2fx,y，则有Afx,y1=，dd221 fx,y2DD由于fx,y0，1+fx,y1，则有1d1 fx,ydd，1 fx,yDDD即21 fx,yD1dA2

31、D1 fx,yddfx,ydDD=A2A，2即有Afx,y1dd，原命题成立.22D1 fx,y1 fx,yD例 18证明不等式 0 xyeD122x y2 Ab2a2d2c2eeeedxdy412a x b其中区域 D：，A表示区域D的面积.c y d证明设fx,y=xye因此有122x y2，则fx,y0，x,y D，Dxye122x y2dxdy0，根据施瓦茨不等式，可以得出Dxye122x y2x2y2，dxdydxdyxyedxdyDD12因为xyeDx2y2dxdy=xe dxyeydy=acbx2d2221b2a2(e-e)(ed-ec),4dxdy=A,D122x y2则有 0

32、 xyeD Ab2a2d2c2dxdyeeee，不等式成立.4123 结论在高等数学中，不等式是重要的组成部分之一.作为高等数学中的基本不等式，基本不等式、均值不等式、绝对值不等式、泰勒公式、柯西不等式、施瓦茨不等式，有助于解决高等数学中各种问题，这些不等式可以应用于不同的问题，而合理的运用不等式，将有助于各类高等数学问题的解决，并且灵活应用，可以更好的渗透不等式中的数学思想.随着高等数学的发展，现代数学已成为一门庞大的科学体系，不等式成为了现代数学的重要工具之一，而随着现代数学与其他学科的融合发展，不等式将不断渗透到自然科学、动力系统、工程技术等多个领域，逐渐成为理解各种信息的有力工具.参考

33、文献1同济大学数学系.高等数学M.北京：高等教育出版社，2015.2陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它J.湖北民族学院学报（自然科学版），2014,15(2):88-90.3冉凯.均值不等式在数学分析中的应用J.青海师专学报，2017,10(4):35-38.4夏静.高等数学中不等式证明的常用方法J.赤峰学院学报(自然科学版)，2015,31(10):19-20.5邱克娥，彭长文.泰勒公式在高等数学解题中的应用举例J.贵州师范学院学报，2017,12(6):76-79.6许雁琴.泰勒公式及其应用J.河南机电高等专科学校学报，2015,9(6):11-15.7黄卫.柯西不等式证明及应用J.赤峰学院学报(自然科学版)，2014,12(4):19-20.8俸卫.Cauchy 不等式的变式及应用探析J.科技信息，2015,2(7):51-52.9高波.高等数学中函数不等式的证明J.教育教学论坛，2016,7(30):212-213.10孙晓莉.柯西-施瓦茨不等式的推广与应用D.合肥工业大学，2013.