高中数学 第一章 基本不等式和证明不等式的基本方法 1.4 基本不等式实际应用举例 应用基本不等式的几点注意.pdf

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1、1.41.4 基本不等式实际应用举例基本不等式实际应用举例应用基本不等式的几点注意应用基本不等式的几点注意应用基本不等式求最值是最值求解的重要方法之一，但应用基本不等式求函数最值时往往容易忽略“一正、二定、三相等”这三个条件而导致出现错误，本文将举例给以说明.一、没有注意“正数”的条件例 1、求函数y 12x错误解法：y 12x3的最大值。x3312xxx2x33 2 2x 2 6xxy 12 6，故y有最大值12 6错 误 原 因：abab成 立 的 前 提 条 件 是a 0,b 0,如 果a 0,b 0则2ab ab。这是没有注意“正数”的条件。2正确解法：当x 0时，y 12x3312x

2、12 6，xx故ymax12 6当x 0时，y 12x故ymin12 6二、没有注意“相等”的条件例 2、求函数y 312x2x312 6xx25x 422的最小值。x错误解法：Q y 41x 42x24 1x 42 2,ymin 2.2错误原因：上述解法忽略了等号成立的条件，因为方程x 4 致错误的结果。这是没有注意“相等”的条件。正确解法：y 1x 42无解，从而导x24 4x243x24 435.22当x 0时，两次放缩的等号均成立。5ymin.2kk 0型的式子，满足两数之积为常数，但不能x111使等号成立。如求：y xx 3的最小值，虽然有x 2.但当x,x 1时取xxx注意：由于定

3、义域的限制，有些x“=”号不在其定义域3,之内，不能用定理。这时利用函数单调性来解：fxxk内是,k,0内是减函数，在k,kk 0，在0,k x增函数。三、没有注意和为“常数”的条件例 3、求函数y x11x 0的最小值。xx1x错误解法：根据ab 2 aba,b 0,知1111y x 2x 2.fx的最小值是 2。1xx1xxxxQ x 0,x错误原因：111 2 x 2,而使得y取最小值 2。当且仅当xxxx11xx,即x11,无实数解。这是没有注意和为“常数”的条件。x111 tQ x 0,x 2 x 2,t 2,xxx正确解法：设x则y t 在2,上递增，当t 2时，ymin四、没有注

4、意积为“常数”的条件1t5.2b21,，求a 1b2的最大值。例 4、设a 0,b 0,a 22224a 1b11错误解法：a 1b22a 1b22221212b21 213=a a a 1a 0时取等号。22222422224a 1b4a 1b1122错误原因：a 1b 2a 1b 中，并非定值。2222这是没有注意和或积为“常数”的条件。b21b2321 a,正确解法：a 0,b 0,a 222221b2a 21b22a 1b 2a22233 222.242b2a a 21,当时，即2a 1bb 23,3 24时，a 1b2最大值为。4221212)+(b+)的最小值。ab例 5、已知：a

5、0,b0,a+b=1,求(a+错误解法:(a+1121222112)+(b+)=a+b+2+2+42ab+44ab+4=8abababab(a+1212)+(b+)的最小值是 8；ab22错解原因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b 2ab，第一次等号成立的条件是a=b=11,第二次等号成立的条件ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8 不2ab22是最小值。1111222+4=(a+b)+(+)+4=(a+b)-2ab+2222abab11221a b2111(+)-+4=(1-2ab)(1+22)+4 由 ab()=得：1-2ab1-=,abab2422a b111251且2216，1+2217原式17+4=(当且仅当 a=b=时，等号成立)222a ba b121225(a+)+(b+)的最小值是。ab2正确解法：原式=a+b+注意在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内.