2013版高中全程复习方略配套课件：选修4-5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式.ppt

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1、 第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式三年三年3 3考考 高考指数高考指数:1.1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证法、放缩法等.2.2.理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题一些简单问题;3.3.理解会用数学归纳法证明贝努利不等式理解会用数学归纳法证明贝努利不等式(1+x)(1+x)n n1+nx(x1+nx(x-1,x0,n-1,x0,n为大于为大于1 1的自然数的自然数).).了解当了解当n n为大于为大于1

2、1的实数时贝努利的实数时贝努利不等式也成立不等式也成立.1.1.利用综合法、分析法证明不等式是高考的热点，且常与函数、利用综合法、分析法证明不等式是高考的热点，且常与函数、三角、基本不等式联系在一起综合考查三角、基本不等式联系在一起综合考查.2.2.数学归纳法和放缩法常和数列问题综合考查，是高考对本节数学归纳法和放缩法常和数列问题综合考查，是高考对本节内容考查的重点，也是难点内容考查的重点，也是难点.1.1.比较法比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有作差比较法和作商比较比较法是证明不等式最基本的方法，有作差比较法和作商比较法两种法两种.(1)(1)作差比较法的理论依据是作差比较法的理论依据

3、是abab ;ab;a0,1b0,1 ;b1b1 .a-b0a-b0a-b0a-bbababab-1,ab-1,则则 的大小关系是的大小关系是_._.【解析解析】ab-1,a+1b+10,ab-1,a+1b+10,.答案答案:0,a0,a9 90,a0,a2 2aa9 9,P=Q.P=Q.答案答案:P PQ Q3.3.反证法反证法（1 1）假设要证的命题）假设要证的命题_，以此为出发点，结合已知条，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和和_（或已证明的定理、性质、明显成立的事实（或已证明的定理、性质

4、、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明_，我们把它称为反证法我们把它称为反证法.（2 2）证明步骤：反设）证明步骤：反设推理推理归谬归谬肯定原结论肯定原结论.不成立不成立命题的条件命题的条件原命题成立原命题成立【即时应用即时应用】(1)(1)思考思考:若若a,b,c(0,1),a,b,c(0,1),则则(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a能否同能否同时大于时大于?提示提示:假设假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于同时大于 ,即有即有(

5、1-a)b(1-a)b ,(1-b)c ,(1-b)c ,(1-c)a ,(1-c)a ,三式同向相乘三式同向相乘,得得(1-a)a(1-b)b(1-c)c(1-a)a(1-b)b(1-c)c又又(1-a)a(1-b)b(1-c)c (1-a)a(1-b)b(1-c)c 与假设矛盾与假设矛盾.故故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于不能同时大于(2)(2)否定否定“自然数自然数a a、b b、c c中恰有一个为偶数中恰有一个为偶数”时正确的反设为时正确的反设为_._.【解析解析】三个自然数的奇偶情况有三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二

6、偶一奇、三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶二奇一偶”4 4种，而自然数种，而自然数a a、b b、c c中恰有一个为偶数只包含中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶二奇一偶”的情况，故反设为的情况，故反设为a,b,ca,b,c中至少有两个偶数或都是中至少有两个偶数或都是奇数奇数.答案答案:a,b,ca,b,c中至少有两个偶数或都是奇数中至少有两个偶数或都是奇数4.4.放缩法放缩法（1 1）证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值）证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或或_，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法称为放缩法.（2

7、2）理论依据）理论依据a ab,bb,bc ca_ca_c.放大放大缩小缩小【即时应用即时应用】(1)lg9(1)lg9lg11lg11与与1 1的大小关系是的大小关系是_;_;(2)(2)设设x x0,y0,y0 0，则则A A与与B B的大小关的大小关系是系是_._.【解析解析】(1)lg9(1)lg90,lg110,lg110,0,lg9lg9lg11lg111.1.(2)x(2)x0 0，y y0,0,AAB.B.答案答案:(1)lg9(1)lg9lg11lg111 (2)A1 (2)AB B5.5.数学归纳法数学归纳法当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整

8、数n n0 0的所有正整数的所有正整数n n都成立都成立时，可以用以下两个步骤：时，可以用以下两个步骤：证明当证明当_时命题成立；时命题成立；假设当假设当n=n=k(kNk(kN+,+,且且kn0)kn0)时命题成立，证明时命题成立，证明_时命时命题也成立题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n n0 0的所有的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.n=nn=n0 0n=k+1n=k+1【即时应用即时应用】（1 1）思考）思考:数学归纳法中的数学归纳法中的n n0 0一定是一定是1

9、1吗？为什么吗？为什么?提示提示:n n0 0不一定是不一定是1,1,一般是指适合命题的第一个正整数，比如证一般是指适合命题的第一个正整数，比如证明凸明凸n n边形的内角和边形的内角和f(nf(n)=(n-2)=(n-2)180180，这里面的，这里面的n n应不小于应不小于3 3，即，即n3(nNn3(nN+)，第一个值，第一个值n n0 0=3.=3.(2)(2)某个命题与正整数某个命题与正整数n n有关，如果当有关，如果当n=kn=k时该命题成立时该命题成立.那么可那么可推导出当推导出当n=k+1n=k+1时也成立时也成立.现已知现已知n=12n=12时，该命题不成立时，该命题不成立.那

10、么那么可推得可推得n=_n=_时，该命题不成立时，该命题不成立.【解析解析】n=12n=12时，命题不成立时，命题不成立.n=11.n=11时命题不成立时命题不成立.同理同理n=10n=10、9 9、8 8、2 2、1 1时命题均不成立时命题均不成立.答案：答案：1 1、2 2、3 3、1111 用比较法证明不等式用比较法证明不等式【方法点睛方法点睛】1.1.作差比较法作差比较法(1)(1)作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结作差比较法的一般步骤是：作差、变形、判断符号、得出结论论.其中其中,变形整理是关键变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号变形的目的是为了判断差的符号

11、,常用常用的变形方法有的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等因式分解、配方、通分、拆项、添项等.(2)(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较若所证不等式的两边是整式或分式多项式时，常用作差比较法法.2.2.作商比较法作商比较法(1)(1)作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与作商比较法的一般步骤是：作商、变形、判断与1 1的大小关系的大小关系,得出结论得出结论.(2)(2)利用作商比较法时，要注意分母的符号利用作商比较法时，要注意分母的符号.【提醒提醒】当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明，另当不等式的两边为对数式时，可用作商比较法证明，另外，要比较的

12、两个解析式均为正值，且不宜用作差比较法时，也外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜用作差比较法时，也常用作商比较法常用作商比较法.【例例1 1】求证：求证：(1)(1)当当xRxR时，时，1+2x1+2x4 42x2x3 3+x+x2 2.(2)(2)当当a a，b(0b(0，+)+)时，时，a aa ab bb b【解题指南解题指南】第（第（1 1）小题的不等式为一元型的整式不等式，）小题的不等式为一元型的整式不等式，因此可考虑利用作差比较法证明；第（因此可考虑利用作差比较法证明；第（2 2）小题是幂指数型的）小题是幂指数型的不等式，可考虑采用作商比较法证明不等式，可考虑采用作商比较法证明.

13、【规范解答规范解答】(1)(1)方法一：方法一：(1+2x(1+2x4 4)-(2x)-(2x3 3+x+x2 2)=2x=2x3 3(x-1)-(x+1)(x-1)(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x=(x-1)(2x3 3-x-1)-x-1)=(x-1)(2x=(x-1)(2x3 3-2x+x-1)-2x+x-1)=(x-1)2x(x=(x-1)2x(x2 2-1)+(x-1)-1)+(x-1)=(x-1)=(x-1)2 2(2x(2x2 2+2x+1)+2x+1)=(x-1)=(x-1)2 22(x+)2(x+)2 2+0+0，1+2x1+2x4 42x2x3 3+x+x2

14、 2.方法二：方法二：(1+2x(1+2x4 4)-(2x)-(2x3 3+x+x2 2)=x=x4 4-2x-2x3 3+x+x2 2+x+x4 4-2x-2x2 2+1+1=(x-1)=(x-1)2 2x x2 2+(x+(x2 2-1)-1)2 2001+2x1+2x4 42x2x3 3+x+x2 2.(2)(2)当当a=ba=b时，时，=1.=1.当当a ab b0 0时，时，1 1，0 0，则，则 1.1.当当b ba a0 0时，时，0 0 1 1，0 0，则，则 1.1.综上可知，当综上可知，当a a、b(0b(0，+)+)时，时，a aa ab bb b 成立成立.【反思反思感

15、悟感悟】1.1.利用作差比较法时利用作差比较法时,变形的目的在于判断差变形的目的在于判断差的符号的符号,而不必考虑差的值是多少而不必考虑差的值是多少.若遇到结果符号不能确定的若遇到结果符号不能确定的情况情况,这时要对差式进行分类讨论这时要对差式进行分类讨论.2.2.在作商比较中在作商比较中 1 1 a ab b是不正确的是不正确的,这与这与a,ba,b的符号有关的符号有关,比如比如:若若b b0,0,由由 1,1,可得可得a ab,b,但若但若b b0,0,则由则由 1 1得出的反得出的反而是而是a ab.b.也就是说也就是说,在利用作商比较法时在利用作商比较法时,要对要对a a、b b的符号

16、作出的符号作出判断判断.用综合法或分析法证明不等式用综合法或分析法证明不等式【方法点睛方法点睛】1.1.综合法与分析法的逻辑关系综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是用综合法证明不等式是“由因导果由因导果”,分析法证明不等式是分析法证明不等式是“执执果索因果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见,分析法与综分析法与综合法相互转化，

17、互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以拓宽解题思路，开阔知识视野可以拓宽解题思路，开阔知识视野.2.2.分析法的应用分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆可逆.【例例2 2】（1 1）已知）已知a,b,ca,b,c0 0且

18、互不相等且互不相等,abcabc=1.=1.试证明试证明:（2 2）已知）已知a+b+ca+b+c=1,=1,求证：求证：【解题指南解题指南】(1)(1)由于由于a,b,ca,b,c0,abc=1,0,abc=1,故故 故故本题可考虑利用基本不等式解决本题可考虑利用基本不等式解决.(2)(2)不等式左边为两两乘积的形式不等式左边为两两乘积的形式,而已知条件是而已知条件是a a、b b、c c和的形和的形式式,因此将已知式两边平方因此将已知式两边平方,可得出可得出a a、b b、c c两两积及两两积及a a2 2、b b2 2、c c2 2和的式子，然后再利用平均不等式将和的式子，然后再利用平均

19、不等式将a a2 2+b+b2 2+c+c2 2转化为转化为a a、b b、c c的的两两积之和，得所证不等式两两积之和，得所证不等式.【规范解答规范解答】方法一：方法一：a,b,ca,b,c0 0，且互不相等，且互不相等，abcabc=1.=1.即即 方法二：方法二：以上三式相加，得以上三式相加，得又又a,b,ca,b,c互不相等互不相等,方法三方法三:a,b,c:a,b,c是互不相等的正数，且是互不相等的正数，且abc=1,abc=1,(2)a+b+c=1,a(2)a+b+c=1,a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ca=1.+2ab+2bc+2ca=1.又又a a2

20、2+b+b2 22ab,b2ab,b2 2+c+c2 22bc,c2bc,c2 2+a+a2 22ca,2ca,将以上三个不等式相加，得将以上三个不等式相加，得2 2（a a2 2+b+b2 2+c+c2 2)2(ab+bc+ca).)2(ab+bc+ca).aa2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+ca.ab+bc+ca.1=a1=a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ca+2ab+2bc+2caab+bc+ca+2ab+2bc+2caab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca),=3(ab+bc+ca),ab+bc+caab+bc+ca【反思反

21、思感悟感悟】本题条件中本题条件中abcabc=1=1是解题的关键是解题的关键.可以先利用可以先利用“1 1”的代换，构造利用基本不等式的条件，然后的代换，构造利用基本不等式的条件，然后解决问题，也可以先利用基本不等式，然后通过解决问题，也可以先利用基本不等式，然后通过“1 1”的代换的代换来建立来建立 与与 之间的大小关系的之间的大小关系的.因此在综合因此在综合法中，每一个题设条件所反馈出来的法中，每一个题设条件所反馈出来的“信息信息”，都是至关重要，都是至关重要的，也都有可能成为解题的突破口的，也都有可能成为解题的突破口.用反证法证明不等式用反证法证明不等式【方法点睛方法点睛】1.1.适宜用

22、反证法证明的数学命题适宜用反证法证明的数学命题(1)(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；结论本身是以否定形式出现的一类命题；(2)(2)关于唯一性、存在性的命题；关于唯一性、存在性的命题；(3)(3)结论以结论以“至多至多”、“至少至少”等形式出现的命题；等形式出现的命题；(4)(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.2.2.使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提，常见的是正确运用反证法的前提，常见的“结论词结论词”与与“反设词反设词”列列表如下：表

23、如下：结论词结论词反设词反设词结论词结论词反设词反设词至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有对所有对所有x x成立成立存在某个存在某个x x不成立不成立至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个对任意对任意x x不成立不成立至多有至多有n-1n-1个个存在某个存在某个x x成立成立至少有至少有n n个个p p或或q qp p且且q q至多有至多有n n个个至少有至少有n+1n+1个个p p且且q qp p或或q q【例【例3 3】（1 1）若）若a a3 3+b+b3 3=2=2，求证，求证:a+b2.:a+b2.（2 2）设二次函数）设二次函数f(xf(x)=x)=x2 2+px+q+px+

24、q，求证：，求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于中至少有一个不小于【解题指南解题指南】(1)(1)直接证明直接证明a+b2a+b2比较困难，可考虑从反面入比较困难，可考虑从反面入手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论.(2)(2)当要证明几个代数式中至少有一个满足条件时，通常采用当要证明几个代数式中至少有一个满足条件时，通常采用反证法进行反证法进行.【规范解答】【规范解答】(1)(1)方法一方法一:假设假设a+ba+b2,2,而而a a2 2-ab+b-ab+b2 2=但取等号的条件为但取等

25、号的条件为a=b=0,a=b=0,显然不可能显然不可能,aa2 2-ab+b-ab+b2 20.0.则则a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)2(a2(a2 2-ab+b-ab+b2 2),),而而a a3 3+b+b3 3=2,=2,故故a a2 2-ab+b-ab+b2 21.1.1+ab1+aba a2 2+b+b2 22ab.2ab.从而从而abab1.1.aa2 2+b+b2 21+ab1+ab2.2.(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab+2ab2+2ab2+2ab4.4.a+ba+b2.2.这与假设矛盾

26、，故这与假设矛盾，故a+b2.a+b2.方法二方法二:假设假设a+ba+b2 2，则，则a a2-b,2-b,故故2=a2=a3 3+b+b3 3(2-b)(2-b)3 3+b+b3 3，即，即2 28-12b+6b8-12b+6b2 2,即即(b-1)(b-1)2 20 0，这不可能，从而，这不可能，从而a+b2.a+b2.方法三方法三:假设假设a+ba+b2,2,则则(a+b)(a+b)3 3=a=a3 3+b+b3 3+3ab(a+b)+3ab(a+b)8.8.由由a a3 3+b+b3 3=2,=2,得得3ab(a+b)3ab(a+b)6.6.故故ab(a+bab(a+b)2.2.又又

27、a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=2.)=2.ab(a+b)ab(a+b)(a+b)(a(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2).).aa2 2-ab+b-ab+b2 2ab,ab,即即(a-b)(a-b)2 20.0.这不可能，故这不可能，故a+b2.a+b2.(2)(2)假设假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于都小于 则则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2.2.另一方面，由绝对值不等式的性质，有另一方面，由绝对值不等式的性

28、质，有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)-2f(2)+f(3)|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2=2、两式的结果矛盾，两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确所以假设不成立，原来的结论正确.【反思【反思感悟】感悟】1.1.本题本题(1)(1)三种方法均采用反证法，有的推至三种方法均采用反证法，有的推至与假设矛盾，有的推至与已知事实矛盾与假设矛盾，有的推至与已知事实矛盾.一般来说一般来说,结论的语气结论的语气过于肯定

29、或肯定过于肯定或肯定“过头过头”时时,都可以考虑采用反证法都可以考虑采用反证法.2.2.因为本题因为本题(1)(1)的已知条件非常少的已知条件非常少,为了增加可利用的条件为了增加可利用的条件,从从反证法的角度来说反证法的角度来说,“假设假设”也是已知条件，固而可考虑采用也是已知条件，固而可考虑采用反证法反证法.用放缩法或数学归纳法证明不等式用放缩法或数学归纳法证明不等式【方法点睛方法点睛】放缩法或数学归纳法证明不等式的技巧放缩法或数学归纳法证明不等式的技巧（1 1）与自然数）与自然数n n有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困有关的不等式证明问题，如果用常规方法有困难，可以考虑利用数学归纳法

30、来证明难，可以考虑利用数学归纳法来证明.在利用数学归纳法证明在利用数学归纳法证明不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设不等式时，在第二步骤中，要注意利用归纳假设.同时，这一同时，这一步骤往往会涉及到分析法、放缩法等综合方法步骤往往会涉及到分析法、放缩法等综合方法.（2 2）放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等）放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系，即要证关系，即要证a ab b，只需先证明，只需先证明a ap p，且，且p pb.b.其中其中p p的确定是的确定是最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，对式子巧最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，

31、对式子巧妙变形的能力以及一定的解题经验妙变形的能力以及一定的解题经验.【例【例4 4】在数列在数列aan n，b bn n 中，中，a a1 1=2=2，b b1 1=4=4，且，且a an n，b bn n，a an+1n+1成等成等差数列，差数列，b bn n，a an+1n+1，b bn+1n+1成等比数列成等比数列.（1 1）求）求a a2 2，a a3 3，a a4 4及及b b2 2，b b3 3，b b4 4，由此猜测，由此猜测aan n，b bn n 的通项公的通项公式，并证明你的结论；式，并证明你的结论；（2 2）证明：）证明：【解题指南解题指南】问题（问题（1 1）属于归纳

32、）属于归纳猜想问题，应利用数学归猜想问题，应利用数学归纳法证明；问题（纳法证明；问题（2 2）可通过缩小分母，即放大不等式的左侧）可通过缩小分母，即放大不等式的左侧来证明不等式来证明不等式.【规范解答】【规范解答】（1 1）由条件得）由条件得2b2bn n=a=an n+a+an+1n+1，a an+1n+12 2=b=bn nb bn+1n+1，由此可得由此可得a a2 2=6=6，b b2 2=9=9，a a3 3=12=12，b b3 3=16=16，a a4 4=20=20，b b4 4=25.=25.猜测猜测a an n=n(n+1)=n(n+1)，b bn n=(n+1)=(n+1

33、)2 2.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：当当n=1n=1时，由上可得结论成立时，由上可得结论成立.假设当假设当n=k(k1n=k(k1且且kNkN)时，结论成立，即时，结论成立，即a ak k=k(k+1)=k(k+1)，b bk k=(k+1)=(k+1)2 2，那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，a ak+1k+1=2b=2bk k-a-ak k=2(k+1)=2(k+1)2 2-k(k+1)=(k+1)(k+2)-k(k+1)=(k+1)(k+2)，所以当所以当n=k+1n=k+1时，结论也成立时，结论也成立.由由，可知，可知a an n=n(n+1)=n(n+1)，b bn

34、n=(n+1)=(n+1)2 2对一切正整数都成立对一切正整数都成立.(2)(2)当当n=1n=1时时,结论成立结论成立.当当n2n2时，由时，由(1)(1)知知a an n+b+bn n=(n+1)(2n+1)=(n+1)(2n+1)2(n+1)n.2(n+1)n.故故结论也成立结论也成立.综上，原不等式成立综上，原不等式成立.【反思【反思感悟】感悟】1.1.用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步,即即n=k+1n=k+1时为什么成立时为什么成立;n=k+1;n=k+1时成立是利用假设时成立是利用假设n=kn=k时成立时成立,根根据有关的定理、定义、公式

35、、性质等数学结论推证出据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1n=k+1时时成立，而不是直接代入，否则成立，而不是直接代入，否则n=k+1n=k+1时也成假设了，命题并没时也成假设了，命题并没有得到证明有得到证明.2.2.用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都可以用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分整数问题都可以用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析析.假设当假设当n=k(k5,kNn=k(k5,kN*)时，结论成立，时，结论成立，即即S Sk kP Pk k即即2 2k kk k2 2，那么当

36、，那么当n=k+1n=k+1时，时，S Sk+1k+1-P-Pk+1k+1=2=2k+1k+1-(k+1)-(k+1)2 2=2=22 2k k-(k+1)-(k+1)2 22k2k2 2-(k+1)-(k+1)2 2=k=k2 2-2k-1=(k-1)-2k-1=(k-1)2 2-2-2当当k5k5时，时，(k-1)(k-1)2 2-2-20 0恒成立，恒成立，则则2 2k+1k+1（k+1k+1）2 2，所以当，所以当n=k+1n=k+1时，结论也成立时，结论也成立.由由知，当知，当n5n5时，都有时，都有S Sn nP Pn n.方法二：当方法二：当n5n5时，由于时，由于2 2n n=n=n2 2+n+2+n+2n n2 2,所以所以S Sn n-P-Pn n=2=2n n-n-n2 20,0,综上：当综上：当n=2n=2或或4 4时，时，S Sn n=P Pn n；当当n=3n=3时，时，S Sn nP Pn n；当；当n=1n=1或或n5n5时，时，S Sn nP Pn n.