基本不等式及其简单应用.pdf

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1、基本不等式及其简单应用一基础知识1算术平均数，几何平均数a0，b0 时，称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数2基本不等式及其变形：（1）基本不等式：a b（a,b0a,b0）(当且仅当_时取“”号）即两2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（2）常见变形：a b 2 ab(a,b0)(a,b0)(当且仅当时 取“”号）(a b)2ab(a,b0)(a,b0)(当且仅当时 取“”号）4ab 2ab(a a、b bR R）(当且仅当时 取“”号）ab 2|ab|(a a、b bR)R)(当且仅当时 取“”号)2222(a b)2a b(a a、b bR)R)(当且仅当时 取“”号)2

2、22ab 2(ab0)(ab0)(当且仅当时 取“”号)bakx 2 k或 2 k(k0)(k0)(当且仅当时 取“”号)x问：k0,b0;第二注意：积为定值或和为定值；第三注意：等号成立的条件。例例 1 1（1）若x0,则f(x)大值是_（2）已知x2,则x _12123x的最小值是_;若x0,b0,且 4a+b=1,则ab的最大值是_；（4）已知x0,y0,且x+y=1,则49的最小值是_。xy5x2 4x 5(5)已知x,则f(x)的最小值为_22x 4(6)已知两正数 x,y 满足 x+y=1,求z (x 11)(y)的最小值.xyx2 y2(7)已知x y 0且xy 1,求的最小值及

3、此时的 x,y 的值。x y例 2若正数 a，b 满足 ab=a+b+3，求 ab 的取值范围。练习：1.设x，yR，且xy(xy)1，则x y的取值范围是_；xy的取值+范围是_2.设 a,b,cR,a+b+c=10,a+bc-1=0,则 a 的范围是_例 3.某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长 2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小 0.5m，BCD 600，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB,CD的长，可使建造这个支架的成本最低？ACBD地面例4.甲、乙两地相距240千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过60千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以

4、元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b；固定部分为a元.全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?课后作业：1若 x0,y0 且2若 x、yR且 x+3y=1，则Z 3点（x，y）在直线 x+3y-2=0 上，则3 27 3最小值为4若数列an的通项公式是an5设a，bR，a+2b=3，则6当 x1 时，则 y=x+xy281，则 xy 的最小值是xyx1 3y2的最大值n则数列an中最大项2n 8111最小值是ab116x的最小值是2xx 17已知不等式（x+

5、y）(1xa)9对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为y8某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买 x 吨，运费为4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=吨.9.若x,y R，且2x 8y xy 0，求x y的最小值。10.设x,y满足x 4y 40,且x,y R,则lg x lg y的最大值是。11.某厂用 98 万元引进设备投入生产，第一年需各种费用12 万元，从第二年开始，费用会比上一年增加 4 万元，而利润为 50 万元。引进该设备多少年后开始盈利？引进该设备若干年后，有两种处理方案：年平均盈利最大时，以 26 万元的价格卖出；盈利总额最大时，以 8 万元的价格卖出，那种方案合算，说明理由。12.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240 元，使用规定：不记名，每卡每次只限1 人，每天只限 1 次某班有 48 名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为 40 元，若使每个同学游泳 8 次，每人最少交多少钱？