第4讲基本不等式(教师用).pdf

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1、第 4 讲基本不等式【2013 年高考会这样考】1考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题2考查应用基本不等式解决实际问题【复习指导】1突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练2训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养基础梳理ab1基本不等式：ab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR R)；ba(2)ab2(a，b 同号)；ab2(a，bR R)；(3)ab 2 a2b2ab2(a，bR R)(4)2 2 3算术平均数与几何平均数ab设 a0，b0，则 a，b 的算术平均

2、数为2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小)p2(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是4.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2b22aba2b2abab2(a，b0)等还逆用就是 ab2；2 ab(a，b0)逆用就是 ab 2 要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等两个变形a2b2ab2 ab(a，bR R

3、，当且仅当 ab 时取等号)；(1)2 2(2)a2b2ab222 ab11(a0，b0，当且仅当 ab 时取等号)ab这两个不等式链用处很大，注意掌握它们三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致双基自测11(人教 A 版教材习题改编)函数 yxx(x0)的值域为()A(，22，)C2，)B(0，)D(2，)1解析x0

4、，yxx2，当且仅当 x1 时取等号答案Cab12下列不等式：a212a；2；x221，其中正确的个数是x 1ab()A0B1C2D311解析不正确，正确，x22(x21)21211.x 1x 1答案B3若 a0，b0，且 a2b20，则 ab 的最大值为()1A.2B1C2D4解析a0，b0，a2b2，1a2b22 2ab，即 ab2.答案A4(2011重庆)若函数 f(x)x1(x2)在 xa 处取最小值，则 a()x2A1 2B1 3C3D4解析当 x2 时，x20，f(x)(x2)当且仅当 x2即 a3.答案Ct24t15已知 t0，则函数 y的最小值为_tt24t11解析t0，ytt

5、t4242，当且仅当 t1 时取等号答案2122x2x2124，x21(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x3，x2考向一利用基本不等式求最值11【例 1】(1)已知 x0，y0，且 2xy1，则xy的最小值为_；(2)当 x0 时，则 f(x)2x的最大值为_x2111审题视点 第(1)问把xy中的“1”代换为“2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解析(1)x0，y0，且 2xy1，112xy2xyxyxyy2x3xy32 2.y2x当且仅当xy时，取等号(2)x0，f(x)2x22121，x 1xx21当且仅当 xx

6、，即 x1 时取等号答案(1)32 2(2)1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”常用的方法为：拆、凑、代换、平方【训练 1】(1)已知 x1，则 f(x)x1的最小值为_x12(2)已知 0 x5，则 y2x5x2的最大值为_(3)若 x，y(0，)且 2x8yxy0，则 xy 的最小值为_解析(1)x1，f(x)(x1)11213当且仅当 x2 时取等号x11(2)y2x5x2x(25x)55x(25x)，20 x5，5x2,25x0，5x25x2 1，5x(25x)21y5，当且仅当 5x25x，11即 x5时，ymax5.(3)由 2x8yxy

7、0，得 2x8yxy，28yx1，8y2x82xy(xy)xy10 xy4yx102xy10224y xxy18，4yx当且仅当xy，即 x2y 时取等号，又 2x8yxy0，x12，y6，当 x12，y6 时，xy 取最小值 18.1答案(1)3(2)5(3)18考向二利用基本不等式证明不等式bccaab【例 2】已知 a0，b0，c0，求证：abcabc.审题视点 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到证明a0，b0，c0，bccaab2bcabac2caab2bcbc caab2c；bc abac2b；ca ab2a.b cbccaab以上三式相加得：2abc2(abc)，bc

8、caab即abcabc.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题【训练 2】已知 a0，b0，c0，且 abc1.111求证：abc9.证明a0，b0，c0，且 abc1，111abcabcabcabcabcbcacab3aabbccbacacb3abacbc32229，1当且仅当 abc3时，取等号考向三利用基本不等式解决恒成立问题【例 3】(2010山东)若对任意 x0，_审题视点 先求xx(x0)的最大值，要使得2a(x0)恒成立，x 3x1x 3x12xa 恒成立，

9、则 a 的取值范围是x 3x12x只要2(x0)的最大值小于等于 a 即可x 3x1xx解析若对任意 x0，2a 恒成立，只需求得 y2的最大值即x 3x1x 3x1可，因为 x0，所以 yxx 3x12111，当且仅当 x1 时取115xx32xx1等号，所以 a 的取值范围是5，1答案5，当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解【训练 3】(2011宿州模拟)已知 x0，y0，xyx2y，若 xym2 恒成立，则实数 m 的最大值是_解析由 x0，y0，xyx2y22xy，得 xy8，于是由 m2xy 恒成立，得

10、m28，m10，故 m 的最大值为 10.答案10考向三利用基本不等式解实际问题【例 3】某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 5 m房屋正面的造价为 400 元/m2，房屋侧面的造价为 150 元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？审题视点 用长度 x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可还应注意定义域 0 x5；函数取最小值时的 x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性1216解由题意可得，造价 y

11、3(2x150 x400)5 800900 xx5 800(0 x5)，16则 y900 xx5 800900216xx5 80013 000(元)，16当且仅当 xx，即 x4 时取等号故当侧面的长度为 4 米时，总造价最低解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解【训练 3】(2011广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件，每件水晶产品的销售价格为 100 元，固定成本为

12、80 元 从今年起，工厂投入 100万元科技成本 并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本 预计产量每年递增 1 万件，每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本的投入次数 n 的关系是g(n)80.若水晶产品的销售价格不变，第 n 次投入后的年利润为 f(n)万元n1(1)求出 f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解(1)第 n 次投入后，产量为(10n)万件，销售价格为 100 元，固定成本为元，科技成本投入为 100n 万元80100100n(nN N*)所以，年利润为 f(n)(10n)n180100100n(2)由(1)知 f(n)(10

13、n)n19n1520(万元)1 00080n1当且仅当 n19，n180n1即 n8 时，利润最高，最高利润为 520 万元所 以，从 今 年 算 起 第8年 利 润 最 高，最 高 利 润 为520万元阅卷报告 8忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.12【示例】已知 a0，b0，且 ab1，求ab的最小

14、值错因两次基本不等式成立的条件不一致实录a0，b0，且 ab1，ab21 .ab 2 412又ab2211，而 ab，ab4ab4，1212ab2 84 2，故ab的最小值为 4 2.正解a0，b0，且 ab1，1212b2aabab(ab)12ab32ab1，当且仅当b2a，abb 2aab32 2.a 21，即时，b2 212ab的最小值为 32 2.1【试一试】(2010四川)设 ab0，则 a2abA1B2C3D41尝试解答a2ab1a2abababa(ab)21aab1的最小值是()aab1aab11ababaab1abab1aab2aab224.当且仅当 a(ab)11且 abab，aab即 a2b 时，等号成立答案D