第四章 机械振动3.ppt

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1、首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出tx第四章第四章 机械振动机械振动前言前言4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征4-2 4-2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成*振动的频谱分析振动的频谱分析4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振1首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出1、什么是振动：、什么是振动：物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。广义地，凡是描述物质运动状态的广义地，凡是描述物质运

2、动状态的物理量物理量，在某一固定，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。振动的概念振动的概念任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时,都会发生振动。都会发生振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。前言前言2、振动的特征、振动的特征(在时间上）具有某种重复性。在时间上）具有某种重复性。2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振

3、动的合成。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。振动中最简单最基本的是简谐振动。振动中最简单最基本的是简谐振动。3首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出4.1.1弹簧振子模型弹簧振子模型1）定义：）定义：构成：轻质弹簧一端固定其另一端构成：轻质弹簧一端固定其另一端与刚体联结。与刚体联结。条件：位移限定在弹性限度内，不条件：位移限定在弹性限度内，不计弹簧内部摩擦。计弹簧内部摩擦。2）无阻尼时的自由振动）无阻尼时的自由振动阻尼：阻尼：干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而

4、后的运动只在系统内部恢复力作用下运动。只在系统内部恢复力作用下运动。（1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）。X0 xFK4首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出（3 3）惯性的作用）惯性的作用 整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振整个系统是在内部线性恢复力和惯性的交互作用下来实现振 动的。动的。恢复力与位移正比而反恢复力与位移正比而反向（线性回复力），即向（线性回复力），

5、即 （2 2）弹性恢复力的特点：弹性恢复力的特点：此处位移特指系统偏离平衡位置的位移此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。F=-kx X0 xFK5首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出3 3）弹簧振子的运动微分方程）弹簧振子的运动微分方程由牛顿定律：由牛顿定律：以振子为对象以振子为对象解解微分方程得：微分方程得：6首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2）无阻尼时的自由振动）无阻尼时的自由振动（1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：铅直位置为角平衡位置，铅直位置为角平衡位置，o为角坐标为角坐标原点。原点。（2）恢复力矩的特点：）恢复力矩的特点：重力对过悬点重力对过悬点0/的

6、水平轴的力矩为：的水平轴的力矩为：负号表示力矩方向始终与角位移方负号表示力矩方向始终与角位移方向相反。向相反。1 1）定义）定义1、单摆、单摆4.1.2微振动的简谐近似微振动的简谐近似7首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出根据麦克劳林展开根据麦克劳林展开 略去高阶无穷小后略去高阶无穷小后（3）惯性的作用）惯性的作用:即恢复力矩与角位移正比而反向。即恢复力矩与角位移正比而反向。（角位移指偏离平衡位置的角位移角位移指偏离平衡位置的角位移）此处的惯性指摆球对过此处的惯性指摆球对过0/的水平轴的转动惯量的水平轴的转动惯量 8首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出3）单摆的运动微分方程）单

7、摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：方程的解为方程的解为9首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程2、复、复摆摆式中式中h指质心到悬点的距离指质心到悬点的距离由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：方程的解为方程的解为 c1)定义定义10首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例4.1一质量为一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端，的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动是简谐振动.证如图4.4所示，以平衡位置A为原

8、点，向下为x轴正向，设某一瞬时振子的坐标为x，则物体在振动过程中的运动方程为式中l是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mgkl，所以上式为式中 .于是该系统作简谐振动.11首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出4.2.1简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程以以弹簧振子为例，其动力学方程为弹簧振子为例，其动力学方程为该该方程的解方程的解即为即为谐振动的运动学方程谐振动的运动学方程式中式中A A和和 0 0为由初始条件所决定的两个积分常数。为由初始条件所决定的两个积分常数。4-2 4-2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学12首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出4.2.2描述简谐振动的三

9、个重要参量描述简谐振动的三个重要参量1、振幅、振幅A（1）周期）周期T：完成一次完全振动所需的时间完成一次完全振动所需的时间2、周期、频率、圆频率、周期、频率、圆频率13首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出(3)圆频率圆频率：秒内完成的完全振动的次数秒内完成的完全振动的次数固有角频率固有角频率(2)频率频率：单位时间内所完成的完全振动的次数单位时间内所完成的完全振动的次数 固有振动周期固有振动周期(4)固有圆频率：固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率仅由振动系统的力学性质所决定的频率14首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出3、位相和初位相、位相和初位相位相是描述系统机

10、械运动状态的物理量。（位相是描述系统机械运动状态的物理量。（相又指月相之相相又指月相之相取其具有周期性取其具有周期性）(i)用分析法确定特殊情况下的位相用分析法确定特殊情况下的位相vt=0时，时，x0=A,v0=0.(位位位置；相位置；相变化的态势）变化的态势）X0X0=+A（2 2）0 0 是是t t=0=0时刻的位相，即时刻的位相，即初位相（初位相（0202 之间取值）之间取值）15首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出X0v t=0时时,x0=0,v0016首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出即由初始条件所决定的两个积分常数即由初始条件所决定的两个积分常数(ii)(ii)用

11、由初始条件决定的积分常数求初位相用由初始条件决定的积分常数求初位相0 0 取使取使x x0 0、v v0 0 均满足的值均满足的值 X0 A2v t=0时时,x0=A/2,v00v17首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出AXoXo tXo-AXoAXo t t t t18首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出一个谐振动从一个谐振动从一个状态到另一个状态一个状态到另一个状态经历的时间间隔为经历的时间间隔为t=t2t1=T 2位相差位相差两个振动在同一时刻两个振动在同一时刻t的位相差的位相差=2-1=(2t+20)-(1t+10)=(2-1)t+(20-10)x1=A1cos(1t+

12、10)x2=A2cos(2t+20)1）两个简谐振动的位相差）两个简谐振动的位相差2）同一振动在不同时刻的位相差）同一振动在不同时刻的位相差同一振动在同一振动在t1、t2时时刻的位相差为刻的位相差为=(t2+0)-(t1+0)=(t2-t1)两个同频振动在同一时刻的位相之差两个同频振动在同一时刻的位相之差=20-1019首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出1、旋转矢量的规定法则、旋转矢量的规定法则(1)旋转矢量的制作旋转矢量的制作(2)旋转矢量的作用：旋转矢量的作用：(3)旋转矢量本身不是谐振动旋转矢量本身不是谐振动若已知一个谐振动若已知一个谐振动x=A cos(t+0)相应的旋转矢量

13、如图所示。相应的旋转矢量如图所示。习惯上用习惯上用 A的位置xt+t 时刻时刻t=0 时时刻刻A的位置的位置x0XO4.2.3简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法20首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例4.2如图如图4.6所示，轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂所示，轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为一质量为m的物体的物体.设弹簧的劲度系数为设弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为，滑轮的转动惯量为I，半径为，半径为R.若物体若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放.(1)试证明物体试证明物体

14、m的的运动是谐振动；运动是谐振动；(2)求此振动系统的振动周期；求此振动系统的振动周期；(3)写出振动方程写出振动方程.解(1)若物体m离开初始位置的距离为b时，受力平衡，则此时有以此平衡位置O为坐标原点，竖直向下为x轴正向，当物体m在坐标x处时，由牛顿运动定律和定轴转动定律有21首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出联立式解得所以，此振动系统的运动是谐振动.即(2)由上面的表达式知，此振动系统的圆频率故振动周期为 22首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出振动系统的振动方程为(3)依题意知t0时，b，0，可求出23首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出例例4.3已知如图已知

15、如图4.7所示的谐振动曲线，试写出振动方程所示的谐振动曲线，试写出振动方程.解设谐振动方程为从图中易知A4 cm，下面只要求出 和即可.从图中分析知，t0时，且 (由曲线的斜率决定)，代入振动方程，有故 ，又由 ，得 ，因此只能取 .再从图中分析，t1 s时，x2 cm，v0，代入振动方程有即24首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出所以 或 (应注意这里不能取 ).因同时要满足 ，即 ，故应取 ，即，所以振动方程为25首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出一、动能一、动能二、势能二、势能三、总能三、总能四、动能和势能在一个周期内的平均值四、动能和势能在一个周期内的平均值设设x(t

16、)=Acos(t+0)v(t)=-Asin(t+0)4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量26首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出同理平均势能同理平均势能Etx0 xx=Acost在一个周期在一个周期T 内的平均动能内的平均动能27首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出解(1)子弹射入木块过程中，水平方向动量守恒.设子弹陷入木块后两者的共同速度为 ，则有取弹簧处于自由状态时，木块的平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正方向，并取木块和子弹一起开始向右运动的时刻为计时起点.因此初始条件为 ，而子弹射入木块后谐振系统的圆频率为例例4.44.4如图如图4.114.11所示，光滑水平

17、面上的弹簧振子由质量为所示，光滑水平面上的弹簧振子由质量为M M的木块和劲度的木块和劲度系数为系数为k k的轻弹簧构成的轻弹簧构成.现有一个质量为现有一个质量为m m，速度为，速度为 的子弹射入静止的木的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态.(1).(1)试写出该谐振子的振动方程；试写出该谐振子的振动方程；(2)(2)求出求出 处系统的动能和势能处系统的动能和势能.28首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出设谐振系统的振动方程为 ，将初始条件代入得所以谐振子的振动方程为 联立求出 29首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出(2)xA/

18、2时谐振系统的势能和动能分别为30首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出4.4.1同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成x1=A1cos(t+1)x2=A2 cos(t+2)求求：x x1 x2 1 1、计算法计算法4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成 *振动的频谱分析振动的频谱分析31首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同频率的谐振动。频率的谐振动。合振幅合振幅初位相初位相其中其中32首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2、旋转矢量合成法、旋转矢量合成法xA110

19、A220A0 x1x2x利用正切函数求得合振动的初位相。利用正切函数求得合振动的初位相。两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度 旋旋转，故形成稳定的平形四边形。转，故形成稳定的平形四边形。利用矢量加法的平行四边形法则，合振动的旋转矢量为利用矢量加法的平行四边形法则，合振动的旋转矢量为A，33首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出振幅最大振幅最大 Amax=A1+A2振幅最小振幅最小 Amin=|A1 A2|3、位相差对合振幅的影响、位相差对合振幅的影响（1 1）若位相差）若位相差（2 2）若位相差）若位相差（3 3）若位相差）若位相差

20、为其它任意值时为其它任意值时振幅振幅A A AminA Amax34首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出从图可看出，因两旋转矢量的角从图可看出，因两旋转矢量的角速度速度 1 1、2 2 不相同，所以由两不相同，所以由两矢量矢量A A1 1、A A2 2合成的平行四边形的合成的平行四边形的形状要发生变化，矢量形状要发生变化，矢量A A的大小的大小也随之而变，出现了振幅有周期也随之而变，出现了振幅有周期性地变化。性地变化。1、利用旋转矢量合成法、利用旋转矢量合成法4.4.2同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成1ox235首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出因此，

21、当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为减弱的现象称为拍拍。合振动在单位时间内加强合振动在单位时间内加强(或减弱或减弱)的次数称为的次数称为拍频。拍频。36首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2、拍振动表达式、拍振动表达式 设分振动为设分振动为3、拍频：指合振幅变化的频率、拍频：指合振幅变化的频率余余弦弦函函数数的的周周期期应应为为2，但但取取绝绝对对值值后后，周周期期为为，故故合合振振幅变化的周期幅变化的周期即即“拍频

22、拍频”等于两个分振动频率之差。等于两个分振动频率之差。37首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出4、“拍振动拍振动”的应用的应用声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。利利用用拍拍现现象象还还可可以以测测定定振振动动频频率率、校校正正乐乐器器和和制制造造差差拍拍振振荡器等等荡器等等5、同步锁模：、同步锁模：38首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出*4.4.3振动的频谱分析振动的频谱分析确定一个复杂振动能包含的各种简谐振动的频率及其对应的振幅称为频谱分析.例如，图4.14所示的方波，根据数学计算有式中第一项可看成周期为无穷大的零频项，第二、三、四

23、项就是频率分别为 ,的谐振动，其振动曲线分别如图4.14(b)，(c)，(d)所示，它们的合振动曲线就接近方波了.39首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出一个任意的周期性复杂运动，分解后是一组包含一系列谐泛一个任意的周期性复杂运动，分解后是一组包含一系列谐泛频振动的无穷级数。频振动的无穷级数。一个随机的振动分解后只能用福里哀积分表示，即其频谱一个随机的振动分解后只能用福里哀积分表示，即其频谱线不是分立的，而是连续的，即线不是分立的，而是连续的，即40首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出*4.4.4 *4.4.4 两个相互垂直的同频率简谐振动的合成两个相互垂直的同频率简谐振动的合

24、成设设下面所做的工作是为了消去参量下面所做的工作是为了消去参量t，而得其轨迹方程。而得其轨迹方程。将两分振动方程进行恒等变换，得将两分振动方程进行恒等变换，得由由41首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出并整理可得并整理可得这说明：振动方向互相垂直的同频谐振的轨迹是一椭圆这说明：振动方向互相垂直的同频谐振的轨迹是一椭圆曲线，但曲线的形状则与两分振动的位相差有很大关系。曲线，但曲线的形状则与两分振动的位相差有很大关系。42首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出=5/4=3/2=7/4=0=/4=/2=3/4=PQ43首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出*4.4.5 *4.4.

25、5 两个相互垂直的不同频率简谐振动的合成两个相互垂直的不同频率简谐振动的合成44首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出4.5.1阻尼振动阻尼振动1、固体在介质中所受阻力在一般情况下为固体在介质中所受阻力在一般情况下为2、以弹簧振子为例，其运动微分方程为、以弹簧振子为例，其运动微分方程为令令 ，则有则有 我们只讨论其中的线性部分，我们只讨论其中的线性部分，即在低速情况下的振动即在低速情况下的振动4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振45首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出式中式中阻尼系数阻尼系数0系统固有角频率。系统固有角频率。方程的解及其物理意义方程的解及其

26、物理意义1 1、弱阻尼、弱阻尼(1)式中式中A0、0是由初始条件是由初始条件所决定的两个积分常数；所决定的两个积分常数；(2)阻尼振动的振幅阻尼振动的振幅即即：振幅按指数规律衰减，故阻尼振动又称减幅振动；振幅按指数规律衰减，故阻尼振动又称减幅振动；46首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出(3)准周期的问题：准周期指函数准周期的问题：准周期指函数 与时间轴与时间轴t的零交点间的间隔（但函数的峰值不在两零交点的的零交点间的间隔（但函数的峰值不在两零交点的中心）中心）,即即x阻尼振动曲线阻尼振动曲线说明阻尼越大，准周期越大，阻尼越小，越接近系统固有说明阻尼越大，准周期越大，阻尼越小，越接近系

27、统固有周期。周期。47首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2 2、临界阻尼、临界阻尼 这时这时c1、c2为两积分常数。为两积分常数。其其用途之一用途之一,用于灵敏仪器的回用于灵敏仪器的回零装置。零装置。此时此时其不是往复运动，须无限长的其不是往复运动，须无限长的时间才能回零。时间才能回零。3 3、过阻尼、过阻尼 48首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出1、弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程、弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程以弹簧振子为例以弹簧振子为例其其运动方程为运动方程为4.5.2 4.5.2 受迫振动受迫振动则得则得 外界作用外界作用-=-不讨论不讨论随机外力随机外力co

28、sptcospt只讨论谐和策动力只讨论谐和策动力F F周期性外力周期性外力用下的新平衡点用下的新平衡点将坐标原点移至恒力作将坐标原点移至恒力作恒力作用恒力作用49首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2、方程的解及其物理意义、方程的解及其物理意义由由微分方程理论微分方程理论,上述方程的解为上述方程的解为1）自由振动的能量是外界一次性输入）自由振动的能量是外界一次性输入2）受迫振动过程中，外界在不断地向振动系统补充能量）受迫振动过程中，外界在不断地向振动系统补充能量50首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出3、稳定的受迫振动、稳定的受迫振动(1)说明此时振动方程的位相说明此时振动方程

29、的位相 与初始条件无关，其表示振与初始条件无关，其表示振动位移的位相与策动力位相的位相差；动位移的位相与策动力位相的位相差；(2)说明振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题说明振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题,与此与此对应的极值现象，称为位移共振。对应的极值现象，称为位移共振。1）稳定受迫振动的频率等于策动力的频率稳定受迫振动的频率等于策动力的频率2）稳定受迫振动的振幅稳定受迫振动的振幅A和位相和位相（用待定系数法可得）用待定系数法可得）51首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出4.5.3 4.5.3 共振共振 1、位移共振（又称振幅共振）、位移共振（又称振幅共振）只要令只要令 即可得即可得 此即振幅共振频率此即振幅共振频率图4.244.24位移共振曲位移共振曲线线 图图4.254.25速度共振曲速度共振曲线线52首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2、速度共振（又称能量共振）、速度共振（又称能量共振）速度（能量）共振频率速度（能量）共振频率3、共振的利用与防止共振的利用与防止(1)(1)位移共振位移共振(2)能量共振能量共振调谐（能量输入处于最佳状态）调谐（能量输入处于最佳状态）53