趣味数学教案6.ppt

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1、第六节第六节情同手足的亲和数情同手足的亲和数 自守数是甩不掉的尾巴自守数是甩不掉的尾巴卡普列加数卡普列加数 平方与立方平方与立方1.亲和数定义1假设有甲、乙两个自假设有甲、乙两个自然数，如果甲数除去然数，如果甲数除去自身以外的所有约数自身以外的所有约数之和等于乙数，而乙之和等于乙数，而乙数除去自身以外的所数除去自身以外的所有约数之和等于甲数，有约数之和等于甲数，那么甲、乙两数就称那么甲、乙两数就称为一对亲和数。为一对亲和数。220=22511284=2271“朋友是你灵魂的倩影，要象220与284一样亲密。”望着困惑不解的人们，毕达哥拉斯解释道：神暗示我们，220的全部真因子1、2、4、5、1

2、0、11、20、22、44、55、110之和为284；而284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰为220。这就是亲密无间的亲和数。真正的朋友也象它们那样。1636年，法国数学家费马在给梅森的信中给出第二对亲和数：17296和18416.1638年，法国数学家笛卡尔也写信给梅森，他得到了一个求亲和数的新办法，并用此方法得到了第三对亲和数：9437056和9363584。1747年，瑞士数学家欧拉一举给出30对亲和数。三年后，欧拉有将他发现的亲和数对扩充到60对。1866年，年仅16岁的意大利少年巴格尼尼向公众宣布：1184和1210是仅比220和284大一点的第二对亲和数。在10万以内

3、共有13对亲和数：220,2841184,12102620,29245020,55646232,636810744,1085612285,1459517296,1841663020,7608466928,6699267095,7114569615,8763379750,88730问题：（1）在已知的亲和数中，两个数要不然都是奇数，要不然都是偶数，那么有没有没有一奇一偶的亲和数呢？有一奇一偶的亲和数呢？人们利用计算机搜索30亿以下的所有自然数，没有发现一奇一偶的亲和数。难道这是亲和数的本质属性吗？谁能证明它？（2）在已知的亲和数中，人们发现，当亲和数越来越当亲和数越来越大时，这对数之比越来越大时

4、，这对数之比越来越接近接近1.人们猜想这是对的，但还没有人证明它。把一个数的所有真约数相加，得出一个结果；再把这个结果的所有真约数相加，又得出一个结果，如此反复进行，有时可能回到原数。2.定义2一个数经过几次求所有真约数之和后，又回复到这个数的情况。如果经过n次，我们将这n次得到的n个数称为n阶亲和数。一阶亲和数就是完全数。2阶亲和数就是亲和数。3阶及以上的亲和数称为高阶亲和数。例如人们利用计算机找到一个28阶亲和数：14316191163170447616833281777922954886290725897862948963583364189043665562749242754442437

5、603767363810282857781529901224109794648976459462297622744199161771614316三、自守数1.定义如果某个数的平方的末尾几位数等于这个数，那么就称这个数为自守数。02=012=122=432=942=1652=2562=3672=4982=6492=81显然5和6是一位自守数。252=625,762=5776所以25和76是两位自守数。2.特性以自守数的后几位的两个数相乘，乘积的后几位仍是这个自守数。例如35865=30275以5为个位数的两个数相乘，乘积的个位数仍是5，当然6也同样。176576=101376以76为后两位数的两

6、个数相乘，乘积的后两位数仍是76，当然25也同样。自守数就像一个尾巴，无论有几个这样的数相乘，这个尾巴总是出现在乘积上，甩也甩不掉。我们利用自守数的性质，再简化一下算法：5+6=1125+76=101625+376=1001两个n位自守数，它们的和等于10n+1。52=25252=6256252=390625两位自守数25，三位自守数625，四位自守数0625，五位自守数906253.求法一位自守数5和6两位自守数25和76，三位自守数625和376，四位自守数0625和9376，五位自守数90625和09376。四、卡普列加数定义：对n位自然数A，将A2切成两半，右边n位为一个数，左边其余各

7、位为另一个数，如果这两个数之和恰好等于A，则称A和A2为一对卡普列加数，其中A为卡普列加底数，A2为卡普列加平方数。卡普列加底数为两位数有三个：452=2025,20+25=45552=3025,30+25=55992=9801,98+01=99卡普列加底数为三位数有三个：2972=8820988+209=2977032=494209494+209=7039992=998001998+001=999卡普列加底数为四位数有七个，卡普列加底数为五位数有七个，比较有意思的是77772=604817296048+1729=7777222222=4938172844938+17284=222221111

8、1111112=1234567900987654321123456790+0987654321=1111111111广义卡普列加数453=911259+11+25=4527283=20301732352203+0173+2352=2728674=2015112120+15+11+21=674334=3515212512135+152+125+121=433五、平方与立方1.平方数问题17世纪法国数学家费马，提出的平方数的问题（1）1640年12月25日给梅森的信中-任何形如4n+1的质数都可以表示为两个平方之和。（100年后欧拉给出证明）5=22+1213=32+2217=42+1229=52

9、+22（2）任何形如4n+1的质数，把它作为整数边直角三角形的斜边的机会只有一次。52=32+42252=152+202=72+2421252=752+1002=352+1202=442+1172这个问题后来证明了。（3）整数边直角三角形的面积不能是一个平方数。（法国数学家拉格朗日给出证明）2.平方和问题我们要讲的是能够表示为两个不同自然数的平方和的自然数家族：5,10,13,17,20,25,26,29,34,37,40,41,45,5013=22+3234=32+521334=442442=212+12=92+19265=82+12=42+7285=22+92=62+726585=5525

10、=72+742=142+732=222+712=252+702=412+622=502+5523.立方数之和变平方数自然数的立方和有一个公式13+23+33+n3=(1+2+3+n)2法国数学家刘维尔在研究这个公式时，发现发现一个令人惊奇的步骤，按这个步骤产生的自然数，它们的立方和等于它们的和的平方。例如6，先求出6的所有因子：1,2,3,6；再分别求出1,2,3,6的因子个数，得到1,2,2,4。那么13+23+23+43=（1+2+2+4）2补充习题作业利用选项关系猜答案1.有一个正方形花池，周围用边长25cm的方砖铺了一条宽1.5米的小路，共用1776块。花池的面积是多少平方米？()A.

11、111B.289C.400D.104042.某商品定价为进价的1.5倍，售价为定价的8折，每件商品获利24元，该商品定价为？()A.180B.160C.144D.1203.某省有线网络收入为45.38亿元，该省有线电视用户数为1885.88万户，该省有线电视用户平均每月的有线网络费用约为多少元？()A.20B.36C.180D.240找准行程过程，快速列方程，解决行程问题4.甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7：00出发，匀速步行前往，甲因事耽搁，9：00才出发。为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步的速度是已步行速度的2.5倍，但每跑半小时都需要休息半小时，那么甲什么时候才能追上乙？A.10:2

12、0B.12:00C.14:30D.16:105.小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。如果他骑车从A城去B城，再步行返回A城共需要2小时。问小王跑步从A城去B城需要多少分钟？A.45B.48C.56D.606.某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试，旅游船从甲到乙顺水匀速行驶需3小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需4小时。假设水流速度恒定，甲乙之间的距离为y公里，旅游船在静水中运算匀速行驶y公里需要x小时，则x满足的方程为：A.1/3-1/X=1/X-1/4B.1/3-1/X=1/X+1/4C.1/(X+3)=1/4-1/XD.1/(4-X)=1/X+1/3等差、等比数列问题7.（1）1，2，8，（），1024（2）2，4，12，48，（）A96B120C240D480（3）1，1，2，6，（）A21B22C23D24（4）10，9，17，50，（）（5）6，15，35，77，（）A106B117C136D163（6）2，8，24，64，（）A160B512C124D164利用递推规律找答案8(1)1，3，4，7，11，()A.14B.16C.18D.20(2)6，7，3，0，3，3，6，9，5，()A.4B.3C.2D.1(3)1，2，2，3，4，6，()A.7B.8C.9D.10