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1、火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.有限集有限集无限集无限集火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:例如例如不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.例如例如,规

2、定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段

3、的长度)称为区间的长度称为区间的长度.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去3.3.邻域邻域:火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x,y,

4、t等表示等表示变量变量.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.5.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域二、函数概念二、函数概念火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应

5、法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实数值.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定义定义:如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数

6、举例1-1xyo火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函狄利克雷函数数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(4)取最值函数取最值

7、函数yxoyxo火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.解解单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压火灾袭来时要迅速疏散逃生，

8、不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例2 2解解故故火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去三、函数的特性三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2函数的单调性函数的单调性:xyo火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可

9、蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去xyo火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去奇函数奇函数yxox-x火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.火灾袭来

10、时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.四、反函数四、反函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去五、小结五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数的概念函数的概念函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿

11、被褥勇敢地冲出去思考题思考题火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题解答思考题解答设设则则故故火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去练练 习习 题题火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去练习题答案练习题答案火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的

12、衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去一、基本初等函数一、基本初等函数1.幂函数幂函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2.指数函数指数函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去3.对数函数对数函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去余弦函数

13、余弦函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去正切函数正切函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去余切函数余切函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去正割函数正割函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去余割函数余割函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥

14、勇敢地冲出去5.反三角函数反三角函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和三角函数和反三角函数统称为反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二

15、、复合函数二、复合函数 初等函数初等函数1.复合函数复合函数定义定义:火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.火灾袭

16、来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例1 1解解火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去综上所述综上所述火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去三、双曲函数与反双曲函数三、双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去奇函数奇函数,有界函数有界函数,火灾袭来时要迅速

17、疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去双曲函数常用公式双曲函数常用公式火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去奇函数奇函数,火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢

18、地冲出去四、小结四、小结函数的分类函数的分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题思考题火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题解答思考题解答不能不能火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要

19、当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去一、填空题一、填空题:练练 习习 题题火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去练习题答案练习题答案火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又

20、割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断

21、，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二、数列的定义二、数列的定义例如例如火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去播放播放三、数列的极限三、数列的极限火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去问题问

22、题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留

23、恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去几何解释几何解释:其中其中火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的

24、但不必要求最小的N.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例3证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例4证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去四、四、数列极限的性质数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,有界有界无界无界火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有

25、界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.火

26、灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去3.(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系)如果数列如果数列收敛于收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是是a火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去五五.小结小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性唯一性有界性唯一性.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而

27、出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题思考题证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题解答思考题解答（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的实际上就是不等式实际上就是不等式即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大”的值的值火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件

28、的充分条件反而缩小为反而缩小为火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去练练 习习 题题火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而

29、出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2.另两种情形另两种情形:火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去3.几何解释几何解释:火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例1证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自

30、变量趋向有限值时函数的极限火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2.几何解释几何解释:注意：注意：火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例2证证例例3证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥

31、而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例5证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去3.单侧极限单侧极限:例如例如,火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去左极限左极限右极限右极限火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿

32、毛毯、湿被褥勇敢地冲出去三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理(保序性保序性)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定理定理(保号性保号性)推论推论火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理火灾

33、袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在,且相等且相等.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例7证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥

34、勇敢地冲出去二者不相等二者不相等,火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题思考题火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿

35、的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去一、填空题一、填空题:练练 习习 题题火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去练习题答案练习题答案火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地

36、冲出去一、无穷小一、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例如例如,注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上

37、浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无无穷小穷小);3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定理定理3 有界函数与无穷小

38、的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无

39、穷大无穷大.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去不是无穷大不是无穷大无界，无界，火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢

40、地冲出去证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服

41、或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢

42、地冲出去思考题思考题火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去一、填空题一、填空题:练练 习习 题题火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去练习题答案练习题答案火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋

43、财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2有界，有界，火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二、求极限方法举例二、求极限方法

44、举例例例1 1解解火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去小结小结:火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例4

45、 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例6 6解解火灾袭来时要迅

46、速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例7 7解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去三、小结三、小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限

47、求分段函数极限.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机

48、立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去一、填空题一、填空题:练练 习习 题题火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二、求下列各极限二、求下列各极限:火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去练习题答案练习题答案火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去一、无穷小的比较一、无穷

49、小的比较例如例如,极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定义定义:火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例1 1解解例例2 2解解火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去常用等价无穷小常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如例

50、如,火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例3 3解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例4 4解解解解错错火灾袭来时要迅速疏散逃生，不