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1、第第7 7章章 弯曲弯曲 主要内容主要内容:1.1.直梁平面弯曲的概念直梁平面弯曲的概念 2.2.梁的类型及计算简图梁的类型及计算简图 3.3.梁弯曲时的内力(剪力和弯矩)梁弯曲时的内力(剪力和弯矩)4.4.梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲时的强度条件 5.5.梁弯曲时的变形和刚度条件梁弯曲时的变形和刚度条件 1平面弯曲平面弯曲:梁的外载荷都作用在纵向对称面梁的外载荷都作用在纵向对称面内时,则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一内时,则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线。条平面曲线。平面弯曲的概念平面弯曲的概念 1.1.梁弯曲的工程实例梁弯曲的工程实例2.2.直梁平面弯曲的概念:直梁平面弯曲的概念
2、:弯曲变形:弯曲变形:构件在轴截面内承受力偶作用,构件在轴截面内承受力偶作用,或受垂直于轴线方向的外力作用,或受垂直于轴线方向的外力作用,构件构件的轴的轴线在载荷作用下弯曲成曲线。线在载荷作用下弯曲成曲线。以弯曲变形为主的直杆称为以弯曲变形为主的直杆称为直梁直梁,简称,简称梁梁。2梁弯曲的工程实例梁弯曲的工程实例1 1FFFAFB3梁弯曲的工程实例梁弯曲的工程实例2 2F4梁的轴线和横截面的对称轴梁的轴线和横截面的对称轴构成的平面称为构成的平面称为纵向对称面纵向对称面。5梁的计算简图梁的计算简图 在计算简图中,通常在计算简图中,通常以梁的轴线表示梁以梁的轴线表示梁。作。作用在梁上的载荷,一般可
3、以简化为三种形式用在梁上的载荷,一般可以简化为三种形式:1.1.集中力集中力:2.2.集中力偶集中力偶:3.3.分布载荷分布载荷(均布均布载载荷荷)单位为单位为N/mN/m 6简支梁:简支梁:一端为活动铰一端为活动铰链支座,另一端为固定链支座,另一端为固定铰链支座。铰链支座。梁的类型梁的类型外伸梁:外伸梁:一端或两端伸一端或两端伸出支座之外的简支梁。出支座之外的简支梁。悬臂梁:悬臂梁:一端为固定端,一端为固定端,另一端为自由端的梁。另一端为自由端的梁。7梁弯曲时的内力:剪力和弯矩梁弯曲时的内力:剪力和弯矩 求梁的内力的方法仍然是求梁的内力的方法仍然是截面法截面法。F1F3F2mmxF3ABFA
4、a aFQMF FQ Q =F FA A-F F3 3M M=F FA A x x-F F3 3(x-ax-a)F2F1FBFQM8剪力剪力FQ 梁梁任一任一截面上的剪力截面上的剪力,其数值其数值等于该截面的任一侧等于该截面的任一侧(左边或右边左边或右边)梁上所有横向外力的代数和。截面梁上所有横向外力的代数和。截面左边梁左边梁向上向上的外力或右边梁的外力或右边梁向下向下的的外力为正,反之为负。外力为正,反之为负。弯矩弯矩M 梁任一截面上的弯矩梁任一截面上的弯矩,其数值等于该截面的任一侧其数值等于该截面的任一侧(左边或右左边或右边边)梁上所有外力对截面形心的力矩的代数和。截面左边梁上的外梁上所有
5、外力对截面形心的力矩的代数和。截面左边梁上的外力对该截面形心之矩为力对该截面形心之矩为顺时针顺时针转向,或截面右边梁上的外力对该转向,或截面右边梁上的外力对该截面形心之矩为截面形心之矩为逆时针逆时针转向时为正,反之为负。转向时为正,反之为负。9梁内力的正负号规定梁内力的正负号规定2.从梁的变形角度从梁的变形角度剪力:剪力:顺时针为正顺时针为正逆时针为负逆时针为负弯矩:弯矩:上凹为正上凹为正下凹为负下凹为负1.规定:规定:10BAqFA例:如图,任例:如图,任取一截面取一截面m-mm-m,距离距离A A端端x,x,则则m-mm-m截面内截面内力为力为:mmqCACFAFQMx(0 X L)(0
6、X L)FBA A点:点:M MA A=0=0中点:中点:M=qLM=qL2 2/8/8B B点:点:M MB B=0=0qLqL2 2/8/8抛物线抛物线11剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程一般情况下,梁横截面上的剪力和弯矩随截面一般情况下,梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以横坐标位置不同而变化。若以横坐标x x表示截面在梁表示截面在梁轴线上的位置,则各横截面上的剪力和弯矩都轴线上的位置,则各横截面上的剪力和弯矩都可表示为可表示为x x的函数,即:的函数,即:F FQ Q =F =FQ Q(x)(x)M=M(x)M=M(x)剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程弯矩图弯矩图画法:
7、以与梁轴线平行的画法:以与梁轴线平行的x x坐标表示横截面位坐标表示横截面位置,纵坐标置,纵坐标y y按一定比例表示各截面上相应弯按一定比例表示各截面上相应弯矩的大小,正弯矩画在轴的上方,负弯矩画矩的大小,正弯矩画在轴的上方,负弯矩画在轴的下方。在轴的下方。12例例2 2:如图所示的简支梁如图所示的简支梁ABAB,在点在点C C处受到集中力处受到集中力F F作用,尺寸作用,尺寸a a、b b和和L L均为已知,试作出梁的弯矩图。均为已知,试作出梁的弯矩图。x1FAFBx2FABa aCb bL L解:解:1.1.求约束反力求约束反力 2.2.分两段建立弯矩方程分两段建立弯矩方程 AC段段:13
8、BC段段:L LFx1ABa aCb bx2M=FM=FA A X X2 2-F-F(X X2 2-a-a)=-=-FXFX2 2+aFaFal14Fx1ABa aCb bx23.3.画弯矩图画弯矩图M=-=-FX2 2+a aFal时时,时时,时时,时时,直线直线15例例3 3:如图所示的简支梁如图所示的简支梁ABAB,在点在点C C处受集中力偶处受集中力偶M M0 0作用,作用,尺寸尺寸a a、b b和和L L均为已知,试作此梁的弯矩图。均为已知,试作此梁的弯矩图。解:解:1.1.求约束反力求约束反力 2.2.分两段建立弯矩方程分两段建立弯矩方程 BACM M0 0abLACAC段:段:x
9、1x216BCBC段:段:BACM M0 0abLx1x2173.3.画弯矩图画弯矩图BACM M0 0abLx1x218弯矩图的规律弯矩图的规律 1.梁梁受受集集中中力力或或集集中中力力偶偶作作用用时时,弯弯矩矩图图为为直直线线,并并且且在在集集中中力力作作用用处处,弯弯矩矩发发生生转转折折;在在集集中中力力偶偶作作用用处处,弯弯矩矩发发生生突突变变,突突变变量量为为集集中中力力偶偶的的大小。大小。2.2.梁梁受受到到均均布布载载荷荷作作用用时时,弯弯矩矩图图为为抛抛物物线线,且且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。3.3.梁的两端点梁的两端点若无集中
10、力偶作用,则端点处的弯若无集中力偶作用,则端点处的弯矩为矩为0 0;若有集中力偶作用时,则弯矩为集中力偶;若有集中力偶作用时,则弯矩为集中力偶的大小。的大小。19梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲时的强度条件 1.1.梁纯弯曲的概念梁纯弯曲的概念 在梁的纵向对称面内,两端施加等值、在梁的纵向对称面内,两端施加等值、反向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯反向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩而没有剪力,且弯矩为一常数,这种弯矩而没有剪力,且弯矩为一常数,这种弯曲为纯弯曲。曲为纯弯曲。平面弯曲平面弯曲剪力弯曲剪力弯曲纯弯曲纯弯曲剪力FQ0弯矩M 0剪力FQ=0弯矩M 020平面假设:平面假设:梁弯曲变形后
11、,其横截面仍为平面,并垂直梁弯曲变形后,其横截面仍为平面,并垂直于梁的轴线,只是绕截面上的某轴转动了一个角度。于梁的轴线,只是绕截面上的某轴转动了一个角度。2.2.梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时横截面上的正应力 1 1)变形特点)变形特点 :横向线横向线仍为直线,只是仍为直线,只是相对变形前转过了一个相对变形前转过了一个角度,但仍与纵向线正角度,但仍与纵向线正交。交。纵向线纵向线弯曲成弧线,弯曲成弧线,且靠近凹边的线缩短了,且靠近凹边的线缩短了,靠近凸边的线伸长了,靠近凸边的线伸长了,而位于中间的一条纵向而位于中间的一条纵向线既不缩短,也不伸长。线既不缩短,也不伸长。21如果设想梁是由无
12、数层纵向纤维组成的,由于横截面保如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的,由于横截面保持平面,说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的,持平面,说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的,其中必定有一个既不缩短也不伸长的其中必定有一个既不缩短也不伸长的中性层中性层(不受压又(不受压又不受拉)。不受拉)。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中中性层与横截面的交线,称为性层与横截面的交线,称为中性轴中性轴,如图所示。变形时,如图所示。变形时横截面是绕中性轴旋转的。横截面是绕中性轴旋转的。222 2)梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律)梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
13、由平面假设可知,纯弯曲时梁横由平面假设可知,纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。截面上只有正应力而无切应力。由于梁横截面保持平面,所以沿由于梁横截面保持平面,所以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是线性变化的,因此横截到伸长是线性变化的,因此横截面上的正应力沿横截面高度方向面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。以中性轴为界,也是线性分布的。以中性轴为界,凹边是压应力,使梁缩短,凸边凹边是压应力,使梁缩短,凸边是拉应力,使梁伸长,横截面上是拉应力,使梁伸长,横截面上同一高度各点的正应力相等,距同一高度各点的正应力相等,距中性轴最远点有最大拉应力和最中性轴最
14、远点有最大拉应力和最大压应力,中性轴上各点正应力大压应力,中性轴上各点正应力为零。分布如图所示。为零。分布如图所示。233 3)梁纯弯曲时正应力计算公式)梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内,梁纯弯曲时横截面上任意一在弹性范围内,梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为点的正应力为 :MPa即:即:最大正应力为最大正应力为(MPaMPa):M M和和y y均以绝对值代入,至于均以绝对值代入,至于弯曲正应力是拉应力还是压弯曲正应力是拉应力还是压应力,则由欲求应力的点处应力,则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正,受拉侧的弯曲正应力为正,受压侧的
15、为负。受压侧的为负。M-M-截面上的弯矩截面上的弯矩(N.mm)(N.mm)Y-Y-计算点到中性轴距离计算点到中性轴距离(mm)(mm)IzIz-横截面对中性轴惯性矩横截面对中性轴惯性矩WzWz-抗弯截面模量抗弯截面模量 24梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲时的强度条件 强度条件强度条件:梁内危险截面上的最大弯曲正应力:梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力,即不超过材料的许用弯曲应力,即 MM危险截面处的弯矩(危险截面处的弯矩(N.mmN.mm)WzWz危险截面的抗弯截面模量(危险截面的抗弯截面模量(mm mm)材料的许用应力材料的许用应力 (MpaMpa)325提高梁强度的主要
16、措施提高梁强度的主要措施 合理安排梁的支承合理安排梁的支承 1.1.降低最大弯矩数值的措施降低最大弯矩数值的措施 26合理布置载荷合理布置载荷 27合理布置载荷合理布置载荷 282.2.合合理理选选择择梁梁的的截截面面,用用最最小小的的截截面面面面积积得得到到大的抗弯截面模量。大的抗弯截面模量。形状和面积相同的截面,采用不同的放置方式。形状和面积相同的截面,采用不同的放置方式。29面积相等而形状不同的截面,其抗弯截面模面积相等而形状不同的截面,其抗弯截面模量不相同量不相同。面积相等时,工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大,面积相等时,工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大,空心圆截面次之,实心圆截面的抗弯截
17、面模量最小,空心圆截面次之,实心圆截面的抗弯截面模量最小,承载能力最差承载能力最差。2.2.合合理理选选择择梁梁的的截截面面,用用最最小小的的截截面面面面积积得得到大的抗弯截面模量。到大的抗弯截面模量。提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施 截面形状应与材料特性相适应。截面形状应与材料特性相适应。对抗拉和抗压强度相等的对抗拉和抗压强度相等的塑性材料塑性材料,宜采用中性轴对,宜采用中性轴对称的截面,如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小称的截面,如圆形、矩形、工字形等。对抗拉强度小于抗压强度的于抗压强度的脆性材料脆性材料,宜采用中性轴偏向受拉一侧,宜采用中性轴偏向受拉一侧的截面形状。的截面形状。
18、303.3.采用等强度梁采用等强度梁 等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的,等截面梁在弯曲时各截面的弯矩是不相等的,如果以最大弯矩来确定截面尺寸,则除弯矩最大如果以最大弯矩来确定截面尺寸,则除弯矩最大的截面外,其余截面的应力均低于弯矩最大的截的截面外,其余截面的应力均低于弯矩最大的截面,这时材料就没有得到充分利用,为了减轻自面,这时材料就没有得到充分利用,为了减轻自重,并充分发挥单位材料的抗弯能力,可重,并充分发挥单位材料的抗弯能力,可使梁截使梁截面沿轴线变化,以达到各截面上的最大正应力都面沿轴线变化,以达到各截面上的最大正应力都近似相等近似相等,这种梁称为,这种梁称为等强度梁等强度梁。但等
19、强度梁形。但等强度梁形状复杂,不便于制造,所以工程实际中往往制成状复杂,不便于制造,所以工程实际中往往制成与等强度梁相近的变截面梁。如一些建筑中的外与等强度梁相近的变截面梁。如一些建筑中的外伸梁,做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的伸梁,做成了由固定端向外伸端截面逐渐减小的形状,较好地体现了等强度梁的概念。而机械中形状,较好地体现了等强度梁的概念。而机械中的多数圆轴则制成了变截面的阶梯轴。的多数圆轴则制成了变截面的阶梯轴。31弯矩图的规律弯矩图的规律 1.梁梁受受集集中中力力或或集集中中力力偶偶作作用用时时,弯弯矩矩图图为为直直线线,并并且且在在集集中中力力作作用用处处,弯弯矩矩发发生生转转折折;在在集集中中力力偶偶作作用用处处,弯弯矩矩发发生生突突变变,突突变变量量为为集集中中力力偶的大小。偶的大小。2.2.梁梁受受到到均均布布载载荷荷作作用用时时,弯弯矩矩图图为为抛抛物物线线,且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。3.3.梁的两端点梁的两端点若无集中力偶作用,则端点处的若无集中力偶作用,则端点处的弯矩为弯矩为0 0;若有集中力偶作用时,则弯矩为集中;若有集中力偶作用时,则弯矩为集中力偶的大小。力偶的大小。32333435力学测验力学测验n1-6(a)n2-9(f)n4-9n5-9n6-8n7-436
限制150内