概率论与数理统计-6-1数理统计基本概念ppt课件.ppt

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1、数 理 统 计 学 StatisticsStatistics 数理统计数理统计是运用概率论的知识，研究如何有效是运用概率论的知识，研究如何有效地对带有随机性的自然及社会现象进行数据收集、地对带有随机性的自然及社会现象进行数据收集、整理、分析和推断、预测的学科。整理、分析和推断、预测的学科。第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布数理统计的基本概念一、总体和样本一、总体和样本二、统计量及其分布二、统计量及其分布将将研究对象的研究对象的某项数量指某项数量指标标的值的全体称为的值的全体称为总体总体,总体总体中的每个元素称为中的每个元素称为个体个体整体和个体整体和个体一一、总体与样本、总体与样本某批

2、某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体该批灯泡寿命的全体就是总体就是总体国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量国产轿车每公里耗油量的国产轿车每公里耗油量的全体就是总体全体就是总体1 1 随机样本随机样本 一般地，我们所研究的一般地，我们所研究的总体总体，即研究对象的某项数量指，即研究对象的某项数量指标标 X,它的取值在客观上有一定的分布，它的取值在客观上有一定的分布，X是一个随机变量是一个随机变量我们对总体的研究就是对相应的我们对总体的研究就是对相应的r.v X的分布的研究。的分布的研究。X的分的分布函数和数字特征分别称为总体的分布函数和数字特征。布函数和数字特征分别称为总体的分布函

3、数和数字特征。总体总体r.v X 例如，考察某工厂例如，考察某工厂10月份生产的灯泡的寿命所组成的总月份生产的灯泡的寿命所组成的总体。灯泡寿命落在各个时间区间内有一定的百分比，如灯泡体。灯泡寿命落在各个时间区间内有一定的百分比，如灯泡寿命落在寿命落在1000小时小时1300小时的占灯泡总数的小时的占灯泡总数的85，落在，落在1300小时小时1800小时的占灯泡总数的小时的占灯泡总数的5，。即灯泡寿命的取值有一定的分布。即灯泡寿命的取值有一定的分布。为推断总体的形态而从总体中抽取部分个体的过程称为推断总体的形态而从总体中抽取部分个体的过程称为为“抽样抽样”，所抽取的部分个体称为，所抽取的部分个体

4、称为样本样本.样本中个体样本中个体的数目称为的数目称为样本容量样本容量.2.样本样本从国产轿车中抽从国产轿车中抽5辆进行辆进行耗油量试验耗油量试验 样本是随机变量样本是随机变量.抽到哪抽到哪5辆是随机的，辆是随机的，容量为容量为n的样本可以看作的样本可以看作n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn).样本容量为样本容量为5注注:1 在抽取或观察每个个体之前，在抽取或观察每个个体之前，X X1 1,X,X2,2,X,Xn n都是未知的，因而都是未知的，因而它们都是随机变量，它们都是随机变量，(X X1 1,X,X2,2,X,Xn n)为为n n维维随机变量随机变量2当当n次抽取或观察一经完成，我

5、们就得到一组实数（次抽取或观察一经完成，我们就得到一组实数（x1,x2,xn),称其为称其为样本观察值或样本值样本观察值或样本值2.独立性独立性：由于抽样的目的是为了对总体的分布规律进行各种分析推由于抽样的目的是为了对总体的分布规律进行各种分析推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法样方法.最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，抽取的样，抽取的样本本(X1,X2,Xn)称为称为简单随机样本简单随机样本1.代表性代表性：每次抽取或观察独立进行，其结果不受其它抽取或每次抽取或观察独立

6、进行，其结果不受其它抽取或观察结果的影响观察结果的影响.每个每个Xi都是都是X的一个代表，的一个代表，X的一个复制品。的一个复制品。注：注：若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为则其简单随机样本的联合分布函数为F(x1)I I F(x2)I I I I F(xn)在上述条件之下，在上述条件之下，r.v X1,X2，Xn独立且与独立且与X X有相同的分布有相同的分布有限总体时，采用放回抽样所得的样本才是简单随机样有限总体时，采用放回抽样所得的样本才是简单随机样本，今后只讨论简单随机样本本，今后只讨论简单随机样本除除具有随机性具有随机性，还满足，还满足:*样

7、本的定义样本的定义&简单随机抽样的定义简单随机抽样的定义获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如：如：我们从某班大学生中抽取我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到人测量身高，得到10个数，它们是个数，它们是样本取到的值而不是样本样本取到的值而不是样本.我们只能观察到随机变量取的值而我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量见不到随机变量.3.总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系统计方法具有统计方法具有“部分部分推断整体推断整体”的特征的特征.总体（

8、理论分布）总体（理论分布）？样本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的统计是从手中已有的有限有限的资料的资料-样本值，去推断总体的样本值，去推断总体的情况情况-总体分布总体分布F(x)的性质的性质.样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁统计量及其分布统计量及其分布注意注意:例例 设设(X1,X2)是从总体是从总体 XN(,2)中抽取的一个容量为中抽取的一个容量为2的样本的样本,其中其中 为未知参数为未知参数,则则1 1、统计量定义、统计量定义 不含任何未知参数的样本的函数称为统计量不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全它是完全由样本决定的量由样本决定的量.X1/,统计量是独立同分布

9、随机变量统计量是独立同分布随机变量X X1 1,X,X2,2,X,Xn n的函数的函数,因而因而它也是一个随机变量它也是一个随机变量.抽样分布抽样分布2 2、几种重要的统计量、几种重要的统计量（样本数字特征）（样本数字特征）设设（X1,X2,Xn）为总体为总体X的样本，则的样本，则样本均值样本均值样本方差样本方差样本标准差样本标准差样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩样本样本 k 阶中心矩阶中心矩=niiXnX11解解 设设25瓶洗净剂灌装量为瓶洗净剂灌装量为，它们是来自均值为，它们是来自均值为方差为方差为1的总体的样本，现在需要计算的是事件的总体的样本，现在需要计算的是事件的概率，根据性质的概

10、率，根据性质(2)有有对于装对于装25瓶的一箱而言，平均每瓶灌装量与标定值之差不超过瓶的一箱而言，平均每瓶灌装量与标定值之差不超过0.3毫升的概率近似为毫升的概率近似为0.8664.例例1 1某公司用机器向瓶子里灌装液体洗净剂，规定每瓶装某公司用机器向瓶子里灌装液体洗净剂，规定每瓶装毫升，但实际灌装量有一定的波动，假定灌装量服从正态分布毫升，但实际灌装量有一定的波动，假定灌装量服从正态分布,方差方差瓶洗净剂的平均每瓶灌装量与标定值瓶洗净剂的平均每瓶灌装量与标定值的概率是多少？的概率是多少？=1，如果每箱装，如果每箱装25瓶这样的洗净剂，试问这瓶这样的洗净剂，试问这相差不超过相差不超过0.3毫升

11、毫升设总体设总体XN(,2),X1,X2,Xn为取自该总体为取自该总体X的样本的样本.几种常用统计量几种常用统计量几种常用统计量几种常用统计量及常用及常用及常用及常用分布分布分布分布 标准正态分布及其上侧标准正态分布及其上侧分位数分位数若若P(Zz)=,则称则称z为标准正态分布为标准正态分布的的上侧上侧分位数分位数.zX(x)其中其中 定义定义 设设XN(,2),则则 N(0,1),对任意对任意01,正态总体下的常用统计量及其分布正态总体下的常用统计量及其分布设设X XN(N(,2 2),(X),(X1 1,X,X2 2X Xn n)是它的一个样本是它的一个样本,那么有那么有统计量的分布统计量

12、的分布(随机变量函数的分布随机变量函数的分布)又称抽样分布又称抽样分布证证:由概率论的知识知由概率论的知识知,服从正态分布服从正态分布.样本均值样本均值 的分布的分布（一）统计三大分布（一）统计三大分布记为记为分布分布（1)1)定义定义:设设 相互独立相互独立,且都服从正态分布且都服从正态分布N(0,1),N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：服从自由度为服从自由度为 n n 的的 分布分布.xy0 xy0 n=1 n=4xy0 n=10概率密度概率密度函数图象函数图象3 3、常用统计量及其分布、常用统计量及其分布性质性质性质性质:设设Y Y1 1 2 2(n(n1 1),),Y Y2 2

13、 2 2(n(n2 2),),且且Y Y1 1,Y Y2 2相互独立相互独立,则则 Y Y1 1+Y+Y2 2 2 2(n(n1 1+n n2 2),(),(可加性）可加性）(此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形.).)证明证明 2分布的上分布的上 分位点分位点的点的点 为为 2 2(n)n)分布的上分布的上 分位点分位点.,对于给定的正数对于给定的正数(0(0 1),+ndyyfnP2)(22 n=n=1概率概率密度密度函数函数图象图象1)图形关于图形关于t=0对称对称;2)t分布的的极限是标准正态分布的的极限是标准正态 分布分布,即即事实上事实上,当当n30

14、时时,两者就非常接近了两者就非常接近了.注：注：当当n充分大时，充分大时，t 分布近似分布近似N(0,1)分布分布.但对于较但对于较小的小的n，t分布与分布与N(0,1)分布相差很大分布相差很大.服从自由度为服从自由度为n的的t t分布分布,记为记为T T t(t(n).).又称又称StudentStudent分布分布.（2)t 分布分布定义定义上上 分位点分位点t t (n)n)还有性质：还有性质：当当n n 4545时时,查表查表P P303303附表附表4 4当当n45n45时时,可利用可利用N(0,1)N(0,1)近似近似,即即 t t (n)n)Z Z ,t t1-1-(n)=-t(

15、n)=-t(n)(n)例例 X t(n)T(n)t t分布的上分布的上 分位点分位点t t (n)n):对于给定的对于给定的(0(0 1),1),称满足称满足 条件条件的点的点t t(n)n)为为t t分布的上分布的上 分位点。分位点。F F分布的上分布的上 分位点分位点:可查可查P P305305附表附表6,6,如如F F0.010.01(10,15)=3.8.(10,15)=3.8.(0 1)的点的点F(n1,n2)为为F分布的上分布的上 分位点分位点.定义定义:设设U U 2 2(n(n1 1),),VV 2 2(n(n2 2),),且且U U与与V V相互独立相互独立,则称则称 r.v

16、服从自由度为服从自由度为(n1,n2)的的F分布分布.（3)F分布分布F F分布的上分布的上 分位点有性质分位点有性质:1、若若XN（，2），），(X1,X2Xn)为其样为其样本，本，与与S2相互独立相互独立，四、几个重要结论四、几个重要结论分别为样本均值与样本方差，则有分别为样本均值与样本方差，则有的证明从略。的证明从略。的证明如下：的证明如下：证明证明：从而由从而由t分布的定义得分布的定义得例例2 在研究设计导弹发射装置时，弹着点偏离目标中心的距离服在研究设计导弹发射装置时，弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布从正态分布 ，这里，这里 =100米米2，现在进行了，现在进行了25次发射试次发

17、射试验，验，表示这表示这25次试验中弹着点偏离目标中心距离的样本方差，次试验中弹着点偏离目标中心距离的样本方差，试求试求 超过超过50米米2的概率的概率.解解 根据上述重要结论也即本定理根据上述重要结论也即本定理6.16.1知：知：于是于是超过超过50米米2的概率为的概率为0.975、设总体设总体X X N N（1 1，2 2），），Y Y N N（2 2，2 2）而而 (X X1 1,X,X2 2X Xn1n1)和和(Y Y1 1,Y,Y2 2Y Yn2n2)分别是取自总体分别是取自总体X X和和Y Y的的 样本，样本，X X与与Y Y相互独立相互独立,则有则有、设总体设总体X X N N（

18、1 1，2 21 1），），Y Y N N（2 2，2 22 2）而而(X X1 1,X,X2 2X Xn1n1)和和(Y Y1 1,Y,Y2 2Y Yn2n2)分别是取自总体分别是取自总体X X和和Y Y的的样本，样本，S S1 12,2,S S2 22 2分别表示它们的样本方差分别表示它们的样本方差,且且X X与与Y Y相互相互独立独立,则则例例3 设设是来自正态总体是来自正态总体的样本，问统计量的样本，问统计量服从什么分布？服从什么分布？解解 因为因为 ，故，故，由，由分布的定义知：分布的定义知：，而而所以所以 例例4 设总体设总体X服从正态分布服从正态分布N(,2),从中抽取容量为从中

19、抽取容量为16的的样本样本,试在试在:1)1)已知已知 2 2=25,2)=25,2)2 2未知未知,但已知样本方差但已知样本方差S S2 2=20.8=20.8的情况下的情况下,求样本均值求样本均值 与总体均值与总体均值 之差的绝对值小于之差的绝对值小于2 2的概率的概率.解解:1)由统计量由统计量2)由于由于 2 2未知未知,但但S S2 2=20.8=20.8,这时统计量这时统计量于是于是小小结结一一、基本概念、基本概念总体、个体、抽样、样本、样本值、简单随机样本总体、个体、抽样、样本、样本值、简单随机样本二、统计量及其分布二、统计量及其分布作业作业 P P129 129 1,3,4,6

20、 1,3,4,6 预习预习2 2 点估计点估计 解解:1)1)由于统计量由于统计量思考题思考题:设总体设总体X X服从正态分布服从正态分布N(N(,2 2),),从中抽取容量为从中抽取容量为1616的样的样 本本,试在试在 1)1)已知已知 2 2=25,=25,2)2)2 2未知未知,但已知样本方差但已知样本方差S S2 2=20.8=20.8的情况下的情况下,求样本均值与总体均值求样本均值与总体均值 之差的绝对值小于之差的绝对值小于2 2的概率的概率.解解:2):2)因因 2 2未知未知,但但S S2 2=20.8=20.8,这时统计量这时统计量于是于是思考题思考题:设总体设总体X X服从

21、正态分布服从正态分布N(N(,2 2),),从中抽取容量为从中抽取容量为1616的样的样 本本,试在试在 1)1)已知已知 2 2=25,=25,2)2)2 2未知未知,但已知样本方差但已知样本方差S S2 2=20.8=20.8的情况下的情况下,求样本均值与总体均值求样本均值与总体均值 之差的绝对值小于之差的绝对值小于2 2的概率的概率.（1)1)样本均值的分布样本均值的分布 设设X XN(N(,2 2),(X),(X1 1,X,X2 2,X,Xn n)是它的一个样本是它的一个样本,那么有那么有证证:由概率论的知识知由概率论的知识知,服从正态分布服从正态分布.（二）单个正态总体（二）单个正态

22、总体（2 2）样本方差的分布样本方差的分布 若若X XN(N(，2 2),),(X X1 1,X,X2 2X Xn n)为其样本为其样本，分别为样本均值与样本方差，则有分别为样本均值与样本方差，则有与与与与S S S S2 2 2 2相互独立。相互独立。相互独立。相互独立。从而由从而由t t分布的定义即得分布的定义即得（3 3）设总体设总体X X N N（1 1，2 2），），Y Y N N（2 2，2 2），），且且 X X与与Y Y相互独立相互独立,(X X1 1,X,X2 2X Xn1n1)和和(Y Y1 1,Y,Y2 2Y Yn2n2)分别是取自总体分别是取自总体X X和和Y Y的的 样本，则有样本，则有（三）两个正态总体（三）两个正态总体当当n1=n2=n时，有时，有（4 4）