基本不等式知识点归纳.pdf
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1、如有你有帮助,请购买下载,谢谢!基本不等式知识点归纳1基本不等式ab ab2(1)基本不等式成立的条件:a 0,b 0.(2)等号成立的条件:当且仅当a b时取等号探究1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义?提示:当a b时,仅当a b时,ababab取等号,即a b ab.22ababab取等号,即ab a b.222几个重要的不等式3算术平均数与几何平均数设a 0,b 0,则a,b的算术平均数为平均数不小于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x 0,y 0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x y时,x y有最小值是2p.(简记:积定和最小)ab,几何平均数为ab,基本不
2、等式可叙述为:两个正实数的算术2p2.(简记:和定积最大)(2)如果和x y是定值p,,那么当且仅当x y时,xy有最大值是4探究2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理?提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解例如,y x性,易知x 2时ymin1在x 2时的最小值,利用单调x5.2自测牛刀小试1已知m 0,n 0,且mn 81,则mn的最小值为()A18C81B36D243解析:选 A因为m0,n0,所以mn2mn2 8118.2若函数f(x)x1(x 2)在x a处取最小值,则a()x2A1 2 B1 3C3D43已知x 0,y 0,z 0,x y2z 0
3、,则xz的()2y0 页如有你有帮助,请购买下载,谢谢!11A最小值为 8 B最大值为 8 C最小值为D最大值为88 4函数y x1的值域为 _x2的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的x5在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)最小值是_利用基本不等式证明不等式例 1已知a 0,b 0,ab 1,求证:(1)(1)9.12121a1b保持例题条件不变,证明:a b 2.利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、并项,也可乘上一
4、个数或加上一个数,“1”的代换法等1已知a 0,b 0,c 0,求证:bccaab abc.abc利用基本不等式求最值例 2(1)(2012浙江高考)若x 0,y 0,满足x3y 5xy,则3x4y的最小值是()A.2428B.C5552 D6b21,则a 1b2的最大值为_(2)已知a 0,b 0,a 2应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)一正二定三相等“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须
5、验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方1(1)函数y a1x(a 0,a 1)的图象过定点A,若点A在直线mxny 1 0(m,n 0)上,求11的最小值;mn(2)若正数a,b满足ab ab3,求ab的取值范围1 页如有你有帮助,请购买下载,谢谢!利用基本不等式解决实际问题例 3为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2014 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t 0)万元满足x 4k(k为常数)如果不搞促销活动,则该产品的年销2t 1量只能是 1 万件已知2014 年生产该产品的固定投入为6 万元,
6、每生产1 万件该产品需要再投入12 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家 2014 年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;(2)该厂家 2014 年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需再利用基本不等式求得函数的最值;在求函数的最值时,一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求.有些实际问题中,要求最值的量需要用几个变量表示,同时这几个变量满足某个关系式,这时问题就变
7、成了一个条件最值,可用求条件最值的方法求最值.3某种商品原来每件售价为25 元,年销售量 8 万件(1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最高为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元公司拟投入112(x 600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为56浮动宣传费用试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价个技巧公式的逆用运 用 公 式
8、 解 题 时,既 要 掌 握 公 式 的 正 用,也 要 注 意 公 式 的 逆 用,例 如a b 2ab逆 用 就 是22a2b2ab2ab(a 0,b 0),逆用就是ab ()(a,b 0)等,还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条22件等个变形基本不等式的变形个关注利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一
9、次的字母取值存在且一致.2 页如有你有帮助,请购买下载,谢谢!创新交汇基本不等式在其他数学知识中的应用创新交汇基本不等式在其他数学知识中的应用1考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题2解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式,同时要注意基本不等式的使用条件典例(2012湖南高考)已知两条直线l1:y m和l2:y 8(m 0),l1与函数y log2x的图象从左至右2m1相交于点A、B,l2与函数y log2x的图象从左至右相交于点C、D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时,ba的最小值为()A16 2B
10、8 2 C834 D4341本题具有以下创新点(1)本题是对数函数的图象问题,通过分析、转化为基本不等式求最值问题(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合,考查了考生分析问题、解决问题的能力2解决本题的关键有以下几点(1)正确求出A、B、C、D四点的坐标;(2)正确理解a,b的几何意义,并能正确用A、B、C、D的坐标表示;(3)能用拼凑法将m82m1(m 0)化成利用基本不等式求最值的形式1已知x 0,y 0,x,a,b,y成等差数列x,c,d,y成等比数列,则(ab)2cd的最小值是()A0 B1 C2 D42若直线axby2 0(a 0,b 0),被圆x2 y22x4y 1 0截
11、得的弦长为 4,则1a1b的最小值为(A.14 B.2 C.332 2 D.22 23若x 0,y 0,且x y a x y恒成立,则a的最小值是_练习练习一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)1(2012福建高考)下列不等式一定成立的是()Alg(x21)lgx(x 0)Bsin x14sin x 2(x k,kZ)Cx21 2x(xR)D.1x211(xR)2(2012陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a b),其全程的平均时速为v,则()Aa v abBv ab3 页)如有你有帮助,请购买下载,谢谢!C.ab v ab2Dv ab23若a 0,b
12、0,且ln(ab)0,则11的最小值是()ab1A.B1 C4 D84x22(x 1)的最小值是()4(2013淮北模拟)函数y x1A2 32 B2 32 C2 35设a 0,b 0,且不等式 D211k 0恒成立,则实数k的最小值等于()abab0A0 B4 C4 D2BAC 30,若MBC,MCA和MAB6(2013温州模拟)已知M是ABC内的一点,且ABAC2 3,的面积分别为141,x,y,则的最小值是()xy2A20 B18 C16D19二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 3 3 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 1515 分分)7某公司租地建仓库,每月土地占用费
13、y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距车站10 公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站_公里处 8 若a 0,b 0,ab 2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号)ab 1a b 2a2b2 2a2b2 311 2.ab 9(2013泰州模拟)已知x 0,y 0,x2y2xy 8,则x2y的最小值是_三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 3 3 小题,每小题小题,每小题 1212 分,共分,共 3636 分分)10已知a 0,b 0,c 0,
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