初中数学《不等式与不等式组》单元教学设计以及思维导图.pdf

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1、不等式与不等式组适 用 年七年级级所 需 时课内 9 课时，课外 2 课时间主题单元学习概述“不等式与不等式组”主题单元结构包括“相关概念”、“探究性质”、“简单应用”三部分，这与课本的内容安排大体相同。教材的编写顺序是“一元一次不等式（组）及其相关概念，不等式的性质，一元一次不等式（组）的解法及解集的几何表示，利用一元一次不等式分析、解决实际问题。教材以实际问题为例引出不等式及其解集的概念，然后类比一元一次方程，引出一元一次不等式的概念。为进一步讨论不等式的解法，接着讨论了不等式的性质，并运用它们解简单的不等式。在此基础上，教材从一个选择购物商店问题入手，对列、解一元一次不等式作了进一步的讨

2、论，并归纳一元一次不等式与一元一次方程的异同及应注意的问题。教材以突出应用为目的。在教学中我打破教材安排，采用一种专题式设计，主要考虑到知识之间的关联，打破教材的原有安排，把不等式、一元一次不等式（组）等有关的概念放在一起作为专题一集中处理，把不等式性质及其应用作为专题二集中处理，这是考虑到类比一元一次方程的学习，学完概念后，学习一元一次方程的解法然后学习一元一次方程与实际问题。运用类比的方法学习不等式与不等式组。学完一元一次不等式后，就要学习如何解一元一次不等式，很显然要解决这个问题，就要知道解一元一次不等式的依据不等式的性质。因此，将这些内容紧密联系，层层递进，易于激发学生的学习兴趣也有利

3、于帮助学生理解知识之间的联系，展示数学知识的整体性。专题三的简单应用是考虑到学完知识学生喜欢追问：学习这些有什么用处呢?而不等式性质问题恰恰会用到解一元一次不等式（组），而学习解一元一次不等式（组）在实际生活中有什么用处呢？接着学习实际问题与一元一次不等式（组），而且学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能1、了解一元一次不等式（组）及其相关概念；2、理解不等式的性质；3、掌握一元一次不等式（组）的解法并会在数轴上表示解集；4、学会应用一元一次不等式（组）解决有关的实际

4、问题。过程与方法1、通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，在利用它解一元一次不等式（组）的过程中，体会其中蕴涵的化归思想；2、经历“把实际问题抽象为一元一次不等式”的过程，体会一元一次不等式（组）是刻画现实世界中不等关糸的一种有效的数学模型.情感、态度与价值观 1、通过类比一元一次方程的解法从而更好地去掌握一元一次不等式的解法，树立辩证唯物主义的思想方法；2、在利用一元一次不等式（组）解决问题的过程中，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。对应课标1理解不等式、一元一次不等式的概念。2类比等式的性质探索得出不等式的性质3理解掌握不等式的性质，会运用不等式的性质解一元一次不等式（组

5、），会用数值描述不等式（组）的解集。进一步体会数形结合思想。1.举例说明什么是等式？类比说出什么是主 题 单 不等式？元 问 题 2.不等式的符号有哪些？设计3.怎样判断一个式子是否是不等式？4.举例说明什么是一元一次方程，类比说出一元一次不等式的概念。5.学习了等式的相关概念及性质，如何学习不等式？6.在运用不等式性质解不等式时应注意什么？专题 1：不等式与一元一次不等式的感念专题 2：探究不等式的性质专 题 划 专题 3：应用：（应用一元一次不等式（组）分解决实际问题。1）用不等式性质解一元一次不等式。（2）用不等式（组）解决实际问题。专题一不等式与一元一次不等式的定义及相关概念所 需 课

6、课内 1 课时时专题一概述本专题是不等式这一主题的起始专题，进一步学习整个主题的基础。本专题的内容包括不等式的概念，一元一次不等式的概念、不等式的解和不等式的解集，用数轴表示不等式的解集等基础知识本专题的重点不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重点，难点不等式解集的理解与表示是难点。本专题的主要学习活动包括在学生已有知识和经验的基础上，在老师指导下系统准确地提炼出不等式和一元一次不等式的定义；理解并掌握不等式的解和不等式的解集等概念；学生的主要学习成果包括：理解并掌握不等式、一元一次不等式的定义及相关概念，会借助工具（纸、笔、直尺，几何画板软件等）画出数轴表示不等式的解集专题学习目

7、标知识与能力初步了解不等式及不等式的解的意义。能够用不等式表示数量关系，会判断一个数是不是已知不等式的解。过程与方法通过对问题的探索，适当渗透变量知识，让学生发现不等式的解和方程的解的区别。通过经历实际问题中数量关系的分析抽象过程，体会现实世界各种各样的数量关系，有等量关系也有不等量关系。情感、态度、价值观认识到不等式知识在现实生活中的作用，通过讨论、交流的过程体验数学活动充满着探索性和创造性。1、由情景问题引出不等式的概念专 题 问 2、通过类比方程的概念得出不等式一元题设计一次不等式的概念，3、不等式的解和解集怎样定义？所需教学材料和资源常 规 资作图工具（直尺，三角尺等）源教 学 支多媒

8、体教室，撑环境其他纸笔等学习活动设计9.1.1 不等式及其解集教学目标 知识与能力初步了解不等式及不等式的解的意义。能够用不等式表示数量关系，会判断一个数是不是已知不等式的解。过程与方法通过对问题的探索，适当渗透变量知识，让学生发现不等式的解和方程的解的区别。通过经历实际问题中数量关系的分析抽象过程，体会现实世界各种各样的数量关系，有等量关系也有不等量关系。情感、态度、价值观认识到不等式知识在现实生活中的作用，通过讨论、交流的过程体验数学活动充满着探索性和创造性。重点难点 不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重点；不等式解集的理解与表示是难点。教学过程一、情景导入投影 1一辆匀速行

9、驶的汽车在 11：20 时距离 A 地 50 千米，要在 12：00 以前驶过 A 地，车速应该具备什么条件？题目中有等量关系吗？没有。那是什么关系呢？从时间上看，汽车要在 12：00 之前驶过 A 地，则以这个速度行驶 50 千米所用的时间不到 2/3 小时，即汽车驶过 A 地的时间小于 2/3 小时。从路程上看，汽车要在 12：00 之前驶过 A 地，则以这个速度行驶 2/3 小时的路程要超过 50 千米，即汽车 2/3 小时走的路程大于 50 千米。这些是不等关系。二、探究新知：不等式的概念若设车速为每小时 x 千米，你能用一个式子表示上面的关系吗？50/x2/3 或 2/3x5 像这样

10、用“”或“”、“6（5）2m50 成立：76，73，79，80，74.9，75.1，90，6076，79，80，75.1，90 能使不等式 2/3x 50成立。我们把能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解.我们看到不等式的解不是一个，你还能找出这个不等式的其他解吗？它的解到底有多少个？如 77、81、101 等等，所有大于 75 的数都是这个不等式的解，它的解有无数个。一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。如所有大于 75 的数组成不等式2/3x 50的解集，写作 x 7 5，这个解集可以用数轴来表示。o75点击打开链接求不等式的解集的过程叫做解不等式四、能力提升：

11、例题讲解例投影 4在数轴上表示下列不等式的解集：(1)x-1;(2)x-1;(3)x 6的解？哪些不是？4，2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，122、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来：（1）x3 6（2）2x 0。六、归纳总结1、什么是不等式？什么是一元一次不等式？2、什么是不等式的解？什么是不等式的解集？3、怎样表示不等式的解集？作业：1、（1）用不等式表示下列数量关系：a 比 1 大；x 与一 3 的差是正数；x 的 4 倍与 5 的和是负数(2)在4，2，1，0，1，3 中，找出使不等式成立的 x 值：（1）x+5 3，（2）3x 5（3）在数轴上表示下列不等式的解

12、集：x 2 x 3(4)不等式 x b，问题一：如果在两边盘内分别加上等量的砝码 c，那么天平会发生什么变化？如果把砝码 c 拿出来呢？不等式的性质 1如果 ab，那么acbc，acbc这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。点击打开链接问题二：不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？试一试：将不等式 74 两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“”填空：73_43，72_42，71_41，70_40，7（1）_4（1），7（2）_4（2），7（3）_4（3），从中你能发现什么？概括：不等式的性质 2如果 ab，并且 c

13、0，那么acbc。不等式的性质 3如果 ab，并且 c0，那么aca 或 xa 的形式。二、应用举例：例 1：解不等式：（1）x78（2）3x2x-3解（1）不等式的两边都加上 7，不等式的方向不变，所以x7787，得x15（2）不等式的两边都减去 2x（即加上2x），不等号的方向不变，所以3x2x2x32x得x3；（2）2x（3）2，得x6。（2）不等式的两边都除以 2（即乘以1/2），不等式的方向改变，所以2x（1/2）6（1/2），得x3。三、巩固练习：1课本 P60，1、2、32.变式训练：已知：ab，那么：-5a-5b5a-45b-7-a/7-b/7 已知：a b 0，比较下列各对数

14、的大小：a-8 与 b-2 a+3 与 b+9|a|与|b|a2 与 b2四、课堂小结：不等式的 3 个基本性质：1如果 ab，那么 acbc，acbc2如果 ab，并且 c0，那么 acbc。3如果 ab，并且 c0，那么 acbc。五、布置作业：根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 x a 或 x a的形式：（1）x 7 2（2）6 x 5 x 2（3）x -1小明在学了不等式的基本性质这一节后，他觉得很容易；并用很快的速度做了一道填空题，结果如下：(1)若xy，则x zy z;(2)若x0，则3x5x;(3)若xy，则x z 2y z 2;你同意他的做法吗？第二课时：解一元一次不等式一

15、、复习引入：1、举例说出一元一次不等式的概念2、不等式的性质有哪些？二、试一试：解下列不等式（1）x78（2）3x3；（4）2x6。解（1）x7787，x15（2）3x2x2x32xx（3）2，得x6。（4）2x（1/2）6（1/2），得x3。三、例题讲解：解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来：（1）2x14x13；（2）2（5x3）x3（12x）.解（1）2x14x13，2x4x131，2x7.点击打开链接（2）2（5x3）x3（12x），10 x6x36x，3x9，x3.点击打开链接四、综合应用：当 x 取何值时，代数式(x+4)/3 的值比(3x-1)/2 的值大 1？解根据题意，得(

16、x+4)/3(3x-1)/21，2（x4）3（3x1）6，2x89x36，7x116，7x5，得x3；（2）2x1；（3）2（x+1）(3x-2)/2七、课堂小结：1一元一次不等式的概念。2一元一次不等式的解法步骤。八、布置作业：1、解不等式(3x+4)/2-37 的非负整数解.第三课时：解不等式组一、创设问题情景，引入新课：问题：用每分钟可抽 30 吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在 1200 吨到 1500之间，那么大约需要多少时间才能将污水抽完？分析：设需要 x 分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为30 x 吨。由题意，积存的污水在 1200 吨到 1500 吨之间，

17、应有120030 x1500上式实际上包括了两个不等式301200和30 x1500我们把两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：点击打开链接同时满足不等式、的未知数 x 应是这两个不等式解集的公共部分。在数轴上表示这两个不等式的解集（图 13.3.1），可知其公共部分是 40 和50 之间的数（包括 40 和 50），记作 40 x50。这就是所列不等式组的解集。所提问题的答案为：大约需要 40 到 50 分钟才能将污水抽完。点击打开链接概括：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求

18、出它们的公共部分。利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。二、应用举例：例 1：解不等式组：3x-12x+12x8解解不等式，得x2解不等式，得x4在数轴上表示不等式、的解集不等式组的解集是 x4点击打开链接例 2:小明解不等式组点击打开链接的过程如下，他解的是否对？如果不对，指出错在哪一步，并改正过来。因为 5x-34x+2，且 4x+23x-2，所以 5x-33x-2.移项，得 5x-3x-2+3.解得 x1/2.诊断：上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在 x1/2 的条件下，任取一个 x 的值，看是否满足不等式组.如取 x1，将它代入5x-34x+2，得 26（不成

19、立）.可知 x1/2 不是原方程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集.正解：由 5x-34x+2，得 x5.由 4x+23x-2，得 x4.综合 x5 和 x4，得原不等式组的解集为 x5.三、课堂练习：教材 P66：2、3、5解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。点击打开链接四、小结：1一元一次不等式组的概念一元一次不等式组的解集有几种情况，如何确定？评价要点1解一元一次不等式时要写明运用了那条性质2强调运用不等式的性质时，应首先认清该数的数性，在决定是否变号。当系数中含有字母时，应对系数进行分类讨论。注意不等式的三条性质是不等式变形的

20、理论依据。专题三实际问题与一元一次不等式（组）所需课时课内 2 课时专题三概述本专题是不等式这一主题的一个重要专题，体现了不等式等知识在现实生活中的一个具体应用。本专题的内容一元一次不等式与实际问题、一元一次不等式组与实际问题本专题的重点是用一元一次不等式解决实际问题是重点；用一元一次不等式组解决有关的实际问题。难点；正确分析实际问题中的不等关系是难点以及找不等关系本专题的主要学习活动由老师设置的情景问题引导学生将实际问题转化为数学问题，根据题意找题目的不等关系学生的主要学习成果包括：将实际问题转化为数学问题，能根据题意找出题目中的不等关系。专题学习目标知识技能：1列一元一次不等式解应用题。2

21、解不等式在实际问题中的应用。3通过对问题的探索，进行简单的实际应用（不等式组）。过程与方法：1一元一次不等式在实际问题中的应用。2在实际问题中建立一元一次不等式（组）的数量关系。情感态度与价值观：通过自主探索研究实际问题中的数量关系，感受不等式解法的实际应用和数学建摸的思想，体会不等式同样是刻画现实世界的数量关系的重要模型。进一步认识到数学是解决实际问题和进行交流的工具。能积极参与问题的讨论，经历知识的拓展过程，感受数形结合思想解决问题的作用，养成自主探索学习的习惯1说出不等式（组）的概念？专题问题2归纳总结出列一元一次不等式（组）设计解应用题的步骤？所需教学材料和资源常规资源作图工具（直尺，

22、三角尺等）教学支撑多媒体教室，实物投影环境其他练习本、笔学习活动设计第一课时：实际问题与一元一次不等式一、创设情境，指导示范：问题 1：一个工程队原定在10 天内至少要挖土600m3，在前两天一共完成了 120 m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务。问以后几天内，平均每天至少要挖土多少 m3？分析：注意分析题中主要的数量关系，理解关键词“至少”的含义。解：设以后几天平均每天要挖 m3，根据题意得：问题 2：在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20 道题，对于每一道题，答对得10 分，答错或不答扣 5 分，总得分不少于 80 分者通过预选赛。育才中学 25 名学生通过了预选赛，

23、它们分别可能答对了多少道题？实践与探索：试解决这个问题（不限定方法）。你是用什么方法解决的？有没有其他方法？与你的同伴讨论和交流一下。1、2002 年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到 55%，如果到 2008 年这样的比值要超过 70%，那么 2008 年空气质量良好的天数要比2002 年至少增加多少？分析：2002 年北京空气质量良好的天数是多少？用 x表示 2008 年增加的空气质量良好的天数，则 2008年北京空气质量良好的天数是多少？本题的不等关系是什么？2002 年 北 京 空 气 质 量 良 好 的 天 数 是 365 55%;2008 年北京空气质量良好的天数

24、是 x+36555%;不等关系是:2008 年北京空气质量良好的天数366 70%.解：设 2008 年北京空气质量良好的天数比 2002 年增加 x 天，依题意，得（x+36555%）/366 70%去分母，得x+200.5 256.2移项，合并同类项，得x55.45思考：这是本题的答案吗？为什么？本题的答案是什么？不是。因为 x 为正整数。x56答：2008 年北京空气质量良好的天数至少比 2002年增加 56 天。注意：用不等式解应用问题时，要考虑问题的实际意义。例 1 与例 2 中的未知数都应是正整数。2、甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施甲商场的优

25、惠措施是：累计购买 100 元商品后，再买的商品按原价的90收费；乙商场则是：累计购买 50 元商品后，再买的商品按原价的 95收费 顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠？分析：由于甲商场优惠措施的起点为购物 100 元，乙商场优惠措施的起点为购物 50 元，起点数额不同，因此必须分别考虑你认为应分哪几种情况考虑？分三种情况考虑：累计购物不超过 50 元；累计购物超过 50 元但不超过 100 元；累计购物超过100 元。（1）如果累计购物不超过 50 元，则在两店购物花费有区别吗？为什么？没有区别。因为两家商店都没有优惠。（2）如果累计购物超过 50 元但不超过 100 元，则在哪家商店购物

26、花费小？为什么？在乙商店购物花费小。因为乙商店有优惠，而甲商店没有优惠。（3）如果累计购物超过 100 元，那么在哪家商店购物花费小？因为两家商店都有优惠，所以要分三种情况考虑：设累计购物 x 元(x100)，则在甲商店购物花费多少元？在乙商店购物花费多少元？在甲商店购物花费：100+0.9(x-100)元；在乙商店购物花费：50+0.95(x-50)。若在甲商场购物花费小，则50+0.95(x-50)100+0.9(x-100)解之，得x150若在乙商场购物花费小，则50+0.95(x-50)100+0.9(x-100)解之，得x150若在两家商场购物花费相同。50+0.95(x-50)=1

27、00+0.9(x-100)解之，得x=150答：如果累计购物不超过 50 元，则在两店购物花费一样多。如果累计购物超过 50 元但不超过 100 元，则在乙商店购物花费小。若累计购物多于 150 元，在甲商场购物花费小；若累计购物等于 150 元，在两商场购物花费一样多；若累计购物多于 100 元少于 150元，在乙商场购物花费小。三、课堂练习投影 2某校两名教师拟带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司经洽谈，甲公司的优惠条件是一名教师全额收费，其余师生按 7.5折收费；乙公司的优惠条件是全体师生都按 8 折收费若设标价为 a 元，那么哪个公司更优惠？四、课堂小结1、列不等式解应用题

28、与列方程解应用题的步骤相同，所不同的是前者是不等关系，列出的是不等式，后者相等关系，列出的是方程。2、列不等式解应用题的关键是找出不等关系.找不等关系要抓住像“大于”、“不小于”、“超过”、“不足”、“至少”等等表示不等关系的词语。五、布置作业：某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动，行李共有100 件，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共 8 辆，经了解甲种汽车每辆最多能载 40人和 10 件行李，乙种汽车每辆最多能载 30 人和 20件行李。（1）设租用甲种汽车 x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000 元，1800 元，请你选择

29、最省钱的一种方案。2、某校两名教师拟带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司经洽谈，甲公司的优惠条件是一名教师全额收费，其余师生按 7.5折收费；乙公司的优惠条件是全体师生都按 8 折收费若设标价为a 元，那么哪个公司更优惠？第二课时：不等式组与实际问题一、导入新课前面我们用一元一次不等式解决了一些满足一个不等关系的实际问题，事实上，有很多问题满足两个不等关系，这就要用到一元一次不等式组。下面我们就利用一元一次不等式组解决有关的实际问题。二、例题例1投影13 个小组计划在10天内生产500件产品（每天产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产 1 件产品，

30、就能提前完成任务。每个小组原先每天生产多少件产品？分析：“不能完成任务”的数量含义是什么？“提前完成任务”的数量含义是什么？由学生自己独立解答。思考：到此你能知道每个小组原先每天生产多少件产品吗？为什么？每个小组原先每天生产 16 件产品，因为产品的数量是整数，所以x16.答：每个小组原先每天生产 16 件产品.例 2投影 2将若干只鸡放入若干个笼,若每 4 个放一笼,则有 1 只鸡无笼可放;若每 5 个放一笼,则有 1 笼无鸡可放,那么至少有多少只鸡,多少个笼?分析：鸡的数量怎么求？4笼的数量1.你怎样理解“有一笼无鸡可放”？除去无鸡可放的一笼，剩下的最后一笼可能不足 5 只鸡,也可能恰好有

31、 5 只鸡.由此可以得到不等关系：5(笼的数量2)4笼的数量15(笼的数量1).解：设有 y 个笼,根据题意，得5(y-2)4y+15(y-1)解之，得 6y11.思考：笼的个数 y 应满足什么条件？y 是整数，且取范围内的最小值。y64y14625.答：至少有 25 只鸡,6 个笼。三、课堂练习课本 140 面 2 题。四、课堂小结1、列一元一次不等式组解应用题与列一元一次不等式解应用题的思想和步骤是一样的，不同的是前者列出的是两个不等式，而后者列出的是一个不等式。2、列不等式（组）解应用题的关键是找出不等关系.有时题目中含有“大于”、“不小于”、“超过”、“不足”、“至少”等等表示不等关系的词语，有时却没有这样的词语。这时，我们就要抓住具有不等意义的句子加以分析，上面的两例就是这样，要细心地体会。作业：课本 142 面 8；141 面 4、5.评价要点1能否正确将实际问题转化成数学问题2能否正确理解题意中的不等关系3从实际问题转化成数学问题过程中体验转化的数学思想。