福建省惠安惠南中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案.pdf

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1、福建省惠安惠南中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案福建省惠安惠南中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题一、函数的概念与基本初等函数多选题lnx,x 01已知函数f(x)，若函数y f(f(x)a有 6 个不同零点，则实数ax1,x 0的可能取值是（）A0【答案】BD【分析】分别代入各个选项中a的值，选解出f(f(x)a 0中的f(x)，然后再根据数形结合可得出答案.【详解】画出函数f(x)B12C1D13lnx,x 0,x1,x 0的图象：函数y f(f(x)a有零点，即方程f(f(x)a 0有根的问题对于A：当a 0时，f(f(x)0，故f(x

2、)1，f(x)1，故x 0，x 2，x 故方程f(f(x)a 0有 4 个不等实根；对于B：当a 故f(x)当f(x)1，x e，e11时，f(f(x)，2211，f(x)e，f(x)，e21时，由图象可知，有1 个根，2当f(x)e时，由图象可知，有2 个根，当f(x)1e时，由图象可知，有3 个根，故方程f(f(x)a 0有 6 个不等实根；对于C：当a 1时，f(f(x)1，故f(x)0，f(x)e，f(x)1，e当f(x)0时，由图象可知，有2 个根，当f(x)e时，由图象可知，有2 个根，当f(x)1时，由图象可知，有3 个根，e131，3故方程f(f(x)a 0有 7 个不等实根；

3、对于D：当a 时，f(f(x)12故f(x)，f(x)3e，f(x)3，e32当f(x)时，由图象可知，有1 个根，3当f(x)3e时，由图象可知，有2 个根，当f(x)13e时，由图象可知，有3 个根，故方程f(f(x)a 0有 6 个不等实根；故选：BD【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出f(x)的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.2已知fx为定义在R上且周期为 5 的函数，当x0,5时，fx x24x3.则下列说法中正确的是（）Afx的增区间为15k,2 5k35k,5 5k，kZB若y a与y fx在5,7上有 10 个零点，则a的范围是0,1C当

4、x0,a时，fx的值域为0,3，则a的取值范围1,4D若y kx2k 0与y fx有 3 个交点，则k的取值范围为【答案】BC【分析】首先作出fx的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项 B、C；举反例如k 1时经分析可得y kx2k 0与y fx有 3 个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项.1 2,2 3【详解】对于选项 A：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项 B：由图知若y a与y fx在5,7上有 10 个零点，则a的范围是0,1，故选项 B 正确；对于选项 C：f10，f43，由图知当x0,a时，fx的值域为0,3，则

5、a的取值范围1,4，故选项 C 正确；对于选项 D：当k 1时，直线为y x 2过点5,3，fx也过点5,3，当x 10时，y 102 8，直线过点 10,8，而点10,8不在fx图象上，由图知：当k 1时，直线为y x 2与y fx有 3 个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结

6、合的方法求解.3定义域和值域均为a,a的函数y fx和y gx的图象如图所示，其中a c b 0，下列四个结论中正确有（）A方程f gx 0有且仅有三个解C方程f fx 0有且仅有八个解【答案】ABD【分析】B方程g fx 0有且仅有三个解D方程g gx0有且仅有一个解通过利用t fx和t gx，结合函数y fx和y gx的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程y fx，当a y c或c y a，方程y fx只有一解；当y c时，方程y fx只有两解；当c y c时，方程y fx有三解；对于方程y gx，当a y a时，方程y gx

7、只有唯一解.对于 A 选项，令t gx，则方程ft0有三个根t1 b，t2方程gx b、gx 0、gxb均只有一解，所以，方程f gx 0有且仅有三个解，A 选项正确；对于 B 选项，令t fx，方程gt0只有一解t1 b，方程fxb只有三解，所以，方程g fx 0有且仅有三个解，B 选项正确；对于 C 选项，设t fx，方程ft0有三个根t1 b，t20，t3 b，0，t3 b，方程fx b有三解，方程fx 0有三解，方程fxb有三解，所以，方程f fx 0有且仅有九个解，C 选项错误；对于 D 选项，令t gx，方程gt0只有一解t1 b，方程gxb只有一解，所以，方程g gx0有且仅有一

8、个解，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数y f gx的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u gx和外层函数y fu；（2）确定外层函数y fu的零点u uii 1,2,3,（3）确定直线u uii 1,2,3,n；,n与内层函数u gx图象的交点个数分别为a1、an.a2、a3、an，则函数y f gx的零点个数为a1 a2 a34下列函数求值域正确的是（）)Af(x)x1(x2)2的值域为2，x22x2)Bg(x)的值域为2，x1Ch(x)x 1x 1的值域为(0，2x 3的值域为2，2 2Dw(x)1 x【答案】CD【分析】f(x)x1 x2去绝对值结合

9、单调性和图象即可判断选项A；(x1)211讨论x10和x1 0，利用基本不等式求值域可判g(x)(x1)x1x1断选项 B；h(x)x1x1 2利用单调性即可判断选项C；wx定x1x1x 3两边平方可得wx 2(x1)24 4，2，将w(x)1 x 义域为31由于wx0，可得wx值域，可判断选项 D.【详解】22(x1)2 4 4，求出t (x1)的范围即可求wx2x1，x 11 x 2，对于选项 A：原函数化为f(x)x1 x2 3，2x1，x 2)，故选项 A 不正确，其图象如图，原函数值域为3，(x1)211对于选项 B：g(x)，定义域为x|x 1，(x1)x1x1当x 1时，x1 0

10、，此时(x1)所以(x1)1 1 2(x1)2，x1x111 2，当且仅当(x1)即x 2时等号成立，x1x111 2(x1)2，当且仅当x1x1当x 1时，x10，此时(x1)x11即x 0时等号成立，x122，)，故选项 B 不正确；所以函数gx值域为(，)，对于选项 C：h(x)的定义域为1h(x)x1x1 因为y(x1x1)(x1x1)x1x12，x1x1)上是增函数，所以y x 1x 1在x1与y x 1均在1，1，)上是增函数，又y x 1x 1在1，)上恒不等于0，则y 2，)上是减函数，则h(x)的最大值为h12，在1x1x1又因为h(x)0，所以h(x)的值域为(0，2，故选

11、项 C 正确；，对于选项 D：w(x)的定义域为31w(x)1 x x3 1 x x32 1 x x32 1 x x32(1 x)(x3)4 2 x22x3 4 2(x1)24 4，20，2 t 40,4，2 t 4 44,8，设t (x1)，则t4，则w(x)，w(x)的值域为2，2 2，故选项 D 正确，2(x1)24 4 2,2 2故选：CD【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为y|y 0；指数函数的值域为y|y 0；对数函数值域为R

12、；正、余弦函数的值域为1,1；正切函数值域为R；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域；（4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b cx d，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如a2b2 2ab，ab 2 ab，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用判别式求值域，形如2ax bxc2y 或的函数适用；y Ax B ax bxcdx2ex f（8）有界性法：

13、充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域；（9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如Fx afxbfxca 0的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.25下列命题正确的有（）A已知a 0,b 0且ab1，则B3a 4b 12，则1 2ab 22ab2abCy x33x2 x的极大值和极小值的和为6D过A(1,0)的直线与函数y x3 x有三个交点，则该直线斜率的

14、取值范围是1(,2)(2,)4【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2ab的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b3；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与y x x有ab三个交点，即可知h(x)x2 xk有两个零点且x 1不是其零点即可求斜率范围.【详解】A 选项，由条件知b1a且0a1，所以ab 2a1(1,1)，即B 选项，3a 4b 12有a log312，b log412，而1 2ab 2；2ab11 2(log123log124)2；ababC 选项，y 3x26x1中 且开口向上，所以存在两个零点x1,x2且x1 x2 2、1x1x2，

15、即x1,x2为y两个极值点，3所以y1 y2(x1x2)(x1x2)3x1x23(x1x2)2x1x2(x1x2)6；D 选项，令直线为y k(x1)与y x3 x有三个交点，即g(x)(x2 xk)(x1)有三个零点，所以h(x)x xk有两个零点即可222 14k 01，解得k(,2)(2,)4h(1)2k 0故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.6设x表示不超过x的最大整数，如：1.2 1，1.2 2，y x又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取

16、整函数”的描述，正确的是（）AxR，2x 2xBx,yR，若xy，则x y 1CxR，xx 2 12x2D不等式2xx3 0的解集为x|x 0或x 2【答案】BCD【分析】通过反例可得 A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2t2t 3 0的解后可得不等式2xx3 0的解集，从而可判断 D 正确与否.【详解】2对于 A，x 1.5，则2x 3 3,2 x 22 4，故2x 2 x，故 A 不成立.对于 B，x y m，则m x m1,m y m1，故m1 y m，所以x y 1，故 B 成立.对于 C，设x mr，其中mZ,r 0,1，则xx若0 r 11 2m r，2x2m

17、2r，22111，则r 0，2r0，故xx 2x；222若111 r 1，则r 1，2r1，故xx 2x，故 C 成立.2222对于 D，由不等式2xx3 0可得x 1或x故x0或x 2，故 D 正确.故选：BCD【点睛】3，2本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.log51 x,x 17已知函数fx，则方程2x22,x 1（）A8【答案】ABC【分析】以fx1的特殊情形为突破口，解出x 1或3或用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得B7C6D51fx 2 a的实根个数可能为x41或4，将x2看作整体，利

18、5x11x2 0或x2 4，xxlog51 x,x 1作出函数fx的图像，如下：2x22,x 1当a 2时，x故方程fx 112 24或0 x21，xx1 2 a的实数根个数为4；x当a 2时，x故方程fx 1112 24或0 x21或x2 2，xxx1 2 a的实数根个数为6；x当1 a 2时，24 x或2 x1112 4或0 x21或1 x2 2xxx123，x1 2 a的实数根个数为8；x故方程fx 当a 1时，x故方程fx 11112 4或0 x21或x2 1或x2 3，xxxx1 2 a的实数根个数为7；x当0a1时，4 x故方程fx 112 0或3 x2 4，xx1 2 a的实数根

19、个数为2；x当a 0时，x故方程fx 112 0或3 x2 4，xx1 2 a的实数根个数为3；x当a 0时，x故方程fx 故选：ABC【点睛】12 3，x1 2 a的实数根个数为2；x本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.8已知直线y x2分别与函数y ex和y ln x的图象交于点Ax1,y1,Bx2,y2，则下列结论正确的是()Ax1 x2 2Cx1ln x2 x2ln x1 0【答案】ABC【分析】根据互为反函数的性质可得Ax1,y1,Bx2,y2的中点坐标为1,1，从而可判断 A；利用基本不等式可判断 B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可

20、判断C.【详解】函数y e与y ln x互为反函数，则y e与y ln x的图象关于y x对称，xxBex1ex2 2eDx1x2e2将y x2与y x联立，则x 1,y 1，由直线y x2分别与函数y e和y ln x的图象交于点Ax1,y1,Bx2,y2，x作出函数图像：则Ax1,y1,Bx2,y2的中点坐标为1,1，对于 A，由x1 x21，解得x1 x2 2，故 A 正确；2对于 B，ex1ex2 2 ex1ex2 2 ex1x22 e22e，因为x1 x2，即等号不成立，所以ex1ex2 2e，故 B 正确；对于 C，将y x2与y e联立可得x2ex，即ex x2 0，x设fxe

21、x2，且函数为单调递增函数，x11131f0102 10，f e22 e2 0，222故函数的零点在0,上，即0 x1121，由x1 x2 2，则1 x2 2，2x1ln x2 x2ln x1 x1ln x2 x2ln1x1 x1lnx2x2lnx2x1x2lnx20，故 C 正确；对于 D，由x1 x2 2 x1x2，解得x1x21，由于x1 x2，则x1x21，故 D 错误；故选：ABC【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.二、导数及其应用多选题二、导数及其应用多选题x19已知函数f(x)ex,g(x)1n的

22、图象与直线 y=m 分别交于 A B 两点，则（）22Af(x)图像上任一点与曲线 g(x)上任一点连线线段的最小值为2+ln2Bm 使得曲线 g(x)在 B 处的切线平行于曲线 f(x)在 A 处的切线C函数 f(x)-g(x)+m 不存在零点Dm 使得曲线 g(x)在点 B 处的切线也是曲线 f(x)的切线【答案】BCD【分析】利用特值法，在 f(x)与 g(x)取两点求距离，即可判断出A选项的正误；解方程f(lnm)g(2em12)，可判断出B选项的正误；利用导数判断函数y f(x)g(x)m的单调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；设切线与曲线y g(x)相切于点C(n，g(n)，

23、求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D选项的正误进而得出结论【详解】1x1x在函数f(x)e,g(x)1n上分别取点P(0,1),Q(2,)，则|PQ|22217 2ln2（注ln2 0.7），故A选项不正确；217，而21x1f(x)ex，g(x)ln，则f(x)ex，g(x)，22x曲线y f(x)在点A处的切线斜率为f(lnm)m，曲线y g(x)在点B处的切线斜率为g(2e，即m m12)12em12，令f(lnm)g(2em1212e1m2)，即2mem21，则m 满足方程2mem21，2111m使得曲线y f(x)在A处的切线平行于曲线y g(x)在B处

24、的切线，B选项正确；1x1xx构造函数F(x)f(x)g(x)m e lnm，可得F(x)e，22x函数F(x)e x11在(0,)上为增函数，由于F()e 2 0，F（1）e 1 0，ex11t则存在t(,1)，使得F(t)e 0，可得t lnt，2t当0 xt时，F(x)0；当x t时，F(x)0t11F(x)min F(t)etlnm etlnt mln222211113t mln2 2 t mln2ln2 m 0，t2t22函数F(x)f(x)g(x)m没有零点，C选项正确；设曲线y f(x)在点A处的切线与曲线y g(x)相切于点C(n，g(n)，则曲线y f(x)在点A处的切线方程

25、为y m elnm(x lnm)，即y mx m(1lnm)，同理可得曲线y g(x)在点C处的切线方程为y 1n1x ln，n221m 1n，消去n得m(m1)lnmln2 0，2m(1lnm)lnn122令G(x)x(x1)lnxln21x11lnx lnx，则G(x)12xx函数y G(x)在(0,)上为减函数，G（1）10，G(2)1ln2 0，211则存在s(1,2)，使得G(s)lns 0，且s ess当0 x s时，G(x)0，当x s时，G(x)0函数y G(x)在(2,)上为减函数，G(2)517 0，G(8)20ln2 0，221 0有解2由零点存 定理知，函数y G(x)

26、在(2,)上有零点，即方程m(m1)lnmln2m使得曲线y f(x)在点A处的切线也是曲线y g(x)的切线故选：BCD【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题10已知函数fx ln xmx有两个零点x1、x2，且x1 x2，则下列结论不正确的是（）A0 m 1eBx2 x1的值随m的增大而减小Dx2 eC0 x11【答案】C【分析】由fx 0得出m lnxlnx，构造函数gx，利用导数分析函数gx的单调性与xx1e极值，数形结合可判断 ACD 选项的正误；任取m1、m20,，且m1 m2，设g1 g2 m1，其中11

27、 e 2；设g1 g2 m2，其中11 e 2，利用函数gx的单调性结合不等式的基本性质得出2121，可判断 B 选项的正误.【详解】令fx 0，可得m lnxlnx，构造函数gx，定义域为0,，xxgx1ln x.x当0 x e时，gx 0，此时函数gx单调递增；当x e时，gx 0，此时函数gx单调递减.所以，gxmax ge1，如下图所示：e由图象可知，当0 m 1lnx时，直线y m与函数gx的图象有两个交点，A 选项ex正确；当x1时，g x0，由图象可得1x1e，x2e，C 选项错误，D 选项正确；任取m1、m20,，且m1m2，设g1g2m1，其中11e2；设g1g2m2，其中1e11e2.由于函数g x在区间1,e上单调递增，且g1g1，11；函数g x在区间e,上单调递减，且g2g2，22.由不等式的基本性质可得1212，则2121.所以，x2x1的值随m的增大而减小，B 选项正确.故选：C.【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定mg x有两个实根时实数m应满足的条件，并注意g x的单调性、奇偶性、最值的灵活应用另外还可作出函数yg x的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证