线性代数2-2.ppt

《线性代数2-2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数2-2.ppt（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、矩矩阵阵,那么矩阵那么矩阵A A与与B B的的和矩阵和矩阵,记为记为A A+B，规定为规定为:设设 与与 是两个同规模的是两个同规模的一、矩阵的加法一、矩阵的加法第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算定义定义 1 下面讨论矩下面讨论矩阵的阵的加法加法,数乘数乘与与乘法乘法运算以及其运算以及其它矩阵运算。它矩阵运算。（2）（A+B）+C=A+（B+C）;（加法结合律加法结合律）（3）A+0=A，其中是与同规模其中是与同规模的零矩阵。的零矩阵。设设A，B是同规模的矩阵，则是同规模的矩阵，则 （1 1）A A+B=B+A;（加法交换律加法交换律）性质性质1二、数乘矩阵二、数乘矩阵 数数 k k与矩阵与矩

2、阵 的数量乘积矩的数量乘积矩定义定义2 2阵阵,简称为简称为数乘矩阵数乘矩阵，记为，记为 kAkA，规定为规定为:常记常记 (-1)A=-A,-(-A)=A -A-A 又叫做又叫做 A A 的的负矩阵负矩阵。两个矩阵的减法运算可两个矩阵的减法运算可直接定义直接定义或者或者规定规定为为:A-B=A+(-B)设设A,B是同规模的矩阵，是同规模的矩阵，k,l是常数是常数,则则 （1）1A=A；（2）k(lA)=(kl)A；（3）k(A+B)=kA+kB；（4）(k+l)A=kA+lB；（5）kA=0，当且仅当当且仅当k=0或或A=0 性质性质2 设设 是是 矩阵，矩阵，定义定义3 3是是 矩阵，矩阵

3、，矩阵矩阵 ，记为，记为:C=ABC=AB。=三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法*其中其中那么规定矩阵那么规定矩阵A A与与B B的乘积的乘积C C是个是个即即 例例1 1设设 例例2 2求求 AB 故故 解解 只有当只有当第一个矩阵的列数第一个矩阵的列数等于等于第二个矩第二个矩阵的行数阵的行数时，两个矩阵才能相乘。时，两个矩阵才能相乘。例如例如不不存在存在.注意：注意：一般地一般地求求 AB,BA 由此可见，矩阵乘法不满足交换率，即由此可见，矩阵乘法不满足交换率，即ABBA，此时称此时称 A和和B不可交换不可交换。解解 例例3 设设 对有些矩阵，如对有些矩阵，如:例例4此时称此时称 A,BA,B

4、可交换可交换。有有设设求求AB，BA。2）由）由 AB=0，且且 A0，不能得到不能得到 B=0。即说明矩阵乘法即说明矩阵乘法不满足消去律不满足消去律。解解同理同理00=0 0=0 0？由此由此又又看出，看出，A0 且且 B 0，但但有可能有可能 AB=0。换句话说：换句话说：1）由）由 AB=0 不能得到不能得到 A=0 或或 B=0；或或 矩阵乘法不同于数的乘法，它矩阵乘法不同于数的乘法，它不满足交换律不满足交换律和和消去律消去律，应引起足够的注意。，应引起足够的注意。满足以下规律满足以下规律：例如：例如：但是，矩阵乘法恰但是，矩阵乘法恰问题问题：单位：单位矩阵换为矩阵换为对角矩阵对角矩阵

5、，效果效果又如何？又如何？矩阵乘法不同于数的乘法，它矩阵乘法不同于数的乘法，它不满足交换律不满足交换律和和消去律消去律，应引起足够的注意。，应引起足够的注意。1 1、矩阵乘法的、矩阵乘法的结合律结合律：(AB)C=A(BC)AB)C=A(BC)但是，矩阵乘法恰但是，矩阵乘法恰满足以下规律满足以下规律：2 2、数乘与矩阵乘法的结合律：数乘与矩阵乘法的结合律：(kA)B=A(kA)B=A(kBkB)=k(AB)=k(AB)此外此外 3 3、矩阵乘法对加法的矩阵乘法对加法的(左、右左、右)分配律分配律：A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA (B+C)A=BA+C

6、A 这里要注意矩阵的这里要注意矩阵的左乘和右乘左乘和右乘，以及矩阵以及矩阵左提左提取或右提取取或右提取（公因子）意义的不同。公因子）意义的不同。4 4、设、设A A、B B是两个是两个 n n 阶矩阵阶矩阵，则，则|AB|=|A|B|AB|=|A|B|即即方阵乘积的行列式，等于它们行列式的乘积方阵乘积的行列式，等于它们行列式的乘积。例例5 5从而确有从而确有|AB|=|A|B|。=9=9。另一种算法另一种算法：=9 9所以所以 解解求求|AB|AB|。设设并且规定并且规定 。四四.方阵的幂方阵的幂 设设A A为为 n n 阶方阵，阶方阵，。记记 ，则有性质则有性质但是应注意但是应注意:(1)1

7、)(2)(2)A0，但可能但可能 例如例如,设设则则 对对 n 用数学归纳法。用数学归纳法。1)当当 n=1 时，等式显然成立；时，等式显然成立；2)假设当假设当 n=k 时等式成立，则当时等式成立，则当 n=k+1 时，时，有有 例例6 证证 证明证明从而对任意的正整数从而对任意的正整数 n，要证的等式成立。要证的等式成立。综上综上,命题得证。命题得证。把把矩矩阵阵 的的行行和和列列互互换换，所所得得到到的的 矩矩阵阵，称称为为矩矩阵阵 A A 的的转转置置矩矩阵阵。简简五矩阵的转置五矩阵的转置定义定义4 4称称 A A 的转置的转置（Transposed matrix），记作记作 或或 。

8、矩阵转置的矩阵转置的性质性质:由性质（由性质（4 4）可得多个矩阵相乘的转置）可得多个矩阵相乘的转置 (5)A A 为对称矩阵的充要条件是为对称矩阵的充要条件是:A 为反对称矩阵的充要条件是：为反对称矩阵的充要条件是：矩阵矩阵,证证 设设 是是 矩阵矩阵,是是则则 的第的第 i行第行第又又 j 列位置上的元素是列位置上的元素是:从而从而 。,仅证明（仅证明（4）式。）式。求求 。解解因为因为 例例7 7 设设，所以，所以或者或者四、小结四、小结 1 1.熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵的熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵的乘法运算公式与计算方法，了解矩阵乘法的特殊乘法运算公式与计算方法，了解

9、矩阵乘法的特殊性质。性质。2.2.熟练掌握熟练掌握方阵的幂，方阵的幂，矩阵转置的有关公式。矩阵转置的有关公式。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足且矩阵相乘不满足交换律和消去律；交换律和消去律；（1）只有当两个矩阵是同规模矩阵时，才能进）只有当两个矩阵是同规模矩阵时，才能进行加法运算；行加法运算；注意：注意：（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算性质）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算性质不同。不同。五五.思考题思考题 概念性题概念性题成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?思考题解答：思考题解答：由矩阵乘法对加减法的由矩阵乘法对加减法的分配律分配律，有，有故等式成立的充要条件为故等式成立的充要条件为即即A,B是是可交换的可交换的。