华东师范大学茆诗松《概率论与数理统计教程》第5章-统计量及其分布ppt课件.ppt

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1、第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第1 1页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去第五章 统计量及其分布 5.1 总体与样本5.2 样本数据的整理与显示5.3 统计量及其分布5.4 三大抽样分布5.5 充分统计量 第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2 2页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例5.

2、0.15.0.1 某公司要采购一批产品，每件产品不某公司要采购一批产品，每件产品不 是合格品就是不合格品，但该批产品总有一是合格品就是不合格品，但该批产品总有一 个不合格品率个不合格品率 p p。由此，若从该批产品中随。由此，若从该批产品中随 机抽取一件，用机抽取一件，用 x x 表示这一批产品的不合格表示这一批产品的不合格 数，不难看出数，不难看出 x x 服从一个二点分布服从一个二点分布b b(1,1,p p)，但分布中的参数但分布中的参数 p p 是不知道的。一些问题：是不知道的。一些问题：第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31

3、/2022第第3 3页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 p 的大小如何；p 大概落在什么范围内；能否认为 p 满足设定要求（如 p 0.05）。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第4 4页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.1 总体与个体总体与个体总体的三层含义：研究对象的全体；数据；分布第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31

4、/202212/31/2022第第5 5页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例5.1.1 考察某厂的产品质量，以0记合格品，以1记不合格品，则 总体=该厂生产的全部合格品与不合格品 =由0或1组成的一堆数若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率），则该总体可由一个二点分布表示：X 0 1P 1 p p第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第6 6页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇

5、敢地冲出去比如：比如：两个生产同类产品的工厂的产品的总体两个生产同类产品的工厂的产品的总体 分布：分布：X01p0.9830.017X01p0.9150.085第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第7 7页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费 者购买日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？1979年4月17日日本朝日新闻刊登调查报 告指出N(m,(5/3)2)，日产SONY彩电的彩色

6、浓 度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓 度服从(m5,m+5)上的均匀分布。原因在于总体的差异上！第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第8 8页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去图5.1.1 SONY彩电彩色浓度分布图第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第9 9页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地

7、冲出去等级 I II III IV美产 33.3 33.3 33.3 0 日产 68.3 27.1 4.3 0.3表5.1.1 各等级彩电的比例(%)第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第1010页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.1.2 样本样品、样本、样本量:样本具有两重性 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽 取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机 变量，用大写字母 X1,X2,Xn 表示；另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的

8、 观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小 写字母 x1,x2,xn 表示是恰当的。简单起见，无论是样本还是其观测值，样本一般均用 x1,x2,xn 表示，应能从上下文中加以区别。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第1111页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例5.1.35.1.3 啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640 640 克。由于随机性，事实上不可能使得所有的啤酒克。由于随机性，事实上不可能使得所有的啤

9、酒 净含量均为净含量均为640640克。现从某厂生产的啤酒中随机克。现从某厂生产的啤酒中随机 抽取抽取1010瓶测定其净含量，得到如下结果瓶测定其净含量，得到如下结果：641,635,640,637,642,638,645,643,639,640641,635,640,637,642,638,645,643,639,640这是一个容量为这是一个容量为1010的样本的观测值，的样本的观测值，对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量。这样的样本称为这样的样本称为完全样本。完全样本。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/

10、202212/31/2022第第1212页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例5.1.45.1.4 考察某厂生产的某种电子元件的考察某厂生产的某种电子元件的 寿命，选了寿命，选了100100只进行寿命试验，得到只进行寿命试验，得到 如下数据：如下数据：第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第1313页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去表表5.1.25.1.2 100100

11、只元件的寿命数据只元件的寿命数据表5.1.2中的样本观测值没有具体的数值，只有一个范围，这样的样本称为分组样本。寿命范围 元件数 寿命范围 元件数 寿命范围 元件数 (0 24 4 (192 216 6 (384 408 4 (24 48 8 (216 240 3 (408 432 4 (48 72 6 (240 264 3 (432 456 1 (72 96 5 (264 288 5 (456 480 2 (96 120 3 (288 312 5 (480 504 2 (120 144 4 (312 336 3 (504 528 3 (144 168 5 (336 360 5 (528 55

12、2 1 (168 192 4 (360 184 1 552 13第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第1414页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 独立性:样本中每一样品的取值不影响其 它样品的取值-x1,x2,xn 相互独立。要使得推断可靠，对样本就有要求，使样本能很好地代表总体。通常有如下两个要求：随机性:总体中每一个个体都有同等机会 被选入样本-xi 与总体X有相同的分布。样本的要求：简单随机样本第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布

13、华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第1515页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去设总体设总体X X具有分布函数具有分布函数F F(x x),x x1 1,x x2 2,x xn n 为取自该总体的容量为为取自该总体的容量为n n的样本，的样本，则样本则样本联合分布函数联合分布函数为为用简单随机抽样方法得到的样本称为用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本，简单随机样本，也简称也简称样本。样本。于是，样本于是，样本 x x1 1,x x2 2,x xn n 可以看成是可以看成是独立同分

14、布独立同分布(iid iid)的随机变量，的随机变量，其共同分布即为其共同分布即为总体分布。总体分布。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第1616页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去总体分为有限总体与无限总体实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体实际中总体中的个体数大多是有限的。当个体数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种数充分大时，将有限总体看作无限总体是一种合理的抽象。合理的抽象。对无限总体，随机性与独立性容易实现，困难在对无限总体，随

15、机性与独立性容易实现，困难在于排除有意或无意的人为干扰。于排除有意或无意的人为干扰。对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别对有限总体，只要总体所含个体数很大，特别是与样本量相比很大，则独立性也可基本得到是与样本量相比很大，则独立性也可基本得到满足。满足。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第1717页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例5.1.5 设有一批产品共N个，需要进行抽样检 验以了解其不合格品率p。现从中采取不放回 抽样抽出2个产品，这

16、时，第二次抽到不合格 品的概率依赖于第一次抽到的是否是不合格 品，如果第一次抽到不合格品，则而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合而若第一次抽到的是合格品，则第二次抽到不合格品的概率为格品的概率为P(x2=1|x1=1)=(Np1)/(N1)P(x2=1|x1=0)=(Np)(N1)第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第1818页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去显然，如此得到的样本不是简单随机样本。显然，如此得到的样本不是简单随机样本。但是

17、，当但是，当N N 很大时，我们可以看到上述两种很大时，我们可以看到上述两种情形的概率都近似等于情形的概率都近似等于p p。所以当。所以当N N 很大，而很大，而n n不大（一个经验法则是不大（一个经验法则是 n n N N 0.1 0.1）时可以）时可以把该样本近似地看成简单随机样本。把该样本近似地看成简单随机样本。思考：若总体的密度函数为若总体的密度函数为p p(x x)，则其样本的（联，则其样本的（联 合）密度函数是什么？合）密度函数是什么？第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第1919页页火灾袭来时要迅速疏散逃生

18、，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.2.1 经验分布函数5.2 样本数据的整理与显示设 x1,x2,xn 是取自总体分布函数为F(x)的样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1),x(2),x(n)，则称 x(1),x(2),x(n)为有序样本，用有序样本定义如下函数 第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2020页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去则则F Fn n(x x)是一非减右连

19、续函数，且满足是一非减右连续函数，且满足F Fn n()=0)=0 和和 F Fn n()=1)=1由此可见，由此可见，F Fn n(x x)是一个分布函数，是一个分布函数，并称并称F Fn n(x x)为为经验分布函数。经验分布函数。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2121页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例5.2.1 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上 随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）351 347 355 344 351x(

20、1)=344,x(2)=347,x(3)=351,x(4)=354,x(5)=355这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本：第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2222页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去其经验分布函数为由由伯努里大数定律：伯努里大数定律：只要只要 n n 相当大，相当大，F Fn n(x x)依概率收敛于依概率收敛于F F(x x)。0 0，x x 344 344 0.20.2，344 344 x x 347 347F F

21、n n(x x)=0.4)=0.4，347 347 x x 351 351 0.8 0.8，344 344 x x 347 347 1 1，x x 355 355第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2323页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去更深刻的结果也是存在的，这就是格里纹科定理。更深刻的结果也是存在的，这就是格里纹科定理。定理定理5.2.15.2.1（格里纹科定理）（格里纹科定理）设设x1,x2,xn是取自是取自 总体分布函数为总体分布函

22、数为F F(x x)的样本的样本,F Fn n(x x)是其经验分是其经验分 布函数，布函数，当当n n时时，有，有P P supsup F Fn n(x x)F F(x x)0 0 =1=1格里纹科定理表明：格里纹科定理表明：当当n n 相当大时，经验分布函相当大时，经验分布函数是总体分布函数数是总体分布函数F F(x x)的一个良好的近似。的一个良好的近似。经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据，经典的统计学中一切统计推断都以样本为依据，其理由就在于此。其理由就在于此。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2424

23、页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 160 196 164 148 170 160 196 164 148 170 175 178 166 181 162 175 178 166 181 162 161 168 166 162 172 161 168 166 162 172 156 170 157 162 154 156 170 157 162 1545.2.2 频数-频率分布表样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最常用方法之一是给出其常用方法之一是给出其频数分布表频

24、数分布表或或频率分布表。频率分布表。例例5.2.25.2.2 为研究某厂工人生产某种产品的能力，为研究某厂工人生产某种产品的能力，我们随机调查了我们随机调查了2020位工人某天生产的该种产品位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下的数量，数据如下第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2525页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(1)(1)对样本进行分组：对样本进行分组：作为一般性的原则，组数通作为一般性的原则，组数通 常在常在520520个，对

25、容量较小的样本个，对容量较小的样本;(2)(2)确定每组组距：确定每组组距：近似公式为近似公式为组距组距d d=(=(最大观测值最大观测值 最小观测值最小观测值)/)/组数组数;(3)(3)确定每组组限确定每组组限：各组区间端点为各组区间端点为a a0 0,a a1 1=a a0 0+d d,a a2 2=a a0 0+2+2d d,a ak k=a a0 0+kdkd,形成如下的分组区间形成如下的分组区间(a a0 0,a,a1 1,(,(a a1 1,a a2 2,(,(a ak k-1-1 ,a ak k 对这对这2020个数据个数据(样本样本)进行整理进行整理,具体步骤如下具体步骤如下

26、:其中其中a a0 0 略小于最小观测值略小于最小观测值,a ak k 略大于最大观测值略大于最大观测值.第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2626页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去(4)统计样本数据落入每个区间的个数统计样本数据落入每个区间的个数频数，频数，并列出其频数频率分布表。并列出其频数频率分布表。表5.2.1 例5.2.2 的频数频率分布表 组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率(%)1 (147，157 152 4 0.2

27、0 20 2 (157，167 162 8 0.40 60 3 (167，177 172 5 0.25 85 4 (177，187 182 2 0.10 95 5 (187，197 192 1 0.05 100合计 20 1第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2727页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.2.3 样本数据的图形显示一、直方图直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标有三种表示方法：频数，频率，最准确

28、的是频率/组距，它可使得诸长条矩形面积和为1。凡此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并无变化。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2828页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去把每一个数值分为两部分，前面一部分（百位和十位）称为茎，后面部分（个位）称为叶，然后画一条竖线，在竖线的左侧写上茎，右侧写上叶，就形成了茎叶图。如：二、茎叶图数值 分开 茎 和 叶 112 11|2 11 和 2第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东

29、师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第2929页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例5.2.35.2.3 某公司对应聘人员进行能力测试，测试某公司对应聘人员进行能力测试，测试 成绩总分为成绩总分为 150150分。下面是分。下面是5050位应聘人员的测位应聘人员的测 试成绩（已经过排序）：试成绩（已经过排序）：64677072747676798081828283858688919192939393959595979799100100102104106106107108108112112114

30、116118119119122123125126128133我们用这批数据给出一个茎叶图，见下页。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第3030页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去图5.2.3 测试成绩的茎叶图6 4 77 0 2 4 6 6 98 0 1 2 2 3 5 6 8 9 1 1 2 3 3 3 5 6 6 7 7 910 0 0 2 4 6 6 7 8 811 2 2 4 6 8 9 912 2 3 5 6 813 3 第五章第五章

31、 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第3131页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去在要比较两组样本时，可画出它们的背靠背的茎叶图。甲车间 6 2 0 5 6 乙车间8 7 7 7 5 5 5 4 2 1 1 6 6 7 7 8 8 8 7 7 6 6 4 4 2 1 7 2 2 4 5 5 5 5 6 6 6 8 8 9 8 7 6 6 5 3 2 8 0 1 1 3 3 3 4 4 4 6 6 7 7 8 7 3 2 1 0 9 0 2 3 5 8 5 3

32、 0 0 10 7 注意：茎叶图保留数据中全部信息。当样本量较 大，数据很分散，横跨二、三个数量级时，茎叶图并不适用。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第3232页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.3.1 统计量与抽样分布5.3 统计量及其分布当人们需要从样本获得对总体各种参数的认识时，最好的方法是构造样本的函数，不同的函数反映总体的不同特征。定义5.3.1 设 x1,x2,xn 为取自某总体的样 本，若样本函数T=T(x1,x2,xn)中

33、不含有任 何未知参数。则称T为统计量。统计量的分布 称为抽样分布。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第3333页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去按照这一定义：若 x1,x2,xn 为样本，则 以及经验分布函数F Fn n(x x)都是统计量。而当,2 未知时，x1,x1/等均不是统计量。尽管统计量不依赖于未知参数，但是它的分布一般是依赖于未知参数的。下面介绍一些常见的统计量及其抽样分布。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学

34、华东师范大学12/31/202212/31/2022第第3434页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.3.2 样本均值及其抽样分布 定义5.3.2 设 x1,x2,xn为取自某总体的样本，其算术平均值称为样本均值，一般用 表示，即思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？二者结果相同吗？xx=(x1+xn)/n第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第3535页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯

35、、湿被褥勇敢地冲出去定理5.3.2 数据观测值与均值的偏差平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函数中，样本均值的基本性质：定理5.3.1 若把样本中的数据与样本均值之差 称为偏差，则样本所有偏差之和为0，即 最小，其中c为任意给定常数。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第3636页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去样本均值的抽样分布：定理5.3.3 设x1,x2,xn 是来自某个总体的样本，x为样本均值。(1)若总体分布为N(,2)，则xx

36、的精确分布为N(,2/n);(2)若总体分布未知或不是正态分布，但 E(x)=,Var(x)=2,则n 较大时 的渐近分 布为N(,2/n),常记为 。xAN(,2/n)这里渐近分布是指n 较大时的近似分布.第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第3737页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.3.3 样本方差与样本标准差称为样本标准准差。s*=s*2定义5.3.3称为样本方差，其算术平方根在n 不大时，常用 作为样本方差,其算术平方根也称为样本标

37、准差。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第3838页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去在这个定义中，(xi x)2n1称为偏差平方和的自由度。其含义是：x在 确定后,n 个偏差x1x,x2x,xnx能自由取值，因为只有n1个数据可以自由变动，而第n个则不 (xi x)=0.称为偏差平方和，中样本偏差平方和有三个不同的表达式：(xix)2=xi2 (xi)2/n=xi2 nx它们都可用来计算样本方差。思考：分组样本如何计算样本方差？第五章第五章

38、统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第3939页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去样本均值的数学期望和方差，以及样本方差的数学期望都不依赖于总体的分布形式。定理5.3.4 设总体 X 具有二阶矩，即 E(x)=,Var(x)=2 ,x1,x2,xn 为从该总体得到的样本，x和s2 分别是样本均值和样本方差，则E(x)=,Var(x)=2/n,E(s2)=2 第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/20

39、22第第4040页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.3.4 样本矩及其函数 样本均值和样本方差的更一般的推广是样本矩，这是一类常见的统计量。定义5.3.4 ak=(xik)/n 称为样本 k 阶原点矩，特别，样本一阶原点矩就是样本均值。称为样本k阶中心矩矩。特别，样本二阶中心矩就是样本方差。bk=(xi x)k/n第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第4141页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹

40、上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去当总体关于分布中心对称时，我们用当总体关于分布中心对称时，我们用x和和 s刻画样本特征很有代表性，而当其不对称时，刻画样本特征很有代表性，而当其不对称时，只用只用 就显得很不够。为此，需要一些刻画就显得很不够。为此，需要一些刻画分布形状的统计量，如分布形状的统计量，如样本偏度样本偏度和和样本峰度，样本峰度，它它们都是样本中心矩的函数。们都是样本中心矩的函数。样本偏度1反映了总体分布密度曲线的对称性信息。样本峰度2反映了总体分布密度曲线在其峰值附近的陡峭程度。定义：1=b3/b23/2 称为样本偏度，2=b4/b22 称为样本峰度。x和和 s第五章第五章 统计量及其分

41、布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第4242页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.3.5 次序统计量及其分布 另一类常见的统计量是次序统计量。一、定义5.3.7 设 x1,x2,xn 是取自总体X的样本,x(i)称为该样本的第i 个次序统计量，它的取值 是将样本观测值由小到大排列后得到的第 i 个 观测值。其中x(1)=minx1,x2,xn称为该样本 的最小次序统计量，称 x(n)=maxx1,x2,xn为 该样本的最大次序统计量。第五章第五章 统计量及其分布统计量

42、及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第4343页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例5.3.65.3.6 设总体设总体X X 的分布为仅取的分布为仅取0 0，1 1，2 2的离散的离散 均匀分布，分布列为均匀分布，分布列为0 0 1 1 2 2 1/31/3 1/3 1/31/3 1/3我们知道，在一个样本中，x1,x2,xn 是独立同分布的，而次序统计量 x(1),x(2),x(n)则既不独立，分布也不相同，看下例。现从中抽取容量为现从中抽取容量为3 3的样本，其一切可能取值

43、有的样本，其一切可能取值有3 33 3=27=27种，表种，表5.3.65.3.6列出了这些值，由此列出了这些值，由此第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第4444页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 0 1 2 0 1 2我们可以清楚地看到这三个次序统计量的分布是不相同的。可给出的可给出的 x x(1)(1),x x(2)(2),x x(3)(3)分布列如下：分布列如下：0 1 2第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范

44、大学12/31/202212/31/2022第第4545页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布，如，x(1)和x(2)的联合分布列为01207/279/273/27104/273/272001/27x(1)x(2)第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第4646页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去因为 P(x(1)=0,x(2)=0

45、)=7/27 ，二者不等，由此可看出x(1)和 x(2)是不独立的。而 P(x(1)=0)*P(x(2)=0)=(19/27)*(7/27)，第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第4747页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二、单个次序统计量的分布定理5.3.5 设总体X的密度函数为p(x)，分布 函数为F(x)，x1,x2,xn为样本，则第k个 次序统计量x(k)的密度函数为第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学1

46、2/31/202212/31/2022第第4848页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例5.3.7 设总体密度函数为 p(x)=3x2,0 x1.从该总体抽得一个容量为5的样本，试计算 P(x(2)1/2)。解：有两种求法：从古典概型出发；从次序统 计量密度函数出发。例5.3.8 设总体分布为U(0,1)，x1,x2,xn为样 本，试求第 k 个次序统计量的分布。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第4949页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥

47、而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去三、多个次序统计量的联合分布对任意多个次序统计量可给出其联合分布，以两个为例说明：定理5.3.6 在定理5.3.5的记号下，次序统计 量(x(i),x(j),(i j)的联合分布密度函数为第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第5050页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去次序统计量的函数在实际中经常用到。如 样本极差 Rn=x(n)x(1)，样本中程 x(n)x(1)/2。样

48、本极差是一个很常用的统计量，其分布只在很少几种场合可用初等函数表示。第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第5151页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去令 R=x(n)x(1)，由 R 0,可以推出0 x(1)=x(n)R 1 R，则例5.3.9 设总体分布为U(0,1)，x1,x2,xn 为 样本，则(x(n),x(1)的联合密度函数为p1,n(y,z)=n(n1)(zy)n-2,0 y z 1这正是参数为(n1,2)的贝塔分布。第五章第五章 统

49、计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第5252页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去5.3.6 样本分位数与样本中位数样本中位数也是一个很常见的统计量，它也是次序统计量的函数，通常如下定义：更一般地，样本p分位数mp可如下定义：第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第5353页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定理5.

50、3.7 设总体密度函数为p(x)，xp为其p分 位数，p(x)在xp处连续且 p(xp)0，则特别，对样本中位数，当n时近似地有当n 时样本 p 分位数 mp 的渐近分布为第五章第五章 统计量及其分布统计量及其分布 华东师范大学华东师范大学12/31/202212/31/2022第第5454页页火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例5.3.10 设总体为柯西分布，密度函数为p(x,)=1/(1+(x)2),x x +通常，样本均值在概括数据方面具有一定的优势。通常，样本均值在概括数据方面具有一定的优势。但当数据中含有极端值