初中数学同步讲义-9年级-第84讲：解直角三角形(1)(教师版)-.docx

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1、1解直角三角形（1）_1、了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角、边与边、边与角关系解直角三角形；2、通过探讨发现解直角三角形所需的最简条件，使学生体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；3、通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，渗透“数学建模”的思想1 1解直角三角形解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形（2）解直角三角形要用到的关系锐角直角的关系：A+B=90；三边之间的关系：_；边角之间的关系：sinA=A 的对边：斜边=a：c，cosA=A 的邻边：斜边=b：c，tanA=A 的对边：邻边=a：b（a，b

2、，c 分别是A、B、C 的对边）2特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值特指_、_、_角的各种三角函数值sin30=；cos30=；tan30=；sin45=；cos45=；tan45=1；sin60=；cos60=；tan60=；参考答案：参考答案：1.（2）a2+b2=c22.30、45、601.1.解直角三角形解直角三角形中的求边问题中的求边问题【例 1】（2014黑龙江七台河中学期末）已知，在ABC 中，A=45，AC=，AB=+1，则边 BC 的长为【分析】作 CDAB 于点 D构造直角三角形求解【解答】解：作 CDAB 于点 DA=45，AC=，ACD=45，2设 AD=x，则 CD

3、=x由勾股定理得 2x2=2，x=1AB=+1，BD=在 RtBCD 中，BC2=BD2+CD2，BC=2练练 1.1.在ABC 中，B=90，C=30，AB=3（1）求 AC 的长；（2）求 BC 的长【分析】（1）直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半，易得 AC 的长；（2）运用勾股定理或三角函数的定义，易得 BC 的值【解答】解：（1）直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半，故 AC=2AB=6；（2）练练 2.2.如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，AB=AD=6，DEDC 交 AB 于 E，DF 平分EDC 交 BC 于 F，连接 EF（1）证明：EF=CF；

4、（2）当 tanADE=时，求 EF 的长【分析】（1）过 D 作 DGBC 于 G，由已知可得四边形 ABGD 为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明ADEGDC，接着利用全等三角形的性质证明EDFCDF，（2）由 tanADE=根据已知条件可以求出 AE=GC=2设 EF=x，则 BF=8CF=8x，BE=4在 RtBEF 中根据勾股定理即可求出 x，也就求出了 EF【解答】（1）证明：过 D 作 DGBC 于 G由已知可得四边形 ABGD 为正方形，3DEDCADE+EDG=90=GDC+EDG，ADE=GDC又A=DGC 且 AD=GD，ADEGDC，DE=DC 且 AE=GC在

5、EDF 和CDF 中，EDFCDF，EF=CF；（2）解：tanADE=，AE=GC=2BC=8，BE=4，设 CF=x，则 BF=8CF=8x，在 RtBEF 中，由勾股定理得：x2=（8x）2+42，解得 x=5，即 EF=52.2.求直角三角形中的求直角三角形中的三角函数值三角函数值【例 2】（2015河北沧州一中月考）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=8，B=60，BC=12，连接 AC（1）求 tanACB 的值；（2）若 M、N 分别是 AB、DC 的中点，连接 MN，求线段 MN 的长【分析】（1）作梯形的一条高 AE，发现 30的直角三角形 ABE，根据锐角三角

6、函数求得 BE，AE 的长，再进一步求得 CE 的长，从而完成求解过程；（2）显然 MN 是梯形的中位线，主要是求得上底的长即可再作梯形的另一条高，根据全等三角形和矩形的性质求得梯形的上底【解答】解：（1）如图，作 AEBC 于点 E在 RtABE 中，BE=ABcosB=8cos60=4，AE=ABsinB=8sin60=4，CE=BCBE=124=84在 RtACE 中，tanACB=（2）作 DFBC 于 F，则四边形 AEFD 是矩形AD=EF，DF=AEAB=DC，AEB=DFC=90，RtABERtDCF（HL）CF=BE=4，EF=BCBECF=1244=4，AD=4又M、N 分

7、别是 AB、DC 的中点，MN 是梯形 ABCD 的中位线，MN=（AD+BC）=（4+12）=8练练 3.3.如图，在梯形 ABCD 中，A=B=90，AB=，点 E 在 AB 上，AED=45，DE=6，CE=7 求：AE 的长及 sinBCE 的值【分析】（1）在 RtDAE 中，A=90，AED=45，DE=6，根据这些条件利用余弦函数求 AE；（2）在 RtBCE 中，EC=7，再利用（1）的解答结果，根据正弦函数来解答 sinBCE 的值【解答】解：（1）如图，在 RtDAE 中，A=90，AED=45，DE=6，AE=DEcosAED=6cos45=（2）BE=ABAE，在 Rt

8、BCE 中，EC=7，=3.3.解直角三角形解直角三角形【例 3】（2014天津塘沽中学期中）如图，在ABC 中，C=90，B=30，AD 是BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D，且 AB=4，求 AD 的长5【分析】在 RtABC，可求 AC 的值；运用三角函数的定义求解【解答】解：在 RtABC 中，B=30，AC=AB=4=2AD 平分BAC，在 RtACD 中，CAD=30，AD=4练练 4.4.如图，在ABC 中，C=90，点 D、E 分别在 AC、AB 上，BD 平分ABC，DEAB，AE=6，cosA=求（1）DE、CD 的长；（2）tanDBC 的值【分析】（1）由 DE

9、AB，AE=6，cosA=，可求出 AD 的长，根据勾股定理可求出 DE 的长，由角平分线的性质可得 DC=DE=8；（2）由 AD=10，DC=8，得 AC=AD+DC=18由A=A，AED=ACB，可知ADEABC，由相似三角形边长的比可求出 BC 的长，根据三角函数的定义可求出 tanDBC=【解答】解：（1）在 RtADE 中，由 AE=6，cosA=，得：AD=10，由勾股定理得 DE=8BD 平分ABC，DEAB，C=90，角平分线性质得：DC=DE=8（2）方法一：由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18在ADE 与ABC，A=A，AED=ACB，ADEABC 得

10、：=，即=，BC=24，（5 分）得：tanDBC=（6 分）方法二：由（1）得 AC=18，又 cosA=，得 AB=30，6由勾股定理得 BC=24（5 分）得：tanDBC=4 4矩形中矩形中解直角三角形解直角三角形【例 4】（2014山东青岛一中期末）如图，在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，设ADE=，且 cos=，AB=4，则 AD 的长为（）A3BCD【分析】由已知条件可知：AB=CD=4，ADE=ECD=在 RtDEC 中，cosECD=cos=，由此可以求出 CE然后根据勾股定理求出 DE，最后在 RtAED 中利用余弦函数的定义即可求出AD【解答】解：由已知可知：AB=

11、CD=4，ADE=ECD=在 RtDEC 中，cosECD=cos=，即，CE=根据勾股定理得 DE=在 RtAED 中，cos=，即，AD=故选：B练练 5.5.如图，MON=25，矩形 ABCD 的对角线 ACON，边 BC 在 OM 上，当 AC=3 时，AD 长是多少？（结果精确到 0.01）【分析】延长 AC 交 ON 于点 E，即根据等角的余角相等发现ACD=O=25，再运用解直角三角形的知识求解【解答】解：延长 AC 交 ON 于点 E7ACON，OEC=90四边形 ABCD 是矩形，ABC=90，AD=BC又OCE=ACB，BAC=O=25在 RtABC 中，AC=3，BC=A

12、Csin251.27，AD1.275 5梯形中梯形中解直角三角形解直角三角形【例 5】（2015江苏连云港中学期末）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=8，B=60，BC=12，连接 AC（1）求 tanACB 的值；（2）若 M、N 分别是 AB、DC 的中点，连接 MN，求线段 MN 的长【分析】（1）作梯形的一条高 AE，发现 30的直角三角形 ABE，根据锐角三角函数求得 BE，AE 的长，再进一步求得 CE 的长，从而完成求解过程；（2）显然 MN 是梯形的中位线，主要是求得上底的长即可再作梯形的另一条高，根据全等三角形和矩形的性质求得梯形的上底【解答】解：（1）如图，

13、作 AEBC 于点 E在 RtABE 中，BE=ABcosB=8cos60=4，AE=ABsinB=8sin60=4，CE=BCBE=124=8在 RtACE 中，tanACB=（2）作 DFBC 于 F，则四边形 AEFD 是矩形AD=EF，DF=AEAB=DC，AEB=DFC=90，RtABERtDCF（HL）CF=BE=4，EF=BCBECF=1244=4，AD=4又M、N 分别是 AB、DC 的中点，8MN 是梯形 ABCD 的中位线，MN=（AD+BC）=（4+12）=8练练 6 6如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ACAB，AD=CD，cosB=，BC=26求：（1）cosDA

14、C 的值；（2）线段 AD 的长【分析】（1）在 RtABC 中根据已知条件解直角三角形可以求出 cosDAC 的值；（2）因为ADC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质：底边上的中线也是底边的高就可以解题【解答】解：（1）在 RtABC 中，BAC=90，cosB=BC=26，AB=10AC=ADBC，DAC=ACBcosDAC=cosACB=（2）过点 D 作 DEAC，垂足为 E，AD=CD，AC=24，AE=EC=AC=12，又 AD=DC，在 RtADE 中，cosDAE=AD=131如图，在ABC 中，C=90，B=50，AB=10，则 BC 的长为（）9A10tan50 B10c

15、os50 C10sin50D2如图，在ABC 中，点 D 在 AC 上，DEBC，垂足为 E，若 AD=2DC，AB=4DE，则 sinB 等于（）ABCD3如图，在等腰直角三角形 ABC 中，C=90，AC=6，D 是 AC 上一点，若 tanDBA=，则 AD的长是（）AB2C1D24如图，在ABC 中，C=90，B=60，D 是 AC 上一点，DEAB 于 E，且 CD=2，DE=1，则 BC 的长为（）A2BC2D45如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，若 AC=2，AB=3，则 tanBCD 的值为（）ABCD10_1 如图，ABC 中，C=90，AC=16cm，AB

16、 的中垂线 MN 交 AC 于点 D，连接 BD，若 cosBDC=，则 BC=（）A8cm B4cm C6cm D10cm2如图，在ABC 中，A=30，tanB=，AC=，则 AB=（）A4B5C6D73如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上的 D处，那么 tanBAD等于（）A1BCD24如图，在菱形 ABCD 中，ABC=60，AC=4，则 BD 的长为（）ABCD85在 RtABC 中，C=90，AB=13，BC=5，则 tanA=（）ABCD6已知，如图，梯形 ABCD 中，ADBC，B=45，C=120，AB

17、=8，则 CD 的长为（）11AB4CD47如图，在菱形 ABCD 中，ADC=120，则 BD：AC 等于（）A：2B：3C1：2 D：18在 RtABC 中，C=90，当已知A 和 a 时，求 c应选择的关系式是（）Ac=Bc=Cc=atanA Dc=acotA9如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于点 D已知 AC=，BC=2，那么 sinACD=（）ABCD10在ABC 中，C=90，AB=15，sinA=，则 BC 等于（）A45B5CD参考答案参考答案：当堂检测1.【分析】根据三角函数的定义即可求解【解答】解：cosB=，BC=ABcosB=10cos50故选 B2【

18、分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题作 AFBC 于点 F，则有 DEAF根据平行线分线段所成比例关系得三角形边的关系，然后根据三角函数定义进行求解12【解答】解：作 AFBC 于点 F，则有 DEAFAD=2DC，DC：AC=1：3=DE：AF，AF=3DEAB=4DE，sinB=故选 D3【分析】作 DEAB，构造直角三角形，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长【解答】解：作 DEAB 于 E 点tanDBA=，BE=5DE，ABC 为等腰直角三角形，A=45，AE=DEBE=5AE，又AC=6，AB=6AE+BE=5AE+AE=6，AE=，在等腰直角ADE 中，由勾股定

19、理，得 AD=AE=2故选 B4【分析】由已知可求A=30，AC=4，即求 BC=ACtanA=4=【解答】解：在ABC 中，C=90，B=60A=30CD=2，DE=1，AD=2，AC=AD+DC=4，由A=A，DEA=C=90，得ABCADE，=13=BC=故选 B5【分析】证明BCD=A，求 tanA 即可根据三角函数的定义求解【解答】解：由勾股定理知，c2=a2+b2BC=根据同角的余角相等，BCD=AtanBCD=tanA=故选 B家庭作业1【分析】根据垂直平分线性质可知 BD=AD，所以 BD+CD=AC；根据 cosBDC=可求出 BD 和 CD，从而根据勾股定理求出 BC【解答

20、】解：MN 为 AB 的中垂线，BD=AD设 AD=acm，BD=acm，CD=（16a）cm，cosBDC=，a=10在 RtBCD 中，CD=6cm，BD=10cm，BC=8cm故选 A2【分析】作 CDAB 于点 D，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解【解答】解：作 CDAB 于点 D由题意知，sinA=，CD=ACsinA=ACsin30=2=，cosA=，AD=ACcos30=2=314tanB=，BD=2AB=AD+BD=2+3=5故选 B3【分析】根据旋转不变性，BD=BD根据三角函数的定义可得 tanBAD的值【解答】解：由题知，ABD=90，BD=BD=2，tanBAD=

21、故选 B4【分析】由题可知，在直角三角形 BOA 中，ABO=30，AO=AC=2，根据勾股定理可求 BO，BD=2BO【解答】解：在菱形 ABCD 中，AC、BD 是对角线，设相交于 O 点ACBD，AC=4，AO=2ABC=60，ABO=30由勾股定理可知：BO=2则 BD=4故选 B5【分析】由勾股定理易得 AC 的值，进而根据三角函数的定义求解【解答】解：在 RtABC 中，C=90，AB=13，BC=5，由勾股定理得：AC=12则 tanA=故选 A6【分析】作 AEBC 于 E 点，DFBC 于 F 点，则有 AE=DF，sinB=sin45=，由此可以求出DF、AE；15又 si

22、nDCF=sin60=，由此求出 CD【解答】解：如图，分别作 AEBC 于 E 点，DFBC 于 F 点则有 AE=DF，sinB=sin45=，DF=AE=AB=4又sinDCF=sin60=，CD=故选 A7【分析】由菱形的性质知，菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角，可求得ADO，然后根据特殊角的余切值求得对角线一半的比值，即可解答【解答】解：由题可知ADO=ADC=60cotADO=cot60=DO：AO=BD：AC=：3故选 B8【分析】根据三角函数的定义求解【解答】解：在 RtABC 中，C=90，sinA=c=故选：A9【分析】根据勾股定理可求出斜边长易证ACD=B，sinB=【解答】解：在 RtABC 中，AB2=AC2+BC2，AB=3ACD+BCD=90，B+BCD=90，ACD=BsinACD=sinB=故选 A10【分析】根据正弦函数的定义求解16【解答】解：sinA=，AB=15，BC=5故选 B