2021高考数学查缺补漏集中营 分类讨论思想在解题中的应用.doc

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1、-1-20142014 高考数学查缺补漏集中营：分类讨论思想在解题中的应用高考数学查缺补漏集中营：分类讨论思想在解题中的应用一、知识整合一、知识整合1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，

2、不越级讨论。4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。5.含参数问题的分类讨论是常见题型。6.注意简化或避免分类讨论。二、例题分析例 1.一条直线过点（5，2），且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（）A.xy70B.250 xyC.xyxy70250或D.xyyx70250或分析：设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a,当 a=0 时，直线过原点，此时直线方程为yxxy25250，即；当a 0时，设直线方程为xayaa17，则求得，方程为xy70。例 2ABCABC中，已知，求sincoscos1

3、2513分析：由于CAB()coscos()coscossinsinCABABAB因此，只要根据已知条件，求出 cosA，sinB 即可得 cosC 的值。但是由 sinA 求 cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角 A 进行分类。解：051322cosBBABC，且 为的一个内角45901213BB，且sin若 为锐角，由，得，此时AAAAsincos123032若 为钝角，由，得，此时AAAABsin12150180这与三角形的内角和为 180相矛盾。可见A 150-2-coscos()cos()CABAB coscossinsinABAB 32

4、513121213125 326例 3.已知圆 x2+y2=4，求经过点 P（2，4），且与圆相切的直线方程。分析：容易想到设出直线的点斜式方程 y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率 k，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点 P的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点 P 的直线分两种情形：（1）斜率存在时，（2）斜率不存在解（略）：所求直线方程为 3x-4y+10=0 或 x=2例 4.解关于 的不等式：xlog()ax111分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号

5、的不等式。而对数函数的单调性因底数 a 的取值不同而不同，故需对 a 进行分类讨论。解：若，则原不等式等价于a 111110 xaax若，则原不等式等价于0111011111axxaxa综上所述，当时，原不等式的解集为；axax1110当时，原不等式的解集为01111axxa例 5.解不等式 542xxx分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对 x 分类。解：原不等式等价于或xxxxxxxxx05405405402222-3-xxxxx05111421142051或 01

6、14250 xx或 51142x 原不等式的解集为 xx51142例 6.解关于 的不等式：xaxax2110()分析：这是一个含参数 a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数 a 分类：（1）a0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a0 或a0，令TSSnTnnnn1，求 lim。分析：对于等比数列的前 n 项和 Sn 的计算，需根据 q 是否为 1 分为两种情形：当时，；当时，q=1SnaqSaqqnnn11111()另外，由于当时，而已知条件中|limqnqqn100故还需对 q 再次分类讨论。解：当时，qSnaSnann11111()li

7、mlimnTnnnn11当时，qSaqqSaqqnnnn111111111()()TSSqqnnnnn111101lim1nqTn当时，；1111limlim1nnnqqTnnqqq当时，综上所述，知，lim()()nTqqqn10111例 8.设，问方程表示什么曲线？kRk xkykk()()()()848422分析：容易想到把方程变形为，但这种变形需要，且xkykk224814kkkk 848，而且与的正负会引起曲线类型的不同，因此对，()要进行分类：，又注意到kkkkk()()()444888kkkk kk480484080与且表示的曲线是不一样的，因此()还应有一个“分界点”，即，故恰

8、当的分类为，k 644466()()-5-（，），（，）6888解：（1）当 k=4 时，方程变为 4x2=0，即 x=0，表示直线；（2）当 k=8 时，方程变为 4y2=0，即 y=0，表示直线；（）当且时，原方程变为34848122kkxkyk（i）当 k4 时，方程表示双曲线；（ii）当 4k6 时，方程表示椭圆；（iii）当 k=6 时，方程表示圆；（iv）当 6k8 时，方程表示双曲线。例 9.某车间有 10 名工人，其中 4 人仅会车工，3 人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出 6 人完成一件工作，需要车工，钳工各 3 人，问有多少种选派方案？分析：如果先考虑钳工，因有 6

9、 人会钳工，故有 C63 种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从 7 人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类：（1）选出的 6 人中不含全能工人；（2）选出的 6 人中含有一名全能工人；（3）选出的 6 人中含 2 名全能工人；（4）选出的 6 人中含有 3 名全能工人。解：CCCCCCCCCCCCCCCCP4333433132423133323143324133324232 CCCCCCC3343324132323142309或：CCCCCCCC

10、CC33733132633231533343309三、总结提炼分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例：（1）“方程20axbxc有实数解”转化为240bac“”时忽略了了个别情形：当a=0 时，方程有解不能转化为0；（2）

11、等比数列11na q的前项和公式1(1)1nnaqSq中有个别情形：1q 时，公式不再成立，而是 Sn=na1。(3)设直线方程时，一般可设直线的斜率为 k，但有个别情形：当直线与 x 轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为1xyaa，但有个别情形：a=0 时，再-6-不能如此设，应另行考虑。四、强化练习：见优化设计。【模拟试题】一.选择题：1.若aapaaqaapqaa011132，且，则、log()log()的大小关系为（）A.pqB.pqC.pqD.apq1时，；01apq时，2.若Ax xpxxR|()2210，且AR，则实数中的取值范围是（

12、）A.p 2B.p 2C.p 2D.p 4-7-3.设 A=x xaBx axABBa|010，且，则实数 的值为（）A.1B.1C.11或 D.110，或4.设是 的 次方根，则236的值为（）A.1B.0C.7D.0 或 75.一条直线过点（5，2），且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（）A.xy70B.250 xyC.xyxy70250或D.xyyx70250或6.若sincossincos()xxxx nNnn1，则的值为（）A.1B.1C.11或 D.不能确定7.已知圆锥的母线为 l，轴截面顶角为，则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为（）A.122l sinB.122lC

13、.l2sinD.以上均不对8.函数f xmxmx()()231的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为（）A.0，B.，1C.01，D.（，）01二.填空题9.若圆柱的侧面展开图是边长为 4 和 2 的矩形，则圆柱的体积是_。10.若loga231，则 a 的取值范围为_。11.与圆xy2221()相切，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_。12.在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任抽取 5 件，至少有 3 件次品的抽法共有_种（用数字作答）-8-13.不等式322101loglog()aaxxaa且的解集为_。三.解答题：14.已知椭圆的中心在原点，集点在坐

14、标轴上，焦距为2 3，另一双曲线与此椭圆有公共焦点，且其实轴比椭圆的长轴小 8，两曲线的离心率之比为 3：7，求此椭圆、双曲线的方程。15.设 a0 且a 1，试求使方程log()log()aaxakxa222有解的 k 的取值范围。-9-【试题答案】一.选择题1.C2.D3.D4.D5.C6.A7.D8.B提示：1.欲比较 p、q 的大小，只需先比较aaaa3211与的大小，再利用对数函数的单调性。而决定aaaa3211与的大小的 a 值的分界点为使()aa31()()aaaa22110的 a 值：a=1，当 a1 时，aaaa3211，此时log()log()aaaaaa3211，即pq.

15、当0111113232aaaaaaaaaaa时，此时log()log()即pq。可见，不论 a1 还是 0aq。2.若A ，即 ()ppAR240402，时，；若AppAR ，则时，02200可见当 400pp或时，都有AR，故选（D）3.若BABBa，则，此时0若B ，则a 0，BaABBBA1，由知11011011aAaaaa，解得或，故，或4.由是 1 的 7 次方根，可得71；显然，1 是 1 的 7 次方根，故可能 1；若111101267，则，若，则11111726 故选（D）5.设该直线在 x 轴，y 轴上的截距均为 a,-10-当 a=0 时，直线过原点，此时直线方程为yxxy

16、25250，即；当a 0时，设直线方程为xayaa17，则求得，方程为xy706.由sincos(sincos)sincosxxxxxx1102，得，即当时，；当时，sincoscossinxxxx0101于是总有sincosnnxx 1，故选（A）7.当 90时，最大截面就是轴截面，其面积为122l sin；当 90时，最大截面是两母线夹角为90的截面，其面积为122l可见，最大截面积为121222ll或sin，故选（D）8.当m 0时，f xxx()31130，其图象与 轴交点为（，）满足题意当时，再分，两种情形，由题意得mmm000mmmmx xmmm0032001001012或解得或综

17、上可知，mmm0001或或，m 1故选（B）二.填空题9.84或（提示：若长为 4 的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V柱2282)；若长为 2-11-的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V柱1442)）10.0231aa或（提示：对 a 分：011aa与两种情况讨论）11.yxyxxyxy 33220220或或或()()（提示：分截距相等均不为 0 与截距相等均为 0 两种情形）12.4186 种（提示：对抽取 5 件产品中的次品分类讨论：（1）抽取的 5 件产品中恰好有 3 件次品；（2）抽取的 5 件产品中恰好有 4 件次品，于是列式如下：CCCC4346244461=4140+46=4186

18、）13.若a 1，则解集为xaxaxa2334或若01a，则解集为xaxaxa34230或（提示：设logaxttt，则原不等式可简化为 3221解之得2334123341ttxxaa或，即或loglog对 a 分类：a 1时，axaxa2334或；0102334aaxaxa时，或）三.解答题14.解：（1）若椭圆与双曲线的焦点在 x 轴上，可设它们方程分别为xaybabxaybab2222222210100（），()，依题意-12-ccabcacbaacacaababxyxy 13282377632493619412222222222：两曲线方程分别为，（2）若焦点在 y 轴上，则可设椭圆方

19、程为yaxbab222210()双曲线方程为yaxbab2222100()，依题意有cccabcabaacacaabab 13282377632222222：椭圆方程为，双曲线方程为yxyx22224936194115.解：原方程可化为log()logaaxakxaxakxa2222令f xxakg xxaxakxa()()()，且222200则对原方程的解的研究，可转化为对函数f xg x()()、图象的交点的研究下图画出了g x()的图象，由图象可看出-13-y g(x)f(x)g(x)a A1 A2 x-a O a -a（1）当直线f xxakAaA a()()()过点，1200时，与双曲线无交点，此时k 1即当k 1时，原方程无解；（2）当直线f xxakOf x()()过原点（，）时，00图象与双曲线渐近线重合，显然直线与双曲线无交点，即当 k=0 时，原方程无解；（3）当直线f xxak()的纵截距满足 aakaka0或，即01k或k 31时，直线与双曲线总有交点，原方程有解。综上所述，当k ()，（，）时，原方程有解。101