2021中考数学一轮复习（几何篇）15.相似三角形（一）.doc

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1、用心爱心专心115.15.相似三角形（一）相似三角形（一）知识考点：本节知识包括相似三角形的判定定理、三角形相似的判定及应用，这是中考必考内容。掌握好相似三角形的基础知识尤为重要。精典例题：【例 1】如图，点 O 是ABC 的两条角平分线的交点，过 O 作 AO 的垂线交 AB 于 D。求证：OBDCBO。分析：此题不易得到边的比例关系，但 O 点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。由角平分线及三角形内角和定理知：12DAO900，再由 AODO 可得512，而534，从而1234，由13 可得24，于是结论得证。例 1 图 54321ODCBA变式 1 图 OE

2、DCBA例 2 图 FEDCBA变式 1：已知如图，在ABC 中，ADAE，AODE 于 O，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，BO平分ABC。求证：BCBDBO2。变式 2：已知如图（同变式 1 图），在ABC 中，O 为两内角平分线的交点，过点 O 作直线交 AB 于 D，交 AC 于 E，且 ADAE。求证：（1）BDOOEC；（2）CEBDDO2。【例 2】如图，在ABC 中，BAC900，ADBC 于 D，E 为 AC 中点，DE 交 BA 的延长线于 F。求证：ABACBFDF。分析：由于ABC 和FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到

3、对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。证明：ABAC，ADBCRtABDRtCAD，DACBADBDACAB又ADBC，E 为 AC 中点DEAE，DAEADEBADE又FFFADFDB用心爱心专心2DFBFADBD由得DFBFACAB变式：本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢？例 2 变式图 1 FEDCBA例 2 变式图 2 FEDCBA例 3 图 GFEDCBA【例 3】如图，梯形 ABCD 中，ADBC，BECD 于 E，且 BCBD，对角线 AC、BD 相交于 G，AC、BE 相交于 F

4、。求证：FAFGFC2。分析：由于 FG、FA、FC 三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得 BE 是 DC 的垂直平分线，于是连结 FD 得 FDFC，再证FDGFAD即可。探索与创新：【问题一】如图，ACBADC900，AC6，AD2。问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似？略解：AC6，AD2CD222 ADAC要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当 RtABCRtACD 时，有ACABADAC32ADACAB（2）当 RtACBRtCDA 时，有ACABCDAC232CDACAB故当 AB 的长为 3 或23时，这两个直角三角形相似。

5、【问题二】已知如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点，点 Q 在线段 BC 上，设 BQk，是否存在这样的实数k，使得 Q、C、P 为顶点的三角形与ADP 相似，若存在，问题一图 DCBA用心爱心专心3求出k的值；若不存在，请说明理由。略解：假设存在满足条件的实数k，则在正方形 ABCD 中，DC900，由 RtADPRtQCP 或 RtADPRtPCQ 得：CPDPQCAD或CQDPPCAD由此解得：CQ1 或 CQ41，从而0k或43k故当0k或43k时，ADP 与QCP。跟踪训练：一、填空题：1、如图，在ABC 中，P 是边 AB 上一点，连结 CP，使ACPABC

6、 的条件是。2、在直角坐标系中，已知 A（3，0）、B（0，4）、C（0，1），过 C 点作直线l交x轴于 D，使得以点 D、C、O 为顶点的三角形与AOB 相似，这样的直线有条。3、如图，在ABC 中，C900，AC8，CB6，在斜边 AB 上取一点 M，使 MBCB，过 M作 MNAB 交 AC 于 N，则 MN。第 1 题图 PCBA第 3 题图 NMCBA第 5 题图 EDCBA4、一个钢筋三角架长分别为 20cm、50 cm、60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边

7、，则不同的载法有种。5、如图，在锐角ABC 中，BDAC，DEBC，AB14，AD4，BE EC5 1，则 CD。二、选择题：1、下面两个三角形一定相似的是（）A、两个等腰三角形B、两个直角三角形C、两个钝角三角形D、两个等边三角形2、如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 CB 延长线上一点，EA 分别交 CD、BD 的延长线于点 F、G，则图中相似三角形共有（）A、3 对B、4 对C、5 对D、6 对三、解答题：1、如图，在 RtABC 中，B900，ABBEEFFC。求证：AEFCEA。用心爱心专心4选择第 2 题图 FGEDCBA解答第 1 题图 FECBA解答第 2 题图 DFE

8、CBA2、如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，ADDC，DEAC 于 E，交 AB 于 F。求证：AFDADB。3、如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，D900，AB3，DC7，AD15，请你在 AD 上找一点 P，使得以 P、A、B 和以 P、D、C 为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的 P 点有几个？并求出 AP 的长；若不能，请说明理由。4、在边长为 1 的正方形网格中有 A、B、C、D、E 五个点，问ABC 与ADE 是否相似？为什么？由此，你还能找出图中相似的三角形吗？若能，请找出来，并说明理由。跟踪训练参考答案一、填空题：1、ACPB 或APCACB 或ABAPAC2；2、4 条；3、3，5；4、2 种；5、6二、选择题：DD三、解答题：1、设 ABBEEFFCa，B900，AEa222aaEFAE，222aaAEECAEECEFAE且AEFCEAAEFCEA2、证AEDADC，FAECAB，FADDAB3、能，有三个，AP4.5 或214115用心爱心专心54、ABCADE，还有ABDACE。