2021届高考数学大一轮复习（2021-2021高考题库）第2章 第12节 定积分与微积分基本定理 理 新人教A版.doc

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1、12009201320092013 年高考真题备选题库第年高考真题备选题库第 2 2 章章函数函数、导数及其应用导数及其应用第第1212 节节定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理考点考点定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理1（2013 北京，5 分）直线 l 过抛物线 C：x24y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于()A.43B2C.83D.16 23解析：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义、微积分基本定理等基础知识，考查数形结合思想以及考生的运算求解能力由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线 l的方程为 y1，该直线与抛物线在第一象

2、限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是 2201x24 dx2xx312|2083.答案：C2（2013 江西，5 分）若 S1错误错误!x2dx，S2错误错误!1xdx，S3错误错误!exdx，则 S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1解析：本题考查定积分的计算及实数大小的比较，意在考查考生的运算能力S113x3|21831373，S2ln x|21ln 2ln e1，S3ex|21e2e2.722.74.59，所以 S2S1S3.答案：B3（2013 福建，4 分）当 xR，|x|0，T3.答案：35（201

3、2 福建，5 分）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为()A.14B.15C.16D.17解析：阴影部分的面积为10(xx)dx(23x3212x2)|1016，故所求的概率 P3阴影部分的面积正方形 OABC 的面积16.答案：C6（2012 湖北，5 分）已知二次函数 yf(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为()A.25B.43C.32D.2解析：由题中图象易知 f(x)x21，则所求面积为 210(x21)dx2(x33x)|1043.答案：B7（2011 新课标全国，5 分）由曲线 y x，直线 yx2 及 y

4、轴所围成的图形的面积为()A.103B4C.163D6解析：由 y x及 yx2 可得，x4，所以由 y x及 yx2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为错误错误!(xx2)dx(23x3212x22x)|40163.答案：C8（2011 湖南，5 分）由直线 x3，x3，y0 与曲线 ycos x 所围成的封闭图形的面积为()A.12B1C.32D.3解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分33cosxdxsinx|3332(32)3.答案：D9（2010 山东，5 分）由曲线 yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A.112B.14C.13D.712解析：由题可知 yx2，yx3围成的封闭图

5、形的面积为410(x2x3)dx(13x314x4)|101314112.答案：A10.（2010 湖南，5 分）421xdx 等于()A2ln2B2ln2Cln2Dln2解析：421xdxlnx|42ln4ln2ln2.答案：D11(2009福建，5 分)22(1cosx)dx 等于()AB2C2D2解析：22(1cosx)dx220(1cosx)dx2(xsinx)|202(21)2.答案：D12（2011 陕西，5 分）设 f(x)错误错误!若 f(f(1)1，则 a_.解析：显然 f(1)lg10，f(0)0错误错误!3t2dtt3|a01，得 a1.答案：113(2010 福建，14

6、 分)(1)已知函数 f(x)x3x，其图象记为曲线 C.()求函数 f(x)的单调区间；()证明：若对于任意非零实数 x1，曲线 C 与其在点 P1(x1，f(x1)处的切线交于另一点P2(x2，f(x2)，曲线 C 与其在点 P2处的切线交于另一点 P3(x3，f(x3)，线段 P1P2，P2P3与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1，S2，则S1S2为定值；(2)对于一般的三次函数 g(x)ax3bx2cxd(a0)，请给出类似于(1)()的正确命题，并予以证明解：法一：(1)()由 f(x)x3x 得 f(x)3x213(x33)(x33)当 x(，33)和(33，)时，f(x

7、)0；当 x(33，33)时，f(x)0.5因此，f(x)的单调递增区间为(，33)和(33，)，单调递减区间为(33，33)()曲线 C 在点 P1处的切线方程为y(3x211)(xx1)x31x1，即 y(3x211)x2x31.由y3x211x2x31，yx3x得 x3x(3x211)x2x31，即(xx1)2(x2x1)0，解得 xx1或 x2x1，故 x22x1.进而有 S1|2x1x1(x33x21x2x31)dx|(14x432x21x22x31x)|2x1x1|274x41.用 x2代替 x1，重复上述计算过程，可得 x32x2和 S2274x42.又 x22x10，所以 S2

8、27164x410，因此有S1S2116.(2)记函数 g(x)ax3bx2cxd(a0)的图象为曲线 C，类似于(1)()的正确命题为：若对于任意不等于b3a的实数 x1，曲线 C与其在点 P1(x1，g(x1)处的切线交于另一点 P2(x2，g(x2)，曲线 C与其在点 P2处的切线交于另一点 P3(x3，g(x3)，线段 P1P2，P2P3与曲线 C所围成封闭图形的面积分别记为 S1，S2，则S1S2为定值证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线 yg(x)的对称中心(b3a，g(b3a)平移至坐标原点，因而不妨设 g(x)ax3hx，且 x10.类似(1)()的计算可得 S1

9、274ax41，S227164ax410.故S1S2116.6法二：(1)同法一(2)记函数 g(x)ax3bx2cxd(a0)的图象为曲线 C，类似于(1)()的正确命题为：若对于任意不等于b3a的实数 x1，曲线 C与其在点 P1(x1，g(x1)处的切线交于另一点 P2(x2，g(x2)，曲线 C与其在点P2处的切线交于另一点 P3(x3，g(x3)，线段 P1P2，P2P3与曲线 C所围成封闭图形的面积分别记为 S1，S2，则S1S2为定值证明如下：由 g(x)ax3bx2cxd(a0)得 g(x)3ax22bxc，所以曲线 C在点(x1，g(x1)处的切线方程为 y(3ax212bx1c)x2ax31bx21d.由yax3bx2cxd，y3ax212bx1cx2ax31bx21d得(xx1)2a(x2x1)b0，xx1或 xba2x1，即 x2ba2x1，故S1|x1x2ax3bx2(3ax212bx1)x2ax31bx21dx|3ax1b412a3，用 x2代替 x1，重复上述计算过程，可得 x3ba2x2和 S23ax2b412a3.又 x2ba2x1且 x1b3a，所以 S23ax2b412a36ax12b412a3163ax1b412a30，故S1S2116.