2022年宁夏高考数学二轮复习-圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题-新人教A版.doc

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1、BALPOB/圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题我们知道，圆锥曲线一章是高考考查的重要内容之一，而圆锥曲线中的最值问题更是无处不在。在很多教学参考书中，我们都会见到这样的类似问题：椭圆 C 的方程为1121622yx，F1、F2 是它的左右两个焦点，点 A 的坐标为(3,1)，试在椭圆上求一点 P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+2|PF2|最小，并求出相应的最小值。亦可把椭圆改为双曲线或抛物线，同样有类似的问题类似于这样的问题，初学者往往很难作答，即使在老师的讲解和点拨下也不易掌握。根底好的同学还可以理解，一般的同学下次再遇到类似的问

2、题时仍然难以做对，还会出现很多不应有的错误。这里笔者想能过一个实例，给出这种问题的一般解题策略和具体处理方法。关于|PA|+|PF2|最小值的问题，同学们不应该感到陌生。在初中我们曾求过这样的问题：如图，A、B 两点在直线 L 的同侧，试在 L 上求作一点 P，使得|PA|+|PB|最小。相对应的还有一个应用题：A、B 两个小村庄，L 是一条河，今要在河上架设一座大桥，使从 A、B 两村庄铺设到大桥的公路总长最短，应该如何选址？我们知道两点之间的连线中，线段最短，所以|PA|+|PB|AB|显然等号不成立，因为 A、B 在直线 L 的同侧，如果 A、B 两点在 L 的异侧就好了，因为 A、B

3、假设在 L 异侧，线段 AB就与 L 相交，交点即为所求作的 P 点。所以能不能在 L的另一侧找到一点 B/，使得|PB/|总是等于|PB|呢？求作点 B或者 A关于直线 L 的对称点 B/即可。转化思想就是我们解决问题的根本策略。我们只要将同侧的两点转化为异侧的两点，问题就得以解决。比方：请在 L 上再找一点 Q，使得|QA|-|QB|最大？同样道理，|QA|-|QB|总是小于|AB|，如能等于|AB|就行。我们还是转化，异侧两点同侧化，当 Q 为 AB/的延长线与 L 的交点 Q/时，|QA|-|QB|=|QA|-|QB/|AB/|。这里 B 关于 L 的对称点 B/与A 的连线要与 L

4、相交才行，否那么 Q/点不存在我们总结得到：同侧和最小异侧化，异侧差最大同侧化。根据以上分析，我们可以用类比的方法解决圆锥曲线中的类似问题。能不能将椭圆 C 内部同侧的两点 A 或者 F2 转化为一内一外呢？显然无法作出点 A或者F2关于曲线(椭圆)的对称点没听说过，使得|PA|总是等于|PA/|。如图，|PA|+|PF2|总是大于|AF2|，但|PA|-|PF2|还是能够等于|AF2|，作直线 AF2，与椭圆交于 M、N 两点，当 P 运动到图中的 N 点时，|PA|-|PF2|=|AF2|，当 P 运动到图中的 M 点时，|PA|-|PF2|=-|AF2|能不能将|PA|+|PF2|转化为

5、|PA|-|PF2|呢？所以我们给出解决圆锥曲线问题的另一解题策略：回归定义。椭圆的第一定义是：平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹。我们不能将点 A或点 F2转移到椭圆外，但我们可以将 P 到 F2 的距离转化为点 P 到另一 焦 点 F1 的 距 离。因 为|PF1|+|PF2|=2a，所 以|PF2|=2a-|PF1|，于 是|PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2aAF2F1PxyoNMB/ALQOBQOAF2F1PxyoRSAF2F1PxyoMlAF2F1PxyoRSAF2F1PxyoMl要求|P

6、A|+|PF2|的最值，就等价于求|PA|-|PF1|的最值。如图作直线 AF1 交椭圆于 R、S 两点，那么-|AF1|PA|-|PF1|AF1|所以 2a-|AF1|PA|+|PF2|2a+|AF1|将具体数据代入即可求得本文开始时提出的(1)的解答。那么对于(2)又如何解答呢？与(1)相比，就是在|PF2|前多了个系数 2，也只能是 2否那么无解，我们可以用圆锥曲线的统一定义，将同侧内部问题转化为异侧问题来求解。椭圆的第二定义是：平面内到一定点 F2 的距离与到一定直线 l 的距离之比为小于1 的常数的点的轨迹就叫做椭圆。其中定点为焦点，定直线为此焦点相应的准线，小于 1 的常数就是椭圆

7、的离心率 e。如 图，PM l 于 M，那 么ePMPF|2，所 以|PM|=e1|PF2|此题中，椭圆的离心率 e=21，所以|PM|=2|PF2|所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，于是我们将问题转化为从定点 A 到准线 l 的“折线段PA 与 PM 的长的和的问题，也就是说将同侧内部两点的距离和问题转化成了异侧一点一线距离和的问题。显然当 A、P、M 三点共线且垂直于直线 l 时，|PA|+|PM 最小，即直接过 A 作准线 l 的垂直交椭圆于 P 点，那么 P 即为所求作。这种转化看来只适用于形如|PA|+e1|PF2|的最小值的问题。以上我们给出了解决圆锥曲线中这两种最值

8、的解题策略和具体做法，即利用圆锥曲线的定义实现了问题的转化，即同异互化，回归定义。本文开头的问题具体解答如下：(1)由椭圆方程得：a=4,b=23,所以 c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0)因为 P 在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF2|=8-|PF1|所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF1|=|PA|-|PF1|+8过 A、F1 作直线 RS 交椭圆于 R、S 两点，因为|PA|-|PF1|AF1|=26，所以 8-26|PA|+|PF2|8+26当 P 为 S 点时，|PA|+|PF2|的最小值为 8-26当 P 为 R 点时，|PA|+|PF2|

9、的最大值为 8+26(2)易求得椭圆的离心率为 e=21，右准线 l 方程为 x=8过 P 作 l 的 垂 线 交 l 于 M 点，那 么|PM|=e1|PF2|=2|PF2|,所 以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，当 A、P、M 三点共线且垂直于 l 时，|PA|+|PM|最小，且最小值就是点 A 到直线 l的距离。易求得 A 到直线的距离为 5，所以|PA|+2|PF2|的最小值为 5，此时点 P的纵坐标为 1，将 y=1 代入椭圆方程得 x=3332,所以点 P 的坐标为(3332,1).下面我们给出几个题目供同学们练习稳固：1两点 A(4,1)和 B(-1,11)，1试在 x 轴上求一点 P，使得|PA|+|PB|最小。2试在 y 轴上求一点 Q，使得|PA|-|PB|最大。2A(3,1)，双曲线 C 的方程为112422yx，F1、F2 是它的左右两个焦点，试在双曲线 C 上求一点 P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+21|PF2|最小.3A(4,1)，F 为抛物线 y2=4x 的焦点，P 为抛物线上任一点，求|PA|+|PF|最小值。