第四讲基本不等式.pdf
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1、第四讲第四讲基本不等式基本不等式考纲解析考纲解析1了解基本不等式的证明过程,并会用基本不等式证明不等式.2理解基本不等式a bab(a0,b0)等号成立条件,会用基本不等式解决简单的最2a(a 0)(双钩函数)的单调性或有关最值x大(小)值问题,常以选择题或填空题的形式进行考查.3利用基本不等式的思想解决函数f(x)x 问题是考察的重点和热点,应加强训练.考点梳理考点梳理221定理 1:如果a,bR,那么a b2ab(当且仅当a b时取“”)说明:(1)指出定理适用范围:a,bR;(2)强调取“”的条件a ba b(当且仅当时取“=”)2a b为a,b的算术平均数,称说明:(1)定理适用的范围
2、:a,bR;(2)我们称2ab为a,b的几何平均数即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。故基本不a b等式ab(a0,b0)又俗称均值不等式22定理 2:如果a,b是正数,那么(3)求最值:a0,b0,当ab为定值 S 时,a+b 有最小值 2S;当a b为定值 P 时,ab有P2最大值(a 0,b 0),当且仅当a b时取“”.简记为:积定和最小,和定积最大4即利用基本不等式求最值要注意“”三者缺一不可:要求两数必须为正数;求“和”或“积”必须为定值;必须具备“”成立的条件3函数f(x)x a有如下性质:由导数求函数单调区间的方法易得:x如果常数 a0,那么该函数在(0,a上是减函
3、数,在 a,+)上是;在-a,0)上是,在(-,-a上是增函数如果常数 a0,那么该函数在(-,0)及(0,+)都是函数均值不等式是函数f(x)x a(a 0)取得最值时的特例x课前热身课前热身1已知 x0,,则 x1有()xA最大值为 2B最小值为 2 C最大值为2 D最小值为22已知 x0,则x1有()()xA最大值为 2B最小值为 2 C最大值为2 D最小值为23已知 x2,则 x1有()x52A最大值为 2B最小值为 2 C最大值为2 D最小值为4已知 x1,则 x1有()x 1A最大值为 2B最小值为 1 C最大值为1 D最小值为25已知x 0,y 0且满足281,求x y的最小值.
4、xy重难点方法重难点方法1、当积ab为定值时,求和ab最小值11例 1已知 x0,y0,且 3x+4y=12,求 lgx+lgy的最大值及此时 x、y 的值3、灵活运用基本不等式求取值范围.例 3.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是_ 思路点拨:因为 a,b 为正数,通过的不等关系求解听课笔记:归纳点评:本题用了转化思想(等式转化为不等式)、方程思想、函数思想,这是解决数学问题经常用的思想方法变式训练 3:设正数 a,b 满足条件 ab3,求直线(ab)xaby0 的斜率的取值范围4、注意取等号的条件a bab找到 ab 与 a+b 的关系,利用重要不等式2x2 2
5、x 2例 4.函数 y=(x1)的图象最低点坐标是()x 1A.(0,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(3,10)3思路点拨:先配方,分离常数,逆用同分母分式相加法则将式子分割开来,再考虑是否利用均值不等式.因为“一正二定三相等”三者缺一不可.听课笔记:a(a 0)的形式求最值时可考虑用基本不等式,但要注意x1条件的限制,若直接用基本不等式“三相等”(x+1)=得 x=0 不在3,+)内,故得考虑x 1a函数 y=x+的单调性,借助函数的图像解题.x归纳点评:形如函数f(x)x 变式训练 4:求函数 y=x25x 42的最小值5、基本不等式在实际问题中的应用例 5.(2009 湖北卷文)
6、围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元)。()将 y 表示为 x 的函数:2()试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。思路点拨:经审题抽象出数学模型,凑出基本不等式的形式.听课笔记:解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m则y245x180(x2)+1802a=225x+360a360由已知 xa=360,得 a=360,x3602所以 y=225x
7、+360(x0)x3602(II)x0,225x+22253602=10800 x36023602 y 225x 360 10440.当且仅当 225x=时,等号成立.xx即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440 元.变式训练 5:某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,2007 年该乡从甲企业获得利润 320 万元,从乙企业获得利润720 万元.以后每年上交的利润是:甲企2业以 1.5 倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的.根据测算,该乡从两个企业获得的利3润达到 2000 万元可以解决温饱问题,达到 8100 万元可以达到小康水平.(1)若
8、以 2007 年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题?(2)试估算 2015 年底该乡能否达到小康水平?为什么?及时突破1(2009 湖南卷文)若x 0,则x2的最小值为().xA.2 2 B.2 C.2 D.-2 22(2011中山期末)下列结论正确的是()A当x0且x1时,lgx+12lgxB当x2时,x+1的最小值为2xC当x0时,x 112D当0 x 2时,x-无最大值.xx23(2010四川文11)设ab0,则a 11的最小值是()abaab(A)1(B)2(C)3(D)44.(2010 浙江文 15)若正实数 x,y满足
9、2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是 .5.(2010 重庆理数 7)已知 x0,y0,x+2y+2xy=8,求 x+2y 的最小值.(x5)(x2)6.设 x1,求函数 y的最值x1课时训练课时训练一、选择题(每小题一、选择题(每小题 6 6 分,共分,共 3636 分)分)t21.设点P(,1)(t0),则|OP|(O为坐标原点)的最小值是()2tA3 B5 C.3 D.52(2009 天津卷理)设a 0,b 0.若3是 3a与 3b的等比中项,则 A.8 B.4 C.1 D.11的最小值为ab14113(2009 年高考重庆卷)已知 a0,b0,则2 ab的最小值是()abA2 B2
10、 2 C4 D51114若a0,b0,a,b的等差中项是,且 a,b,则 的最小值为2ba()A2 B3 C4 D55(2011三明三校一月联考)设M是ABC内一点,且ABC的面积为 1,定义f(M)(m,n,p),其中m、n、p分别是MBC,MCA,MAB的面积,若f(M)(,x,y),则的最小值是()A8 B9 C16 D181214xy6(2010惠州模拟)某商场中秋前 30 天月饼销售总量f(t)与时间t(0t30)的关系大致满足 f(t)t210t16,则该商场前t天平均售出(如前 10 天的平均售出为少为()A18 B27 C20 D16二、填空题(第小题二、填空题(第小题 6 6
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