直线和圆的方程知识及典型例题.pdf

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1、数学基础知识与典型例题直线和圆的方程直线和圆的方程知识关系直线的方程一、直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率1.直线的倾斜角直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是0 180.2.直线的斜率直线的斜率:倾斜角不是90的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率k,即ktan.注：每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.当 90时，直线l垂直于x轴，它的斜率 k 不存在.y2 y1(x,y)P(x,y)(x x)k tan过两点P、的直线斜率公式11122212x2 x1二、直线方程的五种形式及适用条件直

2、线方程的五种形式及适用条件名称斜截式点斜式方程y=kx+by-y0=k(x-x0)说明k斜率b纵截距(x0，y0)直线上已知点，k 斜率(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点a直线的横截距b直线的纵截距适用条件倾斜角为 90的直线不能用此式倾斜角为 90的直线不能用此式与两坐标轴平行的直线不能用此式过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式A、B 不能同时为零两点式y y1x x1=y2 y1x2 x1截距式一般式xy+=1abAx+By+C=0(A、B 不全为零)直线的方程注:确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法;确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线

3、方程的适用范围.直线是平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程 Ax+By+C=0（A2+B20）是一一对应的.例 1.过点M(2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于 1,则a的值为()(A)1(B)4(C)1 或 3(D)1 或 4例 2.若直线的方程,则直线 2xcos3y1=0 的倾斜角的取值范围（）6 2(C)(0,)(D)5(A),(B)5,66 262 6例 4.连接A(4,1)和B(2,4)两点的直线斜率为_,与 y 轴的交点 P 的坐标为_.例 5.以点(1,3)和(5,1)为端点的线段的中垂线的方程是.两直线的位置关系一、两直线的位置关系1.两直线平行:斜率存在且不重合斜

4、率存在且不重合的两条直线l1y=k1x+b1，l2y=k2x+b2，则 l1l2k1=k2;两条不重合不重合直线l1,l2的倾斜角为1,2,则l1l212.2.两直线垂直:斜率存在的两条直线 l1y=k1x+b1,l2y=k2x+b2,则 l1l2k1k2=-1;两直线 l1A1x+B1y+C1=0，l2A2x+B2y+C2=0，则 l1l2A1A2+B1B2=03.“到角”与“夹角”:直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，它的范围是(0,).注:当两直线的斜率 k1,k2都存在且 k1k2-1时,tank2k1;当直线的

5、斜率不存在时,可结合图形判断.1k1k2例 6.将直线2x3y60绕着它与y轴的交点逆时针旋转45的角后，在x轴上的截距是()(A)4255(B)(C)(D)5524例 7.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(2，4)重合，若点（7，3）与点（m,n）重合，则 m+n 的值为()(A)4(B)4(C)10(D)10例 8.与直线:2x3y5 0平 行 且 过 点A(1,4)的 直 线_。例 9.已知二直线的 方 程 是l1:mx8y n 0和l2:2x my 1 0，若l1l2，l1在 y轴上的截距为-1，则m=_，n=_.两直线的位置关系两条相交直线两条

6、相交直线l1与与l2的夹角：的夹角：例 10.经过两直线两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四11x3y90 与且过个角中最小的正角，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围12xy190 的交点，点(3,-2)的 直 线 方 程 为是0,当两直线的斜率 k1，k2都存在且 k1k2-1 时，_.2k k则有tan21.1k1k2例 11.已知ABC 中，A（2，-1），B（4，3），4.4.距离公式。距离公式。C（3，-2），求：已知一点 P(x0，y0)及一条直线 l：Ax+By+C=0，则点P 到直线BC 边上的高所在直线方|Ax0 By0C|程；AB 边中垂线方程；l

7、 的距离 d=；22A BA 平分线所在直线方程.两平行直线l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 之间的距离d=|C1C2|A B22。5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，即旋转直线系和平行直线系.在点斜式方程 y-y0=k(x-x0)中，当（x0，y0）确定，k 变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，当 k 确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.已知直线 l：Ax+By+C=0，则方程 Ax+By+m=0（m 为参数）表示与 l 平行的直线系；方程-Bx+Ay+n=0（n 为参数

8、）表示与 l 垂直的直线系。已知直线 l1：A1x+B1y+C1=0，直线 l2：A2x+B2y+C2=0，则方程 A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示过 l1与 l2交点的直线系（不含 l2）掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路.例 12.已知定点P（6，4）与定直线 l1：y=4x，过 P 点的直线 l 与 l1交于第一象限 Q 点，与 x 轴正半轴交于点 M，求使OQM 面积最小的直线 l 方程.简单的线性规划线性规划当点 P(x0，y0)在直线 Ax+By+C=0 上时，其坐标满足方程Ax0+By0+C=0；当 P 不在直线 Ax+By+C=0

9、上时，Ax0+By0+C0，即 Ax0+By0+C0 或 Ax0+By0+C0（或0）,D2 E2 4FDE圆心坐标为（-，-），半径为 r=.222x arcos圆的参数方程：(x-a)2+(y-b)2=r2（r0）的参数方程为:（为参数,表示y brsin旋转角），参数式常用来表示圆周上的点。注:确定圆的方程需要有三个互相独立的条件,通常也用待定系数法;圆的方程有三种形式，注意各种形式中各量的几何意义,使用时常数形结合充分运用圆的平面几何知识.圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0,其中A(x1,y1),B(x2,y2)是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）.二、直

10、线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，判定方法有两种：代数法：直线：Ax+By+C=0，圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0，联立得方程组 0 相交Ax ByC 0消元判别式 一元二次方程 0 相切222b 4acx y Dx Ey F 0 0 相离（2）几何法：直线:Ax+By+C=0，圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d r 相离|Aa BbC|d=，则d r 相切A2 B2d r 相交三、圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为 O1、O2，半径分别为 r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+

11、r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；|r1-r2|O1O2|r1+r2两圆相交；|O1O2|=|r1-r2|两圆内切；0|O1O2|0，m0 x0-1010 x021SOMQ|OM|4x0 2mx02x0110(t 1)2110(t 2)40令 x0-1=t，则 t0,S tt当且仅当 t=1，x0=11 时，等号成立,此时 Q（11，44），直线 l：x+y-10=0评注：1例13.B 例14.42例15.例16.种蔬菜20亩,棉花30 亩,水稻不种,总产值最高27万元.420 x y 30(1)例 17.解：设初中 x 个班，高中 y 个班，则28 x 58 y 1200设年利

12、润为 s，则s 60 0.06x 40 0.15y 21.2x 2.51.6y 1.2x 2y1515作出（1）、（2）表示的平面区域，如图，过点 A 时，S 有最大值，x y 30由解得 A（18，12）.28x 58y 1200易知当直线 x+2y=s即学校可规划初中 18 个班，高中 12 个班,smax1.218 212 45.6（万元）.可获最大年利润为万元.评线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线

13、性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：根据实际问题的约束条件列出不等式，作出可行域，写出目标函数，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的是函数方程思想的应用.24442y1(x 1)例 21.(x)2(y)2例 18.A例 19.D例 20.x+4339例 22.解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(2，0)，O2(2，0).由已知PM 2PN，得PM2 2PN2.因为两圆半径均为 1，21).设P(x，所以PO121 2(PO2

14、y)，则(x 2)2 y21 2(x 2)2 y21，即(x 6)2 y2 33.(或x2 y212x 3 0)例 23.D例 24.C例 25.C例 26.B例 27.x2+(y-1)2=1例 28.x+y=0 或 x+7y-6=0例 29.解：x2+y26x8y=0 即(x3)2+(y4)2=25，设所求直线为 ykx。圆半径为 5，圆心 M（3，4）到该直线距离为 3，|3k 4|3，d 2k 179k224k 16 9(k21)，k。247所求直线为 yx或x 0。24例 30.m 满足-2(m+3)2+2(1-4m2)2-4(16m4+9)0，1即 7m2-6m-10,m 17316

15、半径 r=7m26m1 7(m)2774 713 m 1,m 时，rmax,7774 0AB,则点 P 在 .6已知线段 AB=10,直线 AB 上有一点 C,且 BC=4,M 是线段 AC 的中点,则 AM 的长为 .A一条直线上只有两个点；射线没有端点；如图，点A是直线a的中点；射线OA与射线AO是同一条射线；延长线段AB到C，使AB BC；延长直线CD到E，使DE CD8.如图给出的分别有射线，直线，线段，其中能相交的图形有个aADBABDaBbCADC二、选 择C1下列说法中错误的是（）AA、B 两点之间的距离为 3cm BA、B 两点之间的距离为线段 AB 的长度C线段AB 的中点

16、C 到 A、B 两点的距离相等 DA、B 两点之间的距离是线段 AB2下列说法中，正确的个数有（）（1）射线 AB 和射线 BA 是同一条射线（2）延长射线 MN 到 C（3）延长线段 MN 到 A 使 NA=2MN（4）连结两点的线段叫做两点间的距离A1 B2 C3 D43.同一平面内有四点，过每两点画一条直线，则直线的条数是（）(A)1 条 (B)4 条 (C)6 条 (D)1 条或 4 条或 6 条4如图 4,C 是线段 AB 的中点，D 是 CB 上一点，下列说法中错误的是（）ACD=AC-BD BCD=CCD=1BC2图 45.如果线段 AB=13cm,MA+MB=17 cm,那么下

17、面说法中正确的是 ().AM 点在线段 AB 上 BM 点在直线 AB 上CM 点在直线 AB 外 DM 点可能在直线 AB 上,也可能在直线 AB 外6如图 5,小华的家在 A 处，书店在 B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（)）AACDB BACFBCACEFBDACMB7.某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有 30 人，B区有 15 人，C区有 10 人，三个区在同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）A100 米B200米C图 51AB-BD

18、 DCD=AD-BC2A区B区C区A，B两区之间8已知点 A、B、C 都是直线l上的点，且 AB=5cm，BC=3cm，那么点 A 与点 C 之间的距离是（）.A8cm B2cm C8cm 或 2cm D4cm三、想一想1如图 6，四点 A、B、C、D，按照下列语句画出图形：（1）连结 A，D，并以 cm 为单位，度量其长度；（2）线段 AC 和线段 DB 相交于点 O；（3）反向延长线段 BC 至 E，使 BE=BC2动手操作题：点和线段在生活中有着广泛的应用如图 7,用 7 根火柴棒可以摆成图中的“8”你能去掉其中的若干根火柴棒，摆出其他的 9 个数字吗？请画出其中的 4 个来图 73（1

19、0 分）如图8，C 为线段 AB 的中点，N 为线段 CB 的中点，CN=1cm.求图中所有线段的长度的和图 84（本题 12 分）在同一条公路旁，住着五个人，他们在同一家公司上班，如图9,不妨设这五个人的家分别住在点 ABDEF 位置，公司在 C 点，若 AB=4km，BC=2km，CD=3km，DE=3km，EF=1km，他们全部乘出租车上班，车费单位报销出租车收费标准是：起步价 3 元（3km 以内，包括 3km），以后每千米 1.5 元（不足 1km，以1km 计算），每辆车能容纳 3 人（1）若他们分别乘出租车去上班，公司在支付车费多少元？（2）如果你是公司经理，你对他们有没有什么建

20、议？图 96.如图，在正方形两个相距最远的顶点处逗留着一只苍蝇和一只蜘蛛蜘蛛可以从哪条最短的路径爬到苍蝇处？请你画图并说明你的理由？如果蜘蛛要沿着棱爬到苍蝇处，最短的路线有几条？图 6苍蝇蜘蛛7 图 10 为中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点 AB 等处若“马”的位置在 C 处，为了到达 D 点，请按“马”走的规则，在图 10 的棋盘上用虚线画出一种你认为合理的行走路线直线、射线、线直线、射线、线段练习（段练习（2 2）一选择题：1下列说法中，错误的是（）图 10A经过一点的直线可以有无数条 B经过两点的直线只有一条C一条直线

21、只能用一个字母表示 D线段 CD 和线段 DC 是同一条线段2.已知线段AC 2，则线段AB的长度是（）BC 3，515 或 1非以上答案3下列图形中，能够相交的是()4.下列叙述正确的是（）线段AB可表示为线段BA；射线AB可表示为射线BA；直线AB可表示为直线BA5.平面上有三点A，B，C，如果AB 8，AC 5，BC 3，则（）点C在线段AB上点C在线段AB的延长线上点C在直线AB外点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外116.如图，AC AB，BD AB，AE CD，则CE与AB之比为（）34ABCED11116812167.下列四个生活、生产现象：用两个钉子就可以把木条固定在墙上；

22、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有二填空题：8.直线有个端点，射线有个端点，线段有个端点9.经过两点可以作条线段，条射线，条直线10 根据图，填空：线段AD交射线BC于E；线段BA至F；反向延长射线延长线段DC交的于点F，线段CF是线段DC的线EDCFAB11 三点A，B，C在同一条直线上，若BC 2AB且AB m，则AC _12.在一直线上有A，若AB m，C三点，N为BC的中点，B，M为AB的中点，BC n，则用含m，n的代数式可表示线段

23、MN13.在连结两点的所有线中，最短的是三解答题：14.读句子，画图形：直线直线l与两条射线与两条射线OA，OB分别交于点分别交于点C，点，点D作射线作射线OA，在，在OA上截取点上截取点D，E，使，使OD DE15.如图：AB 4cm，BC 3cm，如果O是线段AC的中点求线段OB的长度(括号内注理由)AOB解：AC=+=7（cm），C（）又O为AC的中点，OC=AC=()，（）OB OC BC 0.5（cm）16.图中A，B，C，D是四个居民小区，现在为了使居民生活方便，想在四个小区之间建一个超市，最好能使超市距四个小区的距离之和最小请你来设计，能找到这样的位置P点吗？如果能，请画出点PA

24、CBD 17.往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问：（1）有多少种不同的票价？（2）要准备多少种车票？18.如图，AB:BC:CD 2:3:4，AB的中点M与CD的中点N的距离是 3cm，则BC _CAMBN19.19.已知线段已知线段AB 10cmcm，试探讨下列问题，试探讨下列问题D是否存在一点是否存在一点C，使它到，使它到A，B两点的距离之和等于两点的距离之和等于 8cm8cm？并试述理由？并试述理由是否存在一点是否存在一点C，使它到，使它到A，B两点的距离之和等于两点的距离之和等于 10cm10cm？若存在，它的位？若存在，它的位置惟一吗？置惟一吗？当点当点C到到A，B两点的距离

25、之和等于两点的距离之和等于 20cm20cm 时，点时，点C一定在直线一定在直线AB外吗？举外吗？举例说明例说明20.如图，一圆柱体的底面周长为 24cm，高AB为 4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程大约是多少？BA（图 8）C一、选择题1、如图，ABCAEF，ABAE，BE，则对于结论ACAFFABEAB，EFBC，EABFAC，其中正确结论的个数是（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个(第 1 题图)(第 3 题图)(第 4 题图)(第 5 题图)2、已知 MN 是线段 AB 的垂直平分线，C、D 是 MN 上任意两点，则CAD 与CBD 的大

26、小关系是（）A.CADCBDB.CAD=CBDC.CADCBDD.与 C、D 无关3、如图，在 RtABC 中，C=90，BD 是ABC 的平分线，交 AC 于点 D，若 CD=n，AB=m，则ABD的面积是（）A.mnB.11mnC.2mnD.mn234、如图，已知 AC 平分PAQ，点 B，B分别在边 AP，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出 AB=AB，那么该条件可以是（）A、BBACB、BC=BCC、ACB=ACBD、ABC=ABC5、如图，FDAO 于 D，FEBO 于 E，下列条件：OF 是AOB 的平分线；DF=EF；DO=EO；OFD=OFE。其中能够证明DOFEOF 的条件

27、的个数有（）二、填空题6、如图，在ABC 中，ADBC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于 F，若BF=AC，则ABC 的度数是.7、在ABC 中，AB=AC，A=50，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D，垂足为 E，则DBC 的度数是.8 如图，已知点 C 是AOB 的平分线上一点，点 P、P分别在边 OA、OB 上。如果要得到 OP=OP，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为_：OCP=OCPOPC=OPC；PC=PC；PPOC9 如图，在 ABC中，BC=5 cm，BP、CP 分别是ABC 和ACB 的角平分线，P PA AC CO OP

28、P B B(第 6 题图)(第 8 题图)APBDEC且 PDAB，PEAC，则 PDE 的周长是_ cm.CDAEB(第9题图)(第 10 题图)10、ABC 中，C=90，AD 平分BAC，交 BC 于点 D。若 DC=7，则 D 到 AB 的距离是.三、11、如图，已知方格纸中每个小方格都是相同的正方形，AOB 画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出点 P，使点 P 落在AOB 的平分线上.(要求：标出至少两个满足条件的点).、12、如图，AD 是ABC 的角平分线，DE、DF 分别是ABD 和ACD 的高.求证：AD 垂直平分 EF.13 已知：如图，CEAB 于点 E，BDAC 于点 D，BD、CE 交于点 O，且 BO=CO求证：O 在BAC 的角平分线上