2022年全国甲卷数学（理科）高考真题（含答案）.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 2022 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试注意事项注意事项：1 1 答卷前答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名并认真核准条形码上的准考证号并认真核准条形码上的准考证号2 2 回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号上无效上无效。3 3考试结束后考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一并交回一一、选择题选择题：本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题是符合题目要求的是符合题目要求的。1若13iz ，则

2、1zzz（A13i B13i 2某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷图：则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3设全集 2,1,0,1,2,3U ，集合年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷全国甲卷理科数学理科数学 考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号准考证号、考场号考场号、座位号填写在答题卡上座位号填写在答题卡上并认真核准条形

3、码上的准考证号并认真核准条形码上的准考证号、姓名姓名、考场号考场号、座位号及科目座位号及科目，在规定的位置贴好条形码在规定的位置贴好条形码选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号。回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一并交回。每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 ）C13i33 D13i33 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽

4、取在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 集合2 1,2,430ABx xx，则()U全国甲卷全国甲卷）座位号填写在答题卡上座位号填写在答题卡上，在规定的位置贴好条形码在规定的位置贴好条形码。用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动如需改动，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上。写在本试卷写在本试卷在每小

5、题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项随机抽取 10 位社区居民，让他们位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下()AB U（）学科网（北京）股份有限公司 A1,3 B0,3 C4如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图A8 B12 C16 D5函数33cosxxyx在区间A C 6当1x 时，函数()lnf xaxA1 B12 7在长方体1111ABCDABC D中，A2ABAD BAB 与平面C1ACCB D1B D与平面8沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 2,1 D 2,0 网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，

6、网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为 20 ,2 2的图像大致为（）B D bx取得最大值2，则(2)f（）C12 D1 已知1B D与平面ABCD和平面11AAB B所成的角均为与平面11ABC D所成的角为30 与平面11BBC C所成的角为45 是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术AB 的中点，D 在AB上，CDAB“会圆术则该多面体的体积为（）所成的角均为30，则（）会圆术”，如图，AB是以会圆术”给出AB的弧长的近似 学科网（北京）股份有限公司 值 s 的计算公式：2CDsABOA当 A11 3 32 B11 4 32 9甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面

7、展开图的圆心角之和为和V乙若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A5 B2 2 C10椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为斜率之积为14，则 C 的离心率为（A32 B22 C11设函数()sin3f xx在区间A5 13,3 6 B5 19,3 612已知3111,cos,4sin3244abcAcba Bbac二二、填空题填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题13设向量a，b的夹角的余弦值为当2,60OAAOB时，s（）C93 32 D94 32 侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S）10 D5 104 的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称 ）C

8、12 D13 在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 C13 8,6 3 D13 19,66 3111,cos,4sin3244，则（）bac Cabc Dacb每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。的夹角的余弦值为13，且|1,|3ab，则(2)ab b_S甲和S乙，体积分别为V甲轴对称若直线,AP AQ的的取值范围是（）acb _ 学科网（北京）股份有限公司 14若双曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430 xyy相切，则m _ 15从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为_ 16已知ABC中，点 D 在边 BC 上，120,2,

9、2ADBADCDBD当ACAB取得最小值时，BD _ 三三、解答题解答题：共共 70 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。（一一）必考题必考题：共共 60 分分。17（12 分）记nS为数列 na的前 n 项和已知221nnSnan（1）证明：na是等差数列；（2）若479,a a a成等比数列，求nS的最小值 18（12 分）在四棱锥PABCD中，PD 底面,1,2,3ABCD CDAB A

10、DDCCBABDP （1）证明：BDPA；（2）求 PD 与平面PAB所成的角的正弦值 19（12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望 20（12 分）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点,0D p，过 F 的直线交 C 于 M，N 两点当直线 MD 垂直于x 轴时，3MF （1）求 C 的方程；（2）

11、设直线,MD ND与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线,MN AB的倾斜角分别为,当取得 学科网（北京）股份有限公司 最大值时，求直线 AB 的方程 21（12 分）已知函数 lenxf xxxax（I）若 0f x，求 a 的取值范围；（2）证明：若 fx有两个零点12,x x，则121x x （二二）选考题选考题：共共 10 分分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为26txyt，（t 为参数），曲线2C的

12、参数方程为26sxys ，（s为参数）（1）写出1C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标 23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 均为正数，且22243abc，证明：（1）23abc；（2）若2bc，则113ac 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 绝密绝密启用前启用前 2022 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试注意事项注意事项：1 1答卷前答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的

13、姓名考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名上上，并认真核准条形码上的准考证号并认真核准条形码上的准考证号形码形码.2 2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后动动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号试卷上无效试卷上无效.3 3考试结束后考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一并交回 一一、选择题选择题：本题共本题共 1212 小题小题，是符合题目要求的是符合题目要求的.1.C 2.B.3.D 4.B 5.A 6.B 7.D 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题13.11 14.33 15.635.16.31#1

14、+3 三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22（一一）必考题必考题：共共 60 分分 17.（1）解：因为221nnSnan当2n时，21121211nnSnnan年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷全国甲卷理科数学理科数学 参考答案参考答案（仅供参考仅供参考）考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号准考证号、考场号考场号、并认真核准条形码上的准考证号并认真核准条形码上的准考证号、姓名姓名、考场号考场号、座位号及科目座位号及科目，在规定的位置

15、贴好条在规定的位置贴好条选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一并交回.每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中7.D 8.B 9.C 10.A 11.C 12.A 每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1722、23 题为选考题题为选考题，

16、考生根据要求作答考生根据要求作答.21，即222nnSnnan，1121211nnSnnan，全国甲卷全国甲卷）座位号填写在答题卡座位号填写在答题卡在规定的位置贴好条在规定的位置贴好条用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上.写在本写在本在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项1721 题为必考题题为必考题，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 得，2112212211nnnnSnSnnannan即2212211nnnannana 即12

17、12121nnnanan所以 na是以1为公差的等差数列（2）78 18.（1）证明：在四边形ABCD中因为/,1,2CDAB ADCDCBAB所以四边形ABCD为等腰梯形，所以12AEBF，故32DE，22BDDEBE所以222ADBDAB，所以ADBD，因为PD 平面ABCD，BD 平面所以PDBD，又PDADD，所以BD 平面PAD，又因PA平面PAD，所以BDPA；（2）55.19.（1）0.6；（2）分布列见解析，13E X.【解析】依题可知，X的可能取值为00.5 0.4 0.80.16P X,100.5 0.4 0.80.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.44P X 2

18、112212211nnnnSnSnnannan，12212211nnn，212121，所以11nnaa，2n且N*n，中，作DEAB于E，CFAB于F，/,1,2CDAB ADCDCBAB，223，平面ABCD，的可能取值为0,10,20,30，所以，100.5 0.4 0.80.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.44，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 200.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.5 0.6 0.20.34P X 300.5 0.6 0.20.06P X 即X的分布列为 X 0 P 0.16 期望0 0.16

19、10 0.4420 0.3430 0.0613E X 20.（1）24yx；（2）:24AB xy.21.已知函数 lnxf xxaxxe（1）(,1e （2）由题知,fx一个零点小于 1,不妨设121xx 要证121x x,即证121xx 因为121,(0,1)xx,即证 1f xf因为 12f xf x,即证2f xf即证1e1lneln0,(1,)xxxxxxxxx即证1e11e2 ln02xxxxxxx下面证明1x 时，1e11e0,ln0 xxxxxxx200.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.5 0.6 0.20.34，300.5 0.6 0.20.06.10 20 30

20、 0.44 0.34 0.060 0.16 10 0.4420 0.3430 0.0613.f xxa 1,一个零点大于 1 21x 21f xfx lneln0,(1,)xxxxx e2 ln0 e11e0,ln02xxxxx 0.06 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设11(),eexxg xxxx，则11122111111()eee1ee1xxxxxg xxxxxxxx 111e1 e1eexxxxxxxxx设 e1111,ee0 xxxxxxxx所以 1ex,而1eex 所以1ee0 xxx,所以()0g x 所以()g x在(1,)

21、单调递增 即()(1)0g xg,所以1ee0 xxxx令11()ln,12h xxxxx 2222211121(1)()10222xxxh xxxxx所以()h x在(1,)单调递减 即()(1)0h xh,所以11ln02xx综上,1e11e2 ln02xxxxxxx （二二）选考题选考题：共共 10 分分请考生在第请考生在第一题计分一题计分 选修选修 4-4：坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22.（1）2620yxy；11122111111()eee1ee1xxxxxxxxxxx 111eexx 22e1111,ee0 xxxxxxx e0 2222211121(1)()10222xx

22、xxxxx 11ln0 x；e11e2 ln0 xx,所以121x x.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答如果多做如果多做 如果多做如果多做，则按所做的第则按所做的第 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）31,C C的交点坐标为1,12，选修选修 4-5：不等式选讲不等式选讲 23.（1）证明：由柯西不等式有22222abcabc所以23abc，当且仅当21abc时，取等号所以23abc；（2）证明：因为2bc，0a，即043ac，所以1143ac由权方和不等式知2211129444acacacac当且仅当124ac，即1a，12c 所以113ac 1,2，32,C C的交点坐标为1,12，1,2 222222221112abcabc，取等号，0b，0c，由（1）得243abcac，212111293444acacacac，12时取等号，1,2 243，