计算方法(四)非线性方程的迭代解法.ppt

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1、3.2 3.2 非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法求数求数 (3-17)(3-17)，称为方程（称为方程（3-173-17）的的零点零点。的的根根，使使或称函数或称函数常见的非线性方程有代数方程常见的非线性方程有代数方程（二次、三次等）（二次、三次等）超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。考虑非线性方程考虑非线性方程 代数方程次数超过代数方程次数超过4 4时，一般情况下没有求根公式，时，一般情况下没有求根公式，对于超越方程就更难了。对于超越方程就更难了。任务：任务：数值求解非线性方程的根数值求解非线性方程的根。的图象为连续曲线。的图象为连续曲线。

2、通常通常假设假设连续，连续，从而从而求求 的根的根如果如果在在上仅有一个根，称上仅有一个根，称 为为单根区间单根区间；有多个根，则称为有多个根，则称为多根区间多根区间。若若与与 轴交点轴交点 求求yxo 单根区间和多根区间统称为单根区间和多根区间统称为有根区间。有根区间。我们主要研究方程在我们主要研究方程在单根区间上的求解方单根区间上的求解方法。法。（3-183-18）3.2.1 3.2.1 简单迭代法简单迭代法 首先将方程首先将方程化为一个与它同解的方程化为一个与它同解的方程 为为 其中其中的连续函数，的连续函数，即即称称迭代法迭代法或或迭代过程迭代过程或或迭代格式迭代格式，称为求解非线性方

3、程的称为求解非线性方程的简单迭代法简单迭代法，构造序列构造序列 （3-193-19）称为称为迭代函数迭代函数，称第称第 步步迭代值迭代值。也也 仿照线性方程组迭代法，任取初始值仿照线性方程组迭代法，任取初始值，则称则称迭代法收敛迭代法收敛，如果由迭代格式产生的数列收敛，即如果由迭代格式产生的数列收敛，即否则称否则称迭代法发散迭代法发散。若迭代法收敛于若迭代法收敛于 ，则则 一定是方程（一定是方程（3-173-17）的根）的根 ，即，即。几何直观：几何直观：在曲线在曲线 上得到点列上得到点列 ：p1p2p*yxop0y=x因此，因此，（1 1）化方程为等价方程化方程为等价方程则迭代值为则迭代值为

4、 取初始值取初始值 用迭代法求用迭代法求 的根。的根。，显然显然,当当 时，时，且且,即迭代法收敛于即迭代法收敛于1 1，就是方程就是方程 的根。的根。例例1 1解解（2 2）为等价方程为等价方程 化化，同样同样取初始值取初始值，其迭代格式为其迭代格式为 ，显然显然,当当 ,故迭代法发散。故迭代法发散。上述例子表明，上述例子表明，迭代法的收敛与发散，依赖于迭迭代法的收敛与发散，依赖于迭代函数的构造。代函数的构造。迭代函数构造的方法很多。迭代函数构造的方法很多。对于同一个方程，有的迭代函数所构成的迭对于同一个方程，有的迭代函数所构成的迭代法收敛，有的却发散。那么代法收敛，有的却发散。那么迭代函数

5、须满足什迭代函数须满足什么条件，才能保证收敛么条件，才能保证收敛?从而从而,迭代函数满足条件：迭代函数满足条件：时时,迭代法收敛。迭代法收敛。在根在根附近，附近，可以近似看成直线。可以近似看成直线。从而从而,当当 或或时时,迭代法发散。迭代法发散。定理定理3.53.5 设迭代函数设迭代函数 满足满足（1 1）（2 2），存在正数存在正数 对任意对任意均有均有则则在在内存在唯一根内存在唯一根,且对任意初始值且对任意初始值,迭代法迭代法收敛于收敛于,且且1 1 2 2 （3-203-20）（3-213-21）当当 时，时，满足条件（满足条件（1 1）、（）、（2 2）时，）时，易证方程易证方程在在

6、内存在唯一根内存在唯一根。因为因为，且且，根据微分中值定理可得根据微分中值定理可得其中其中由条件（由条件（2 2）得）得（3-223-22）证证又因为又因为将上式移项整理后，将上式移项整理后，得得，从而从而即（即（3-203-20）成立。）成立。再反复使用（再反复使用（3-223-22）的第）的第2 2式，得式，得 将上式代入（将上式代入（3-203-20）即得（）即得（3-213-21）成立。）成立。又因为又因为，所以根据（所以根据（3-213-21）得）得故故迭代法收敛迭代法收敛。当迭代函数满足定理当迭代函数满足定理3.53.5的条件且的条件且 较小时，较小时，根据根据（3-203-20）

7、式可知，）式可知，只要相邻两次计算值的偏差只要相邻两次计算值的偏差 达到事先给定的精度要求达到事先给定的精度要求（即（即 ）时，）时，过程就可以终止，过程就可以终止，迭代迭代就可作为就可作为的近似值。的近似值。因此，因此，（3-203-20）式也是判断迭代是否可终止的依据）式也是判断迭代是否可终止的依据。如果对如果对 的大小可作出估计时，的大小可作出估计时，由（由（3-213-21）式就可以大概估计）式就可以大概估计出迭代过程所需要的迭代次数，出迭代过程所需要的迭代次数，即即时，时，的的 大小范围。大小范围。由于定理由于定理3.53.5的条件一般难于验证，的条件一般难于验证，而且在大区间而且在

8、大区间上，上，这些条件也不一定都成立，这些条件也不一定都成立，所以在使用迭代法所以在使用迭代法时往往在根时往往在根的附近进行。的附近进行。只要假定只要假定在在的附近的附近连续，连续，且满足且满足则根据连续函数的性质，则根据连续函数的性质，一定存在一定存在的某个邻域的某个邻域，在在S上满足定理上满足定理3.53.5的条件。的条件。故在故在S S中任取初始值中任取初始值,迭代格式迭代格式收敛于方程的根收敛于方程的根,即即,称这种收敛为局部收敛。称这种收敛为局部收敛。求方程求方程在在附近的一个根，附近的一个根，要求要求精度精度。解解由于由于,故当故当时，时，1因此，因此，迭代格式迭代格式,对于初始值

9、对于初始值=0.5=0.5是收敛的。是收敛的。例例2 2迭迭代代的的数数值值结结果果表表从定理从定理3.53.5的（的（3-213-21）式可以看出，）式可以看出，当当L L或或在在上的值越小，上的值越小，迭代过程的收敛速度就越快。迭代过程的收敛速度就越快。但当但当且接近于且接近于1 1时，时，迭代法虽然收敛迭代法虽然收敛,但是收敛速度很慢。但是收敛速度很慢。为了使收敛速度有定量的判断，为了使收敛速度有定量的判断，概念。概念。设迭代格式设迭代格式，当当时，时，并记并记。介绍收敛阶的介绍收敛阶的定义定义3.23.2 若存在实数若存在实数和和满足满足（3-233-23）则称则称迭代法是迭代法是阶收

10、敛阶收敛。当当时，时，称线性收敛，称线性收敛，当当时称超线性收敛，时称超线性收敛，当当时称平方收敛。时称平方收敛。越大迭代法的收敛速度也越快。越大迭代法的收敛速度也越快。但是在实际使用中但是在实际使用中很难直接确定，很难直接确定，常常采用一些其他的方法来确定收敛常常采用一些其他的方法来确定收敛的阶。的阶。使用使用Taylor展开式是一种常用的方法。展开式是一种常用的方法。如果如果在根在根处充分光滑（各阶导数存在），处充分光滑（各阶导数存在），则可对则可对在在处进行处进行Taylor展开，展开，得得如果如果，但是但是，则则即即从而从而上式说明迭代法具有上式说明迭代法具有阶收敛。阶收敛。定理定理3

11、.63.6 如果如果在根在根中的迭代函数中的迭代函数附近满足：附近满足：（1 1）存在存在阶导数且连续；阶导数且连续；（2 2）则迭代法则迭代法是是阶收敛。阶收敛。，要使如下迭代法收敛到要使如下迭代法收敛到则则 应取何值？应取何值？例例 取迭代函数取迭代函数解：解：令令且其收敛阶是多少？且其收敛阶是多少？又，显然又，显然故，其收敛阶是故，其收敛阶是p=1=1例例3 3证明由证明由（3-243-24）建立的迭代格式至少是平方收敛。建立的迭代格式至少是平方收敛。证证根据定理根据定理3.63.6，只需证明只需证明。因为因为故该迭代法至少是平方收敛。故该迭代法至少是平方收敛。由（由（3-243-24）

12、式建立的迭代法就是有名的）式建立的迭代法就是有名的Newton法法。设设且且3.2.2 3.2.2 Newton迭代法及其变形迭代法及其变形 用迭代法解非线性方程时，用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非如何构造迭代函数是非常重要的，常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？敛呢？不管非线性方程不管非线性方程的形式如何，的形式如何，总可以构造总可以构造（3-253-25）作为方程（作为方程（3-173-17）求解的迭代函数。）求解的迭代函数。因为因为而且而且在根在根附近越小，附近越小，其局部收敛速度越快，其局部收敛速度越快，故可令故可令若

13、若（即不是重根），（即不是重根），则则故可取故可取代入（代入（3-253-25）式，）式，得得定理定理3.73.7 设方程设方程f（x）=0=0的根为的根为,且且则迭代法则迭代法（3-263-26）至少是平方收敛，至少是平方收敛，并称并称（3-263-26）为为Newton迭代法迭代法。由于由于Newton迭代法带有迭代法带有的导数的导数,使用使用起来不太方便。起来不太方便。为了不求导数，为了不求导数，可用导数的近似式替代可用导数的近似式替代。因为因为将它代入（将它代入（3-263-26）的）的中，中，得得则则（3-273-27）（3-273-27）就是弦截法。）就是弦截法。由于弦截法采用了导

14、数的近由于弦截法采用了导数的近似值，似值，故在故在Newton法和弦截法都收敛的情况下，法和弦截法都收敛的情况下，弦截法弦截法的收敛阶为的收敛阶为,低于低于Newton法，法，为超线为超线性收敛。性收敛。Newton法与弦截法的几何意义如下：法与弦截法的几何意义如下：使用使用Newton迭代格式，迭代格式，由由得到得到，在几何上在几何上 就是过曲线上的就是过曲线上的B点作切线点作切线 与与轴的交点即为轴的交点即为。故故Newton法也称切线法。法也称切线法。弦截法在几何上是一种以直代曲的近似方法。弦截法在几何上是一种以直代曲的近似方法。即用即用弦弦Q来替代曲线来替代曲线。用用在在轴上截取的值，

15、轴上截取的值，即即与与轴的交点轴的交点作为作为的近似值，的近似值，故称弦截法。故称弦截法。Newton Newton 迭代法的几何意义迭代法的几何意义。与与 轴的交点即为轴的交点即为，故，故Newton法也称切线法。法也称切线法。使用使用Newton迭代格式，就是过曲线上的点迭代格式，就是过曲线上的点 作切线作切线 快速弦截法快速弦截法（割线法）的几何意义（割线法）的几何意义 在几何上是一种以直代曲的近似方法。即用弦来在几何上是一种以直代曲的近似方法。即用弦来替代曲线用在轴上截取的值，即弦与替代曲线用在轴上截取的值，即弦与 轴的交点轴的交点作为作为 的近似值，故称弦截法。的近似值，故称弦截法。

16、单步弦截法单步弦截法的几何意义的几何意义从从Newton和弦截法的迭代格式中可以看到，和弦截法的迭代格式中可以看到，弦截弦截法虽然不需要求导数值法虽然不需要求导数值，但是使用时需要有前两但是使用时需要有前两即开始时需要有两个初始值即开始时需要有两个初始值；法虽然需求法虽然需求，但是使用时只用到前一步的值，但是使用时只用到前一步的值，只需要给出一个初始值就可以进行迭代计算。只需要给出一个初始值就可以进行迭代计算。由于由于Newton法的收敛性是在根法的收敛性是在根附近讨论的，附近讨论的，因此，因此，值的选取与值的选取与Newton法的收敛很有关系，法的收敛很有关系，使用时必须充使用时必须充两步的

17、值，两步的值，Newton即即初始初始分注意。分注意。例例4 4用用Newton法和弦截法分别计算方程法和弦截法分别计算方程在在附近的根附近的根。解解（1 1）使用使用Newton法，法，并取并取（3-283-28）迭代迭代3 3次就得到具有次就得到具有6 6位有效数字的结果。位有效数字的结果。（2 2）使用弦截法，使用弦截法，并取并取 （3 3）取取 ,使用使用Newton法计算方程的根。法计算方程的根。使用公式（使用公式（3-233-23）进行迭代计算后得）进行迭代计算后得 这个结果不但偏离所求的根，这个结果不但偏离所求的根，而且还看不出它的收敛而且还看不出它的收敛从中可知，从中可知，初始

18、值的选取对初始值的选取对Newton法是否收敛的法是否收敛的 性。性。重要性。重要性。使用使用Newton法时，法时，为了防止迭代发散，为了防止迭代发散，我们在迭我们在迭代格式中附加一个条件：代格式中附加一个条件：即要求即要求，其中其中称下山因子称下山因子。称迭代法称迭代法（3-293-29）为）为Newton下山法下山法。下山因子的选择一般采用试算法。下山因子的选择一般采用试算法。即由迭代得到即由迭代得到 计算值计算值 后，后，取不同的取不同的值试算，值试算，例如取例如取 用（用（3-293-29）进行试算，）进行试算，对用公式（对用公式（3-293-29）算出的）算出的 ，的值单调下降。的

19、值单调下降。为此，为此，引入引入 建立建立 （3-293-29）使使。步的迭代值。步的迭代值。如果计算过程中碰到一个迭代值如果计算过程中碰到一个迭代值 取不取不 到满足要求的到满足要求的 值，值，则称则称“下山失败下山失败”，需要另取初始值需要另取初始值 ，仿照上述过程重算。仿照上述过程重算。若若 或或（其中（其中 和和是事先给定的精度要求值）时，是事先给定的精度要求值）时，迭代迭代 终止，终止，并取并取 作为根的计算值；作为根的计算值；如果取不到满足如果取不到满足 要求的要求的 迭代终止。迭代终止。用求得的用求得的 和（和（3-293-29）仿照前面的过程计算第）仿照前面的过程计算第 则计算

20、值则计算值 即为第即为第 步的迭代值。步的迭代值。再取再取 均需要接着计算均需要接着计算 ，如果如果 成立，成立，例例5 5用用Newton下山法求方程下山法求方程 的一个根。的一个根。取取 ，终止条件：终止条件：yxoNewtonNewton下山法迭代公式：下山法迭代公式：取取 如果不用下山法，如果不用下山法，取取 ，使用使用Newton法法 进行迭代，进行迭代，从图中的动态轨迹显示，是难于求出根的。从图中的动态轨迹显示，是难于求出根的。下表是使用下表是使用Newton下山法下山法计算的结果。计算的结果。NewtonNewton类算法软件类算法软件0-0.990.66657-0.01990-

21、33.49589132.5059811416.5198915.757991233.551367.38400126.816133.197007.694951.10350-0.655590.21771-3.01131214.1148119.108992.609163.311621.856330.275942.445940.11281311.743520.023162.039850.01135411.732170.000242.000410.00012511.732050.000002.000000.00000611.73205由由 ，迭代终止。迭代终止。注意：注意：1 1）由由 求求 是根据（是根

22、据（3-293-29）得到；）得到；2 2）在上表中的在上表中的 例如例如 是根据下式求出是根据下式求出 3.2.3 3.2.3 多根区间上的逐次逼近法多根区间上的逐次逼近法方程方程 在多根区间在多根区间 上，上，根的情况主要根的情况主要 有两种：有两种：其一，均为单根；其一，均为单根；其二，有重根。其二，有重根。讨论如下：讨论如下：一、一、是是 仅有单根的多根区间仅有单根的多根区间 1 1）求单根区间）求单根区间设设 在在 上有上有 个根。个根。将将 分成分成 个小区间：个小区间：，（其中（其中 ）现在分别现在分别然后计算然后计算 的值，的值，由图由图3-13-1可知，可知，当当 时，时，在

23、在 上至少有一个根。上至少有一个根。如果有根区间的个数却为如果有根区间的个数却为 ，则所得到的有根区间就则所得到的有根区间就 都是单根区间。都是单根区间。如果有根区间的个数小于如果有根区间的个数小于 时，时，再将再将 有些小区间对分，有些小区间对分，设对分点为设对分点为 ，然后计算然后计算 再搜索有根区间，再搜索有根区间，直到有根区间的个数是直到有根区间的个数是 为止。为止。2 2）在单根区间）在单根区间 上求根上求根 单根区间上求根的方法在前面已作介绍。单根区间上求根的方法在前面已作介绍。在此介在此介 绍一种根的搜索法，绍一种根的搜索法，它可用于求迭代法的初始值，它可用于求迭代法的初始值，也

24、也 可用于求可用于求 的近似根。的近似根。将区间将区间 对分，对分，设对分点（即区间中点）为设对分点（即区间中点）为 ，计算计算 ，如果如果 与与 同号，同号，说明方程的根说明方程的根 在在 的右侧，的右侧，此时令此时令 否则令否则令 。不管是那种情况，不管是那种情况，新的有根区间为新的有根区间为 ，其长度为原来区间其长度为原来区间 的一半。的一半。可将含根区间的长度再压缩一半。可将含根区间的长度再压缩一半。如此继续如此继续 可使有根区间为可使有根区间为 ，其长度为其长度为 只要只要 足够大，足够大，有根区间有根区间 的长度就足够小，的长度就足够小，当当 达到根的精度要求时，达到根的精度要求时

25、，取取 就可作为根就可作为根 的近似值。的近似值。这种搜索根的方法称这种搜索根的方法称二分法二分法。用同样方法用同样方法 下去，下去，如果发现用二分法求根的过程中，如果发现用二分法求根的过程中，有根区间趋于有根区间趋于 零的速度较慢，零的速度较慢，此时，此时，可以从某个区间可以从某个区间 开始使开始使 用其他迭代法求解，用其他迭代法求解，将将 或或 作为迭代法的初始值。作为迭代法的初始值。例例6 6求求 在在00，88中中的三个根。的三个根。解解首先将有根区间首先将有根区间00，33三等分，三等分，得得 0,2.7 2.7,5.4 5.4,80,2.7 2.7,5.4 5.4,8搜索单根区间：

26、搜索单根区间：故故 的三个根分别在区间的三个根分别在区间 中。中。用计算单根的方法，用计算单根的方法，可分别求出三个区间上的计算可分别求出三个区间上的计算 根。根。二、二、在在 上有重根上有重根 设设 则有则有 此时此时 在这种情况下，在这种情况下，如果如果 ，虽然使用虽然使用Newton法法 也可以继续算下去，也可以继续算下去，但是由于但是由于Newton法在定理法在定理3.73.7中的中的 条件条件 不满足，不满足，它的收敛速度可能较慢。它的收敛速度可能较慢。事实上事实上,由由 是是的的重根，重根，其中其中m2整数，整数，则则 从而得到在这种条件下的从而得到在这种条件下的Newton法如果

27、收敛，法如果收敛，它它 必是线性收敛的。必是线性收敛的。为了提高收敛的阶，为了提高收敛的阶，可取可取 （3-313-31）此时（此时（3-303-30）变成）变成 ，从而从而 ，故故迭代法（迭代法（3-313-31）至少是平方收敛的）至少是平方收敛的。当当 不知道时，不知道时，可采用试探法或其他变形公式，可采用试探法或其他变形公式，在此在此 就不介绍了。就不介绍了。例例7 7求方程求方程 ，二重根二重根 的的 计算值。计算值。解解（1 1）使用使用Newton法法 （2 2）使用使用 上述两种方法都取初始值上述两种方法都取初始值 ，计算结果见下表。计算结果见下表。方法（方法（1 1）结果）结果

28、方法（方法（2 2）结果）结果1231.4533331.4366071.4254981.4166671.4142161.414214从上面两种方法的计算解中可以看出，从上面两种方法的计算解中可以看出，方法（方法（2 2）的收敛速度较方法（的收敛速度较方法（1 1）快。）快。我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对

29、于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。牛顿牛顿 16431643年年1 1月月4 4日，在英格兰林肯郡小镇沃尔索浦的一个自日，在英格兰林肯郡小镇沃尔索浦的一个自耕农家庭里，牛顿诞生了。耕农家庭里，牛顿诞生了。17271727年年3 3月月2020日，伟大艾萨克日，伟大艾萨克牛顿逝世。同其他很多杰牛顿逝世。同其他很多杰出的英国人一样，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上镌刻着出的英国人一样，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上镌刻着：让人们欢呼这样一位多么伟大的人类荣耀曾经在世界上存在让人们欢呼这样一位多么伟大的人类荣耀曾经在世界上

30、存在 伟大的成就之二：伟大的成就之二：对光学的三大贡献对光学的三大贡献伟大的成就之一：伟大的成就之一：建立微积分建立微积分伟大的成就之三：伟大的成就之三：构筑力学大厦构筑力学大厦返回返回 牛顿（牛顿（IssacIssac Newton,1642-1727 Newton,1642-1727），英国数学家、物理学家），英国数学家、物理学家,17,17世纪科学革命的顶峰人物。在力学上牛顿提出作为近代物理学基础世纪科学革命的顶峰人物。在力学上牛顿提出作为近代物理学基础的力学三大定律和万有引力定律；他关于白光由色光组成的发现为的力学三大定律和万有引力定律；他关于白光由色光组成的发现为物理光学奠定了基础；

31、他还是微积分学的创始人之一。他的物理光学奠定了基础；他还是微积分学的创始人之一。他的自然自然哲学的数学原理哲学的数学原理是近代科学史上的重要著作是近代科学史上的重要著作。在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位。微积分的创立是牛顿最在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位。微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就，它为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪卓越的数学成就，它为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。此外，他的数学工作还涉及代数、解析几何、数值分析、概率论和初等数论等众元。此外，他的数学工作还涉及代数、解析几何、数值分析、概率论和初等数论等

32、众多领域。多领域。16861686年，牛顿写成划时代的伟大著作年，牛顿写成划时代的伟大著作自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理一书（在一书（在16871687年年出版），在这部书中，牛顿从力学的基本概念出版），在这部书中，牛顿从力学的基本概念(质量、动量、惯性、力质量、动量、惯性、力)和基本定律和基本定律(运动三定律运动三定律)出发，运用他所发明的微积分这一锐利的数学工具，不但从数学上论证出发，运用他所发明的微积分这一锐利的数学工具，不但从数学上论证了万有引力定律，而且把经典力学确立为完整而严密的体系，把天体力学和地面上的了万有引力定律，而且把经典力学确立为完整而严密的体系，把天体力学和地面上

33、的物体力学统一起来，实现了物理学史上第一次大的综合。物体力学统一起来，实现了物理学史上第一次大的综合。考虑非线性方程组：考虑非线性方程组：牛顿法牛顿法:由相邻两次迭代值之差的绝对值判断迭代是否终止，由相邻两次迭代值之差的绝对值判断迭代是否终止，见下表。见下表。00.50.60653110.6065310.5452390.06129220.5452390.5797030.03446430.5797030.5600650.01963840.5600650.5711720.01110750.5711720.5648630.00630960.5648630.5684390.00357670.5684390.5664090.00203080.5664090.5675600.00115190.5675600.5669070.000653100.5669070.5672770.000370是方程在是方程在0.50.5附近的计算根。附近的计算根。