2019新考研高数模拟训练题目(含答案).docx

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1、2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：学校：姓名：考号:题号总分得分班级：一、解答题i.求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有().2 .1x sin 1Vk lim(2) lim(l + -)x；文一 sin x%x-sinxev -e-v(3) lim；(4) lim.X - Xx + sinxx-+8 e + e解:x2 sin V lim = limsin x 02% sincos i11工不存在，（因sin一, cos 一为有界函数）COS X2 .1x sin又 lim- = lim x sin = 0,f) sin xx故不能使用洛必达法则.(3)hm= lim不存在,x

2、+ sinx 81 + cos xsinx而lim而limx-sinx=hm18sin x1 +=1.故不能使用洛必达法则./八 r e ee +eJ 八7e +eJ 八7e +e(4) hm= lim= limx XX xxf+8 e + e .r-+cc利用洛必达法则无法求得其极限.ex - e-x1 - e-2x而 lim- = lim- = 1.i+8 eA + e-A *o 1 + e故答案选（2）.2.求下列函数在所示点的导数:/（，）=sin 八、cosj(4) y=nx, y 轴与直线 y=ln，y=lnb. (ba0)； 解：D= Cnheydy=b-a.J Ina(5) 抛

3、物线 y=x2 和 j=-x2+2；解：解方程组；:：2+2得交点(1，1)，(T，1)(6) 产sinx, 产cosx 及直线兀;解：)=2 4(sinx-cosx)dx=2-cosx-sinx； =4近.Ji44(7) 抛物线产7+4工_3及其在(0, _3)和0)处的切线；解：yf=-2x+4./(0)=4, y(3)=_2.抛物线在点(0, -3)处切线方程是y=4x-3在(3, 0)处的切线是产-2x+6两切线交点是（右 3）.故所求面积为解:解:解:3Z) = j(4x-3)-(-x2+4x-3)dr + 八(2x + 6)- (一f +4x-3) dx 233=山；+ Nd _6

4、x + 9)dx0294（8） 摆线 x=Q（/-sin/）, y=（l一cos/）的一拱（0勺42兀）与 x 轴; 当Z=0时，x=0,当/=2兀时,x=2na.所以= ydx = (1 -cossint)（9） 极坐标曲线p=asin3（p；a1。=3。1 = 3了32 1 .一哪 Sin兀 2丁，(10)(8)n3sin239d93J 0710“ 03小 r-1 -cos69p = 2acos(p ；)=2。i=2 2y4df2-cos2d-1 +cos2ffl2 2d(p二 42J 0(10)18.求曲线段-x3（0x1 x3yj 1 +9x4dx兀2-=而尔1+9%4)2=(10/1

5、0-1).19. 把长为10m,宽为6m,高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少 功？ 解：如图19,区间x, x+dx上的一个薄层水，有微体积dV=106dx x y /777777/ x+dx 5 x (19) 设水的比重为1,则将这薄水层吸出池面所作的微功为 dw=x- 60gdx=60gxdx. 于是将水全部抽出所作功为 w= f5 60gxdx J o二750g(KJ).20. 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底(20)(20)边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力. 解：如图20,建立坐标系，直线A3的方程为 产一记+5压力元素为dF=x-

6、2ydx=2x+5dx所求压力为=5/一及 3 =1467(K)=14388(KN) 21.设某企业固定成本为50,边际成本和边际收入分别为 C (x)=%214x+lll, R (x)=1002x.试求最大利润.解：设利润函数L(x).则 L(x)=R(x)C(x)50由于 Z/ (九)=R (x) C(x)=( 1002x)(x2 14x+l 11)=x2+12x 11令 U (x)=0 得 x=l, xW.又当x=l时，Lf, (x)=-2x+120.当x=H时Lff (x) VII、VHI封 限；(2)y2 -z2 jdx+(z2 -x2dy + (x2 - j2 jdz ,为 x2+

7、y2+z2=l 在第 I 封限部分的边界曲线， 方向按曲线依次经过平面部分，yOz平面部分和zQx平面部分.解:2+V+i=l 即f+2z2= ly = z = Zx = cos/其参数方程为：y = Tsin0-2兀血z = sin?2故:dz = _V2 - 4叵cost-且sin八变sin/.正8 sdJ。sin2 Zcos2 tdt16 _V2 16 _V2 16 sin2 2tdtt2n 1 -COS4?,dt0271(2)如图11-3所示.x = cos?.八 兀y = sinz f： 0一一，八2z = 0故z2)dx +卜2_丁闷 + (2)dzIt=2 sin? r(-sin

8、 - cos21 cos/|d/71=-2 (sin31 + cos3 r)drn=-2 2 sin3 tdtJoc 24=2 =33又根据轮换对称性知- z2)cLy4-(z2 - x2jdy +- y2)dz二(y2 _ z2 jdx + (z2+ 卜2 - V)dzQ ( 4)=3 x I 3)=-422 .计算下列对坐标的曲面积分：IL犬2 y2zdxdy ,其中E是球面x2+y2+z2=/?2的下半部分的下侧；(2)zdxdy + xdydz + ydzdx ,其中W是柱面x2+y2=l被平面z=。及z=3所截得的在第I封限内的部分的前侧；(3)JL/(x，y，z) + xddz +

9、 2/(x,y,z) + ydzdr+/(x,y,z) + zdrdy ,其中|x, y z)为连续 函数，E是平面x-y+z=l在第IV封限部分的上侧；(4)此r xzdxdy + xydydz + yzdzdx ,其中E是平面x=0, y=0, z=0, x+y+z= 1所围成的空间区域的 整个边界曲面的外侧；(5)Jy-z)dydz + (z x)dzdx + (x-y)dxdy ,其中 E为曲面 z =+ 与平面 z = h(hQ)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向； 强y(x_z)d)dz + x2dzdx + (y2+应)山0 ,其中W为x=)=z=O, x=)=z=所围成的

10、正方体 表面，取外侧为正向；解：。z = -7/?2-x2-/ ,下侧，E在直为面上的投影区域 分为：x2+y2R2.-x2 -y2)dxdyOsin2 6(_Jr2 _ 厂2*2ndO0x2y2zdxdy = D x2y2 (一麻tR 42r coso-Sin 2 2 例 6 J： ( / _ R2 ) + R2 了.62_而力二一5(1-8s4e)d可，R4 Jr2 - _ _ 2R2+ 7(/?2-r2)5d(R? 一 ,)l-n R1734577=_ 77 . 2兀 7 R4 ( R2 _ , )5 _ R2( r2 _2 )5 +( R2 _ / Alo L357J()=2 兀105

11、(2)E如图11-8所示，W在xOy面的投影为一段弧，图 11-8图 11-8故乐zdrdy = 0, E在yOz面上的投影Dyz=(y,z)0yh 0z3,此时 E可表示为: x = Jl y2, (yz)0yz，故 J)dz = JJ /-y2 dydz= 1：dzJ；7T7dy=31；，17处E在xOz面上的投影为az=(x,z)|0S烂1, 0z(/ + )cos+ (2/ + y) cos /3ds + (/ + z)dxdyff ( X cosez , 口 /c r 、COS、= 1(7 + x)1：(x+y)dzachoit=；*；(%+田切LaJoa47 y-a2UX H2.设

12、总收入和总成本分别由以下两式给出：R(q) = 5q-0.003/,。= 300 + 1.1其中为产量，oqsiooo,求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量 能使盈亏平衡？解：(1)边际成本为：C() = (300+1.1 = 1.1.(2)利润函数为L(q) = R-C(q) = 3.9q -0.003q2 -300Lf令 Z/)= 0,得 q = 650即为获得最大利润时的产量.(3)盈亏平衡时：R(q)=C(q)IP 3.9t/-0.0030)的公共部分；JjJq xyz(h:dydz，其中。是由 x = q(q。), y = x, z = y, 2 =。所

13、围成；(4) eckdydz，其中。是由 x2+z2-y2= 1, y=0, y=2 所围成；(5) fff .sinx网dydz,其中。是由 y= O,x+z =/所围成。jjja x2。可表示为：。可表示为：0 x 1 0 yxQzxyJJL 孙ckdydz = J；呵；dyxy2z3dz孙:z3dz28%28%xndx = - 364(2)积分区域。如图10-43所不，。可表不为：0%1 0 yl-x0 z-x-y(2)积分区域。如图10-43所不，。可表不为：0%1 0 yl-x0 zdy = ；#* =1 6人48 a6 48Qxa Qyx Q z y(5)积分区域。如图10-46所

14、示。图 10-46。在y轴上的投影区间为0,2,故BL edxdydz =於叫心 dxdz =22 e v -ti(1 + y )dy =兀二712,evdx + 7i oy2evdy = Tie2 兀 + 兀y2eyf2Jo-2-0(ev + y2ey)dy 2兀：yedy0=3兀亿21).。可表示为：Qx- 2Q yfx0z=Cab-ab)i+ Cab-ah) j+ (ab-ah)k)z z )z x x za j y则(axB).C= Cab-ab) C + (a,b qb) C+ Cab-ab) Cv)z z ) az a x z yx y y x yarava* *yh,byb若共面

15、，则有ZxB后与C是垂直的.从而GxB)e = o反之亦成立.(2) (qxB)C =4 bx Cx)C,(B x C) a =byc.(Cx)6 =由行列式性质可得:ax aby b久caYby Cy ayb.xq%久，.(q x 6) C = (b x C) a =?C x ) bx + y z +1 029.求点(3, -1, 2)到直线1,的距离.2x-y + z - 4 = 0解：过点(3, -1, 2)作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量i j k即 = S=11-1=-3j-3k2 -1 1故过已知点的平面方程为y+z=Lx+ y-z + 1 = 0联立方程组

16、y + z 4 = 0y + z = 13解得 x = l,y = _,z = 3.1 23即(1,-,)为平面与直线的垂足2于是点到直线的距离为d = J(1 3)2 +(+ 1)2 +( 2)2 1N/30.求点(1, 2, 1)到平面 x+2y+2zT0=0 距离.解：过点(1, 2, 1)作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=l, 2, 2x = 1 + t所以垂线的参数方程为y = 2 + 2%z = 1 + 2/将其代入平面方程得/34 8 5I 1 92-故垂足为，且与点(1, 2, 1)的距离为d = J(y+(y+(_)2 =13 3 3V 333即为点到平面的距离.3

17、1 .设z = p + x产(), = 2,方()为可导函数，证明： xdz dzxb y = z + xy.dx dydz， v v证明:一 = y + x/()一e +F(u) = F(u) + y-FXu) dxV x Jxdz1=x + xFu)- = x+ F(). dyx故dz dzX+y = XFM + y-yx+Fu)=xF(u) + xy- yFf(u) + xy + yF(u) =xy + xF(u) + xy =z + xy.32 .求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：(l)z = 2+y2,点 Mo(1,2,5);V .71(2)z = arctan ,点 M()(

18、1,1,一);x4解：(1) z =2疝=2, z =2y| =4.A%l,7/b)为 J 1叫故曲面在点M)(l,2,5)的切平面方程为z - 5=2(%-1)+4(厂2).2x+4yz=5.法线方程为x 1 y 2 z 5r 4 z =_1 z=15 犬+ 22，为 /+ 22-) 恤恤JT故曲面在点 )的切平面方程为 471Z =4法线方程为71x-1 _ y_1 _ z 47T二丁二2233.证明：曲面xyz = 上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。证明：设 F(x,y,z)=xyz-a3.因为 E=yz，a=%z,Fz=xy,所以曲面在任一点Mo(jvo,yo,zo)处的切

19、平面方程为yozo(x-xo)+xozo(y-o)+xoyo(z-zo)=。.切平面在x轴，y轴，2轴上的截距分别为3孙3泗,3z().因各坐标轴相互垂直，所以切平面与 坐标面围成的四面体的体积为V = g 1|3%0卜|3T.|3zo| = ?27Xo%Zo| = x27/ =#.它为一定值。解：（1）因为J理ck求不出来，故应改变积分次序。积分区域 D： OWyWl, yWxW J，。也可表示为：l/2yWX. 所以；sinx；sinxAx=JM萼2工竽加sin xdx - xsinxdxJo= (sin x - x sin x)dx = O sin xdx + xcos x)- cos

20、xdr = 1 - sin 1.因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域。分为两部分，其中2：如图10T5所示:积分区域。亦可表示为:12 x 1, x2 y 。-/3h= af(x0) + /3f(x0)= (a + 0 八 %).36.化三重积分/ = ，/(羽乂2比1弁12为三次积分，其中积分区域。分别是:(1)由双曲抛物面xy二z及平面x+y- 1 = 0, z=0所围成的闭区域；(2)由曲面2 =r+2及平面z= 1所围成的闭区域；(3)由曲面z = /+22及z = 2-x2所围成的闭区域；22(4)由曲面cz = xy(c0), = +2=1* = 0所围成的第/卦限内的闭区域。

21、a b图 10-38图 10-38解：(1)积分区域。如图10-38所示,01。可表示为： 0 1-x 0 zxy0X)，/(x, y,z)d2.积分区域。如图10-39所示。nZ-1X1。可表示为： -Jl-f w y w Jl %2x2 + y2 z 1故，= 呵忆 ML /(羽 y, z)dz.由二二”消去z殷+2六2” 即/ + y2=,所以。在xOy面的投影区域为炉+产1,如图10-40所示。一y图 10-40。可表示为:-1 WxW1, J1 y y/l x2 , x2+2y2 WzW 2-/H-x-7i-X2r 2T2dyx2+2y2 /(x, y,z)dz.0z c图 10-4

22、1积分区域如图10-41所示。可表示为：0x0,比0)对x轴及坐标原点的转动惯量 a b解：解：(面P为常数).4pdw=j：夕/由,请口=(2 Q 31加P ay y dy = -p./()= JX/V + yDpWdy =力：呵；(%2 +2班=可x3yadyo31-2b)+ ay y dy =bI b 71240 .利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解: (l)(2x 5 y + 3)dx-(2x + 4y-6)dy = 0解：设x = X+l,y = y + l,则原方程化为2-5 dY 2X-5Y _ JxdX-2X+4y. d Y乙一 IX人Ydu 2-5令u = 沈 +

23、 X =XdX 2 + 44 + 2 工 dX =zau =4 +7 2XnnXg + 7) - 3dudu= _gln(4224_ + 7 - 2+ 7 - 2)h f2J 4w1 2+7w-2=_扣4%2 + 7 _ 2) + ： j 1 + 2 4 一 1)du= 61nx +31n(4 比2 +7w-2) + ln= In c2 (c2 =cf)u + 2=X6(4w2+7w-2)3-= + 2=X6(4一 l)4( + 2)2 =02= X3(4w 1)2(w + 2) = c3,(c3 = yjc)代回并整理得(4y-x-3)2(y + 2x-3) = c, (c =.(2)(x

24、y - l)dx + (4y + 九 一 l)dy = 0;解：型=dx 4y+ x-l作变量替换，令x=X + l,y = Y + 0 = Y原方程化为dr _ X-Y _ 1-.及+=一 + 4 工X令丫=以,则得“ d -u dul + 4u2u + X = X =dX 1 + 4 dX 1 + 4八一“日 ,I 1 + 4 dX分离变重，得-du =1 + 4 x积分得-XT-严+ 4?J1 + 4/2J 1 + 4/arctan 2u ln(l + 4/) + q22即2 In X + ln(l + 4/) + arctan 2u = c n In X2 (l + 4w2) +arc

25、tan 2u = c代回并整理得 ln4y2 + (x I)? + arctan 立=a x-(3)(x + y)dx + (3x + 3y-4)dy = 0;解：作变量替换u = x+y则曳=虫1dx dx原方程化为二-1 = -dx 3v-4dv_ 2(v-2)dx 3v-43v-4=dv 二 Ax2(2)=-fdv +2J=-fdv +2J-dv = dx v-2 J3= v + ln(v - 2) = x + qn 3v + 21n(v-2) = 2x + c, 代回并整理得 x + 3y + 21n(x+y 2) = c3= v + ln(v - 2) = x + qn 3v + 2

26、1n(v-2) = 2x + c, 代回并整理得 x + 3y + 21n(x+y 2) = c(c = 2q)曳= L + i.dr x-y解：令 =Xy则曳=1色 dr dr原方程可化为 = dx u分离变量，得 udu = -dr1 9积分得e2=x+q2 = -2x + 2C故原方程通解为（xy）2=2x + c故原方程通解为（xy）2=2x + c(c = 2q)41.某厂生产某种产品，年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为 0.05元，如果销售是均匀的，求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数（销售 均匀是指商品库存数为批量的一半）.解:设年销

27、售批数为X,则准备费为1O3X；又每批有产品件，库存数为件，库存费为电x 0.05元.x2x2x设总费用为，则y = 1。3% +.42.利用重要极限lim（l +4户=e,求下列极限: w0x(2) lim Xx-2j3(4) lim(cos 2xf0(6) lim-Inx(1 2(l)lim 1 + -;I X)(3)lim(l + 3tan2x)cot2x;Xf()(5) lim xln(2 + x)-ln %;XOC(n解: lim 1 + -X00X)lim fi + lX00、xXJ(1、 lim 1 + I =e2 =Ve.(2) limX8、2x+1= lim 1 +X8、2x+l2= limx0Cx-2510x-2X-8x-2)2(3)lim(l + 3tan2x)cor Dio= limx05八10 15 qlO=e 1 =e .(l + 3tan2x)3tan2?clim(l + 3tan2 a:) x-0i3 tan2 x3=e33-Incos2x(4)lim(cos2x) / = limeYx-03 .ln=limeAx-0 cos2x-lr ,nC0S2.V-l l+(cos2